以最簡單的方法理解小波變換的基本原理

先從最簡單的力的分解開始：

圖1

從圖1中我們看到，一個力分解以后，給了我們這樣一個映像：余弦函數好像是和正弦函數相互垂直的（F1在X軸，F2在Y軸）。由此出發，我們得出了傅里葉級數的分解：

圖2

圖3

正弦余弦函數滿足的圖3中的關系，我們就認為它們是垂直的（正交），因為X軸與Y軸垂直也是人為定義的。那么，參照圖1，我們可以認為cosnx(n是變化的)與X軸相似，sinnx與Y軸相似。我們還注意到，不同的n，相同的余弦函數相互之間也是正交的，正弦函數也一樣。也就是說，同樣的X軸，還存在著相互正交的n不相同的余弦函數。這就是所謂的正交空間。正是因為有了圖3中的那些正交關系，我們才能夠順利地求出圖2中傅里葉級數的那些系數

an。

現在，我們引入小波函數：

圖4

圖4的小波函數中，存在著兩個變量：縮放變量a和平移變量

按照傅里葉級數中正交空間的理解，不同的縮放變量會生成不同的函數，這些函數間相互正交；不同的平移變量也會生成不同的函數，這些函數間同樣相互正交。同時，兩個不同的變量生成的函數之間也相互之間。這就是小波分解的最初思想。

那么，有了傅里葉變換，為什么又要有小波變換呢？

圖5

首先，圖5中的小波函數，只是在很短的時間內（橫軸）有非0值，這也是小波名稱的由來。

圖6

圖7

我們對照圖6和圖7 的傅里葉變換和小波變換的表達式，會發現小波變換的核函數

在整個時間域內都有非零值，而小波函數則不是。這種特性會導致傅里葉變換在處理某些突變信號或者其它情況的時候產生不理想的效果。具體可參閱網絡其它文章。

圖8

圖8表示，通過小波平移，對于一個變化的信號，我們可以得出更理想的結果。因為從圖6

圖7我們可以看出，無論傅里葉變換還是小波變換，都是用待變換的函數f(t)和核函數相乘，類似于求它們的相關系數。

圖9

再看圖9，小波經過縮小以后（由下往上），讓縮小了的小波函數去和一個函數值變化較大的地方相乘從而得出它們的相關系數，這種方法明顯要更好一些，因為更能分辨出函數的變化細節。

圖10

圖10是一個具體的Haar小波。

圖11

圖11表示，Haar小波經過平移和縮放以后會產生正交空間。

有了這些基本概念以后，我們接著只要搞清楚如何尋找基本基函數，如何分析它們生成的正交空間就可以了。