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四、裝糊涂的數(shù)學(xué)家 要說數(shù)學(xué)史上誰最牛，當(dāng)然是牛頓爵爺，要不是看阿基米德年高德劭，爵爺肯定是排名第一的數(shù)學(xué)家，爵爺為了研究物理方便就創(chuàng)造出來了微積分。  在爵爺之前，人們只知道平均速度，就是v=s/t，可光知道平均速度是沒有用的，要想研究運動和力，還必須得知道瞬時速度，可瞬時速度怎么求呢？爵爺就想出了一個辦法，那就是在非常短的時間內(nèi)物體移動的距離，用公式表示就是這樣。  這個都很熟悉吧，其實就是一個物體從空中落下在t時間時的瞬時速度。 牛頓認為△t非常小的時候，那么就可以忽略到舍去的地步了，這樣的話，瞬時速度  這就是我們平時所用的速度公式。 牛頓爵爺就是這么牛。 可是問題還是存在的，多么小的量才可以舍去呀，只有零呀，否則再小也有一點呀，既然牛頓爵爺舍去了，那就是說△t=0，可是在前面還有v=△s/△t呢，要是△t=0的話，那就不能做除數(shù)呢，這可是小學(xué)生都懂的道理呀，作為一代天驕的爵爺怎么會不知道呢？爵爺當(dāng)然知道，既然知道怎么還這么做呢？只能說爵爺在裝糊涂。 作為一個偉大的數(shù)學(xué)家，怎么可能裝糊涂呢？難道大家都不看不出來嗎？大家都看得出來，可是大家都在和爵爺一起裝糊涂。 這其中就包括萊布尼茨。  萊布尼茨也是天才一枚呀。他本來學(xué)的是法律，畢業(yè)后在處理法律和外交問題的時候，閑得無聊就和數(shù)學(xué)家們聊天，這一聊就把自己聊成了數(shù)學(xué)家。 他也獨立創(chuàng)造出來了微積分，而且還和爵爺搶微積分的發(fā)明權(quán)，他肯定也知道爵爺?shù)倪@個問題，可是他沒有說話，只能說他也在裝糊涂，否則他還不把爵爺懟出翔來。 約翰.伯努利是萊布尼茨的弟子，也是反對牛頓的急先鋒，他也不可能看不出來，只能說他也在裝糊涂，歐拉是伯努利的學(xué)生，萊布尼茨的徒孫，可以說微積分大部分工作都是在歐拉手上完善的，可是他也沒有說話，否則他也不會在錯誤的基礎(chǔ)上奮斗一聲，只能說他也在裝糊涂。 對于這個問題，大家都在裝糊涂，都有意無意地裝做沒看見，可是有人看見了，并且提出了質(zhì)疑，這個人就是貝克萊大主教。  五．第二次數(shù)學(xué)危機 看到大主教，是不是覺得有些奇怪，作為主教，好好地宣揚上帝福音不就行了，摻和什么數(shù)學(xué)呀，這就錯了呀。歷史上推動科學(xué)發(fā)展的有很多都是宗教人士。 偉大的哥白尼就是教士，伽利略和教皇關(guān)系非常好，至于爵爺牛頓，他本來就是神學(xué)家，數(shù)學(xué)了物理了都是他的業(yè)余愛好，還有第一個對牛頓力學(xué)提出質(zhì)疑的本利特也是一位神父，當(dāng)然了這不是說宗教對科學(xué)有促進作用，而是不相信宗教的話根本就沒有機會獲得良好的教育，連接受教育的機會都沒有還談什么科學(xué)突破呀。 貝克萊大主教也是一樣，他不但是主教還是英國著名的哲學(xué)家，“存在就是被感知”這句話就是他說的。 1734年，大主教寫出了《分析學(xué)家》一文，鋒芒指向了牛頓。“這些流數(shù)到底是什么？逐漸消失的增量速度有多么大？這些相同的逐漸消失的增量是什么？它們既不是有限的量，也不是無窮小的量，更不是零。難道我們不能把他們稱為消失的量的鬼魂嗎？”這簡直就是對牛頓的拷問呀。 主教也沒有放過萊布尼茨，他認為承認一個無窮小量的概念超出了“我的能力”，接受像dx這樣無窮小量的無窮小部分“對任何人來說都是無限困難的”。 這就是第二次數(shù)學(xué)危機。 六、中學(xué)老師的解決辦法 既然有人捅出來了，那就想法解決吧，要不大家以后還怎么在江湖上混呢？ 可一深入研究，這才知道了當(dāng)初牛頓萊布尼茨歐拉他們的苦衷，他們真的不是故意裝糊涂呀，而是這問題太難了。 先是達朗貝爾鎩羽而歸，踩著達朗貝爾的肩膀，柯西就沖了下去，可柯西也沒有贏，不過也給無窮小這個惡魔造成了很大傷害，基本上血槽快清空了，就差最后一擊了。 最后一擊由中學(xué)教師魏爾斯特拉斯完成了。  和大家比起來，魏爾斯特拉斯就有點凄慘了，別人都是達官貴人，要不是科學(xué)院掌門，要不就是大學(xué)教授，而他只是一個中學(xué)老師。 他父親本來打算讓他考公務(wù)員，讓他學(xué)了法律，結(jié)果他對法律沒有興趣，連研究生也沒有考上，只好去考了個教師資格證，去當(dāng)了中學(xué)老師，還是偏僻向下的中學(xué)老師，人家別人發(fā)表論文都是在國際大刊，他只能在類似于《中學(xué)生數(shù)理化》之類的刊物上發(fā)表。 可是金子的光芒是塵埃遮掩不了的，在一份私人刊物上，威爾斯特拉斯發(fā)表了一篇論文，這篇論文徹底解決了第二次數(shù)學(xué)危機。 在論文中，維斯斯特拉斯提出了極限的定義。  咱們用魏爾斯特拉斯的極限理論再看看牛頓當(dāng)初的問題。 在此之前，先說兩個簡單的結(jié)論，一個是兩個相等的函數(shù)的極限也相等，還有一個函數(shù)和的極限等于函數(shù)極限的和，這兩個結(jié)論比較簡單就不多說了。 牛頓的瞬時速度公式是這樣的。  現(xiàn)在對兩邊取極限。  左邊就不用看了，本來就是△t接近于零時的速度，看右邊吧，前面一部分也不用說，這里面根本就不包含△t，所以還等于他本身就是v0t，看后半部分吧。  這一部分當(dāng)中，當(dāng)△t趨近于零的時候，根據(jù)維斯斯特拉斯的極限定義，那么就是1/2gt^2，注意不是趨近于了。 這樣看的話，牛頓的公式就變成了  這不是和原來一樣嗎？當(dāng)然一樣，要是不一樣的話，那牛頓不就錯了嗎？牛頓怎么可能錯呢。 不過兩者還是有一點區(qū)別的，牛頓微積分結(jié)果雖然正確，但是建立在一個不穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，有了魏爾斯特拉斯極限的定義，微積分大廈就不再建立在流沙之上，而是有了堅固的基礎(chǔ)。 至此，第二次數(shù)學(xué)危機完美解決。 說到底，第二次數(shù)學(xué)危機是對無限的思考，那么我們再回過頭來看看第一次數(shù)學(xué)危機，我們前面說過，第一次數(shù)學(xué)危機只是逃避了問題，并沒有真正解決問題，因為無理數(shù)也是一個無限問題，現(xiàn)在解決了無限的問題，那么無理數(shù)的問題也就迎刃而解了。 第一次數(shù)學(xué)危機還有一個副產(chǎn)品就是公理化思想，第二次數(shù)學(xué)危機的發(fā)生就是由于沒有堅持公理化思想，在沒有建立公理的情況下，就依據(jù)物理和幾何推導(dǎo)出來了一座微積分大廈，要不是魏爾斯特拉斯力挽狂瀾，那么微積分大廈就已經(jīng)成了一堆碎磚爛瓦。 既然公理化這么重要，數(shù)學(xué)家就要審視一下以往的數(shù)學(xué)概念了，就要看看是不是可以從基本的邏輯概念出發(fā)推導(dǎo)出整個數(shù)學(xué)大廈，這就是康托爾的集合論，一時間數(shù)學(xué)的發(fā)展猶如鮮花著錦烈火烹油，大家都沉浸在興奮之中，可是這一派繁盛景象下卻隱藏著更深的危機，這次幾乎要毀滅了整個數(shù)學(xué)。 |
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