Leibniz 如何想出微積分？（三）

Leibniz 如何想出微積分？（一）

Leibniz 如何想出微積分？（二）

考慮函數 , 作 [a, b] 的分割

得到差分 與 , 。Leibniz想象（或根據他的連續性原理，principle of continuity），讓分割越來越細密，乃至作無窮步驟的分割，使每一小段都變成無窮小 (infinitesimal)，于是差分 變成微分 dx（Δ 改為 d 且丟棄指標 k），其中 dx 表示無窮小，它不等于 0并且要多小就有多小。從而差分 變成微分 dF(x) = F(x+dx) - F(x)，dF(x) 表示獨立變量 x 變化 dx 時，相應函數值的無窮小變化量。換言之，微分是差分在無窮小時之類推。

Leibniz 在1684年首次給出微分的概念與記號，以及如下的演算公式：

例 1. 設 F(x)=xn 則 dF(x)=nxn-1dx。

Leibniz 的論證是這樣的：

因為第二項之后都含有 dx 的高次項，這些都是比 dx 還高階的無窮小，棄之可也，所以

dF(x)=dxn=nxn-1dx .

特別地，

定理2.

設 u=u(x) 與 v=v(x) 為兩函數，a 與 c 為常數，則有

(i) d(c)=0

(ii) d(au)=adu

(iii) 

(iv) 

(v) 

上述(iv)今日叫做 Leibniz 規則。

例2. 若 u=x-n，則 du=-nx-n-1dx，若 u=xm/n，則 。

只要知道一些基本函數的微分公式，透過定理 2 就可以求得更復雜函數的微分公式。這就是原子論「以簡御繁」的方法。微分的演算，在 Leibniz 之前都是個案的處理，之后就有了全盤系統化的處理辦法，這就是進步。

Leibniz 利用微分來求函數 v=v(x) 的極值，其方法是解方程式 dv=0。他也引入二階微分的概念與演算，并且利用二階微分 ddv=0 的條件來求反曲點 (point of inflection)。

數列 u=(uk) 與函數 ，都是「函數」，一個定義在自然數集 N上，一個定義在區間 [a,b] 上，因此兩者分別是離散 (discreteness) 與連續 (continuity) 之間的類推。

和分 (summation) 探究數列的求和 問題，積分探求函數圖形在 [a, b] 之上所圍成的面積，見下圖 2。兩者具有密切的關系。

首先觀察到，和分可以解釋為下面圖 3 之柱狀圖的面積。

其次將函數 y = f(x) 離散化：作區間 [a, b] 的分割

考慮和分 ，其幾何意義就是下圖 4 諸矩形所成的陰影面積，它是圖 2 的近似面積。

現在想象將 [a, b] 分割成無窮多段的無窮小段 dx（即微分），想成是差分 的極致（參見圖 2），然后考慮無窮小矩形的面積 ，從 x=a 連續地累積到 x=b。這樣的求和跟和分有關但卻不同，為了區別起見 Leibniz 在1686年首度將記號 改為 。理由是：S 表示求和 Sum 的第一個字母，將 S 稍微拉伸變成 ，表示連續地求和。因此，就用美妙的記號 來表示圖 2 陰影領域的面積，說成 f 在 [a, b] 上的積分。換言之，陰影領域的面積就是無窮多個無窮小矩形面積的連續求和，即定積分 (definite integral)。

Leibniz 進一步把積分 看作是微分 d 的逆運算，例如由公式

就得到

一般而言，

Leibniz 說：

像乘方與開方，和分與差分， 與 d 是互逆的。

六. 從差和分根本定理到微積分根本定理

如何求算積分 呢？

這是一個千古大難題。Archimedes 利用窮盡法 (the method of exhaustion)，只會算出

Cavalieri（1598～1647）利用不可分割法或無窮小法 (the method of indivisible and infinitesimal) 求得

Fermat（1601～1665）利用動態窮盡法求得

這些都是個案解決，而且都算得相當辛苦。

Leibniz 有了微分與積分互逆的觀點，以及差和分根本定理，很快就看出「吾道一以貫之」的微積分根本定理，利用微分法普遍而系統地解決求積分的難題。這是微積分史，乃至人類文明史上的偉大時刻 (the great moment)。Leibniz 將他的發現在1693年發表。

考慮函數 。作 [a, b] 的分割：

由差和分根本定理知

或者

現在讓分割不斷加細，使每一小段都變成無窮小，將 Δ 改為 d， 改為 （記號變形記），上下限指標改為 b,a，那么(6)與(7)兩式就變形為

從而，欲求 ，只要找到另一個函數 y=F(x)，使得

那么就有

Eureka! Eureka! 我們自然就得到微積分里最重要的一個結果：

定理 3.微積分學根本定理

給一個函數 f，如果可以找到另一個函數 F 使得

那么就有

這個定理完全是定理 2 的平行類推！我們稱(13)式為 Newton-Leibniz 公式，因為牛頓也獨立地發現它。今日我們還要求 f 為連續函數。

Leibniz 創造優秀的記號，透過差和分根本定理，「直觀地」就看出了微積分根本定理。Leibniz 說：

值得注意的是，記號幫忙我們發現真理，并且以最令人驚奇的方式減輕了心靈的負荷。

Leibniz 一生對記號非常講究。數學家 Laplace（1749～1827）也說：

數學有一半是記號的戰爭。

我們要強調，記號的適當創造與掌握，是掌握數學的要訣。下面將 Leibniz 所創造的記號作個對照表： 

在定理 3 中， 赫然出現了 之記號，這是微積分里頭的一個關鍵性概念。它代表什么意義？如何定義？

首先讓我們來解釋它的幾何意義。 是由 的無窮小化得來的。顯然

代表函數 y=F(x) 的圖形上，通過兩點 (xk,F(xk)) 與 (xk+1,F(xk+1)) 的割線斜率，參見圖 5。

無窮小化后的 就是通過 (x, F(x)) 點的切線斜率，參見下圖 6。

因此，求積分 從幾何觀點來看就是，找一條新的曲線 y=F(x)，使其切線斜率 為 f(x)，那么 的答案就是 F(b)-F(a)。據此，Leibniz 也稱求積分為求反切線的問題 (the inverse tangent problem)。

下面考慮 的定義。按照上述的思路， 當然定義成

其中 dx 代表 x 的「無窮小」變化量， ，lim 表示取極限 (limit)。這分別代表無窮小論證法與極限論證法。后者是「以有涯逐無涯」的論證方式，即由割線斜率來探取切線斜率。有時 也記成 DF(x) 或F'(x)。

由 F(x) 求出 叫做導微（動詞用）。 叫做 F(x) 的導函數 (derivative)。已知函數 f(x)，欲求另一個函數 F(x) 使得 ，是為微分的逆算。我們稱 F(x) 為 f(x) 的反導函數 (antiderivative)。因此，定理 3 告訴我們，欲求積分 ，只要找到 f(x) 的反導函數 F(x)，那么 F(b)-F(a) 就是答案了。這就是用微分法解決積分問題，普遍而可行的辦法。要點是，求反導函數并不太難。

如何求一個函數的導函數呢？

在做計算時，若采用無窮小論證法，就要記住無窮小詭譎的雙重性格：它不等于0，但是要多小就有多小。這樣看來，無窮小不是死的，而是活生生的小精靈。通常無窮小 dx 可正可負，即正無窮小與負無窮小，這種情形 dx 不等于 0，但其絕對值小于任意正實數。

例3. 考慮 F(x)=x3，則

（因為 dx 可任意小，故后兩項棄之可也。）

如果你對「無窮小」感到「不自在」，那么我們也可以采用極限論證法：

殊途同歸！在計算過程中，我們的論證是這樣的：由于 ，故可以從分子與分母消去；其次因為 ，故 。這樣的論證其實跟無窮小論證法差不多。目前較通行是極限論證法。

事實上，極限概念有直觀（良知良能）的一面，也有深奧的一面（ 與 定式），真正要說清楚是相當費事的。留給正式微積分課去解說。

例4. 因為 ，故由 Newton-Leibniz 公式得

我們作一個很重要的觀察：

給一個數列 u，若數列 v 滿足 ，我們就記為

而稱 為 u 的不定和分，因而 與 Δ 互逆。這樣做非常方便，定和分只需附加上下限就好：

同理，由

我們就記為

而稱 為 f 的不定積分 (indefinite integral)，因而 與 d 互逆。再把上下限套上去就得到 Newton-Leibniz 公式：

總之，微積分就是利用極限或無窮小來建立微分與積分，再透過微分的逆向運算（由f 求 d-1f）來求積分（面積、體積、表面積、曲線長、重心及里程等等），而微分的正向運算（由 F 求 dF 或 ）又可掌握住求切線、速度、密度、變化率及極值問題，甚至揭開了函數的結構之謎（Taylor 分析）。

微分法是非常鋒利的兩面刃，是人類破天荒的成就。S. Bochner 說得好：

微分是一個偉大的概念，它不但是分析學而且也是人類認知活動中最具創意的概念。沒有它，就沒有速度或加速度或動量，也沒有密度或電荷或任何其它密度，沒有位勢函數的梯度，從而沒有物理學中的位勢概念，沒有波動方程；沒有力學，沒有物理，沒有科技，什么都沒有 ([8], p.276)。

1. C.H. Edwards, The Historical Development of the calculus, Springer-verlag, 1979, 凡異出版社有林聰源的中譯本。

2. A.W.F. Edwards, Pascal's Arithmetical Triangle, Oxford UnivPress, 1987。

3. Leibniz, Philosophical papers and letters, Ed. L.E. Loemker, Synthese Historical Library, 1976.

4. A. Weil, Review of Hofmann, Bull. Am. Math. Soc. 81, 676-688, 1975.

5. M.E. Baron, The origin of the infinitesimal calculus. New York: Dover, 1987. （初版1969）

6. T. Koetsier, Lakatos' philosophy of Mathematics, A Historical Approach, North-Holland, 1991.

7. D. Struik, A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard Univ. Press, 1969.

8. S. Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton Univ. Press (1966), Fourth Printing, 1981。

9. I Grattan-Guinness (editor), From the Calculus to Set Theory, 1630-1910, An Introductory History, Duckworth, 1980.

10. C. B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, 1959. (First Published in 1949)