萊布尼茨和他的微積分原理

wlr6688 2022-05-27 發布于黑龍江

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萊布尼茨是一位興趣廣泛、博學多才的大家，除哲學和數學外，他在歷史、法學、語言、神學、邏輯學和外交等方面都有杰出的成就。下面我們簡要回顧萊布尼茨的一生。

圖1 萊布尼茨

才華橫溢

1661年，萊布尼茨15歲，在萊比錫大學學習法律。直接讀大二，三年獲得學士學位，次年1月獲得碩士學位。1666年20歲時，萊布尼茨已經為取得法律博士學位作好了充分準備。萊比錫大學的教師們由于嫉妒而惱怒，拒絕授予萊布尼茨博士學位，公開的理由是他太年輕，實際原因是他知道的法律知識比他們這些遲鈍的家伙所知的加在一起還要多。他一氣之下離開萊比錫赴紐侖堡附近的阿爾特多夫（Altdorf）大學。1666年11月，他憑借一篇講授法律的新方法（歷史方法）的論文（實際上是在從萊比錫赴紐侖堡旅途中寫出來的）獲得了阿爾特多夫大學的法學博士學位。但他謝絕了這所大學對他的聘請，參加了當地的一個團體（據稱是煉金術士團體），并通過該團體結識了一些政界人物，從此萊布尼茨開始投身政治。他的第一份任命就是被選帝侯指定去訂正法典。

熱衷政治

萊布尼茨一生余下的40年是在為不倫瑞克家族毫無價值的服務中度過的。他作為這個家族的圖書管理人、歷史學家和家族的總智囊，總共為三任主人服務過。對于這樣一個家族，有一部光輝詳實的家族史乃是極其重要的事情。萊布尼茨作為家族圖書管理人，不僅是作為書籍的編目人，同時也是家系學專家和發霉的檔案的搜集者。他的職責是確證他的雇主對歐洲半數王位的權利要求，如果不能確證，就通過審慎的篡改來炮制證據。為了進行細致的歷史研究，他在1687-1690年跑遍了整個德意志，然后又去了奧地利和意大利。

馬車學術

萊布尼茨一生的特點之一：他具有在任何時候、任何地點、任何條件下工作的能力。他不停地讀著、寫著、思考著。他的大部分數學著作，更不用說其他關于一切事物的來世今生的作品，都是在既顛簸又四處透風的破馬車里寫出來的。當他在雇主反復無常的吩咐下東奔西跑時，就是這樣的破馬車載著他在17世紀歐洲的崎嶇小路上奔波。

晚景凄涼

萊布尼茨在終身為王公貴族們效勞以后，收到的報酬卻是：疾病，迅速地衰老，被爭吵搞得筋疲力盡，最后被踢了出去。1714年喬治到英國當國王沒有帶萊布尼茨。1716年，在經受了膽結石與痛風癥的折磨之后，萊布尼茨離開了人世，據說只有忠實的秘書參加了他的葬禮。

活法啟示

萊布尼茨的動力來源是什么？一是對世俗功名的追求（熱衷），二是對學問的求真精神（有抱負）。萊布尼茨是一個非常聰明的人，既獲得了一些世俗的成功，學問也搞得非常出色。

萊布尼茨的成才之路令人神往，但政治上的失意（淪為棄子）也令人唏噓。如果萊布尼茨不執著于追求名利，或許他可以在數學上做出更大的貢獻，抑或者收獲更多實現人生價值的幸福感。當然作為數學家，萊布尼茨已然是非常成功的。

萊布尼茨的一生及其治學精神值得我們反復回味和思考。一個人，他具有在任何時候、任何地點、任何條件下工作的能力，他不停地讀著、寫著、思考著，他的很多學術成果是在馬車上完成的。于個人，可見成才不是看環境如何，而是有無堅定的理想抱負、有無甘愿坐冷板凳的決心。

早在1666年，萊布尼茨在《論組合的藝術》一書中討論過數列問題并得到許多重要結論，這時還沒有研究微積分問題。

從1672年大約開始，萊布尼茨將他對數列研究的結果與微積分運算聯系起來。萊布尼茨后來在致洛必達的一封信中總結說：這使他發現，“求切線不過是求差，求積不過是求和”！

1673年，萊布尼茨提出自己的特征三角形概念，并應用它確實很快地發現了后來才“在巴羅和格列高里的著作中見到的幾乎所有定理”。萊布尼茨還在關于特征三角形的研究中認識到：求曲線的切線依賴于縱坐標的差值與橫坐標的差值當這些差值變成無限小時之比；而求曲線下的面積則依賴于無限小區間上的縱坐標之和（縱坐標之和在這里是指縱坐標乘以無限小區間的長度再相加，因而也相當于寬度為無限小的矩形面積之和）。萊布尼茨還看出了這兩類問題的互逆關系。

自此之后，萊布尼茨在微積分方法的建立和應用上又做了很多開拓性工作（見圖2）。

圖2 萊布尼茨的微積分建立過程

早期，萊布尼茨的這些研究都隨手記錄，故他的手稿散亂且難懂。大約到17世紀80年代初，萊布尼茨開始總結自己陸續獲得的結果，并將它們整理成文，公諸于眾。

萊布尼茨的微積分建立過程，呈現什么樣的階段特點？這是一個值得琢磨的問題。

我們可以發現，萊布尼茨關于微積分的原理思想在1672-1673年的時間內已經基本形成。而在1674-1680年，萊布尼茨的精力主要放在微積分理論體系的建立和微積分方法的開拓上。大約80年代初，開始后期的整理。

萊布尼茨早期的微積分思想有哪些？這些思想是怎么形成的？萊布尼茨早期的微積分思想主要包含三個方面：從離散到連續；以直代曲；積分是微分的逆過程。當然這些思想形成的基礎是無窮小（不可分量）。這些思想的形成，一部分是受前人成果的影響，如巴羅和帕斯卡早在萊布尼茨之前就已經開始使用特征三角形。還有一部分是出于萊布尼茨天才般的直覺和善用類比方法。

從離散到連續

萊布尼茨的微積分思想發源于其對數列的研究，進一步由離散類比到連續情形。

數列的求差與求和

想象眼前鋪成一條臺階，每一階相對于地面的高度為 v_1,v_2,…,v_(n+1)，而階差高度為u_1,u_2,…u_n，那么從v_1登到v_(n+1)共升高u_1+u_2+?u_n=∑_(k=1)^n?u_k。

圖3

差和分定義：設v=(v_n )為一個數列，令數列Δv為(Δv)_n=v_(n+1)-v_n（簡記為Δv_n）。我們稱Δv為數列v的（第一階）差分。∑_(n=a)^b?v_n叫做定積分（簡稱和分）。我們可以得到差和分基本定理。（我們這里只是為了方便描述，事實上萊布尼茨也沒有明確給出過這樣的定理。）

定理1：（差和分基本定理）對于給定的一個數列u=(u_n )，如果可以找到另一個數列v=(v_n )，使得u_n=v_(n+1)-v_n，那么就有∑_(n=a)^b?u_n=v_(b+1)-v_a，其中a,b∈N且a<b。

圖4

定理1引出兩個基本問題：

1. 研究差分在運算上的基本性質。

2. 已知一個數列u=(u_n )，求另一個數列v=(v_n )，使得u=Δv ，我們稱v為u的原數列或不定積分。

差和分的學習對于微積分的了解非常有幫助，因為兩者不過是離散與連續之間的類推與觀照而已。離散的差和分簡單明了，再連續化就得到了微積分。

函數的求差與求和

首先考慮面積函數y=F(x),x∈[a,b]。作[a,b]的有限分割：a=x_1<x_2<?<x_n<x_(n+1)=b, 由差和分基本定理知：

圖5

差分變成微分、和分變成積分

現在想象將[a,b]分割成無窮多個的無窮小段dx（即微分），把它想成是差分Δx_k=x_(k+1)-x_k的極致，然后考慮無窮小矩形的面積f(x)dx，從x=a連續地累積到x=b。這樣的求和跟和分有關但卻不同，為了區別起見，Leibniz在1686年首度將記號S改為∫。理由是：S表示求和Sum的第一個字母，將S稍微拉伸變成 ∫，表示連續地求和。

因此，就用美妙的記號f(x)dx來表示圖中黃色區域的面積，將∫_a^b?f(x)dx說成在上的積分。換言之，陰影部分的面積就是無窮多個無窮小矩形面積的連續求和，即定積分（definite integral）。

圖6

從差和分基本定理到微積分基本定理

圖7

微積分基本定理的一般描述：

圖8

萊布尼茨從離散到連續的微積分思想，從差和分基本定理到微積分基本定理，這里采用的就是類比思想。萊布尼茨天才地發現，“求切線不過是求差，求面積不過是求和”。數列和曲線下的面積函數（通過分割自變量區間）都具有求差和求和的特點。那么通過數列的離散版本的差和分基本原理，再借助無窮小，我們就得到了函數的連續版本的微積分基本定理。這里，無窮小dx作為區間長度的承擔者，而f(x)dx也成為了面積微元。

以直代曲

萊布尼茨的特征三角形，切線替代弧線，背后體現的是以直代曲的思想。這里先有切線，后定義dx，再利用比式定義dy，其中dy:dx=f^' (x)=切線的斜率。萊布尼茨已經先默認切線已有定義，但他本人后來對切線的定義不能做到令人滿意，比如我們由下圖能發現切線I與曲線切于兩點P、Q。

這里特征三角形的基本概念是無窮小，即微分，通過微商的形式刻畫切線斜率。這里從運動角度來說，微商就是瞬時變化率。萊布尼茨對很多曲線應用特征三角形，得到了很多定理。萊布尼茨微積分理論的弊端在于講不清楚無窮小究竟是什么。現代化的圖示，微分不再是無窮小，而是關于增量Δx的線性函數，而導數也變成增量比的極限，本質上是平均變化率的極限。（盡管導數這里也能寫成微商的形式，但更多只是一種符號表示）新的變化背后體現的是兩種不同的數學模型。這里做個對比，大家可以思考。