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《數學地圖》，是量子雜志Quanta Magazine的一個（可視化）項目，2020-2-13上線。 文字：Kevin Hartnett 設計和可視化：Kim Albrecht和Jonas Parnow 譯者：zzllrr小樂 2020-10-27 于微信公眾號與百家號同步發布 譯者注：原文有大量可視化交互效果，因各平臺限制，只能暫以截圖形式展示，但圖片中文字內容也盡可能被漢化，以饗讀者。另外原文介紹有些數學概念時無圖，譯者補上自制圖，以便讀者理解。由于圖文篇幅較長，分成【1】【2】兩篇文章，本文是第【1】篇。 這是當今的數學地圖，它是數學家實踐的數學。 從簡單的起點（數字，形狀，變化）開始，地圖便延伸成交織在一起的思想卷須。遵循它，您將了解素數如何與幾何連接，對稱如何處理無窮大問題。 盡管地圖不一定是完整的-數學實在太龐大了，無法適合任何一張地圖-我們希望為您提供有關使這些領域活躍的主要問題和爭議以及潛入其中的概念性工具的風味。 沒有正確或錯誤的探索方式。您可以從一個主題到另一個主題直線走動，或四處尋找引人注目的東西。 正如愛因斯坦曾經寫過的那樣，如果數學是邏輯思想的詩歌，那么我們希望以此來贊賞它所描述的所有美。向下滾動開始。
編輯搜圖 數字Number 數字 數字是最基本的度量單位。它們的特性使人們著迷了數千年，甚至更長。今天，數論在多個方向上分叉。
編輯搜圖 數字原子——質數 算術原子 質數是大于1的整數，除1和它們本身以外，不能被任何整數整除。它們就像數論的原子一樣-您可以使用質數來生成其他任何數。 在公元前三世紀，歐幾里得證明存在無限多個素數。他辯稱，如果我們將所有已知質數相乘并加1，那么這個新數字N是質數，或者N可以被我們原始質數列表中沒有的數-新質數整除。事實證明，這是無限的，但它從技術上來講，是有不足的：它沒有告訴我們有關素數的分布，也沒有提供調查有關素數的更多問題的方法。 今天，數學家對了解素數出現的頻率很感興趣。
編輯搜圖 歐拉數迭代 進入素數的窗口 在18世紀，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）使用微積分的函數研究了素數。首先，他使用總和1 +?+?+?+?證明必須有無限多個質數。然后他和許多數學家開始使用其他無窮大和來探索素數的其他性質。 例如，考慮“ zeta函數” Z（s）的總和=1/??+??+??+??+?。當s = 1時，總和是無限的，但是當s大于1時，總和是有限的。歐拉的工作用來證明Z接近1時Z爆炸的速率可以為您提供有關質數發生頻率的信息。 1859年，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）通過考慮s可能是復數的情況（即，既包含實部又包含“虛部”的數字）的情況，極大地擴展了該方法，這意味著它包括–1的平方根。（這些數字在開始時就被認為是可疑的，但是它們對于解決問題始終有用。）向具有復變量的函數的轉移創建了一種強大的技術，數學家可以用它來進攻關于質數的更深層次的問題。 素數分析 數論學家創建實數或復數變量的函數，稱為解析函數，使他們能夠研究有關素數的問題。例如，他們可能會問：在很短的間隔內大約有多少個素數？或自然數可以以三種方式表示為三個平方之和？解析函數具有可解決這些問題的屬性。 該領域的歷史可以追溯到19世紀狄利克雷Peter Gustav Lejeune Dirichlet的作品。Dirichlet研究了“算術級數”，即以自然數A開頭并加上自然數B的倍數得到的數字列表。例如，當A = 4且B = 7時，我們得到：4，11，18 ，25等。狄利克雷Dirichlet使用解析函數證明，只要A和B沒有任何共同的質數因子（在我們的示例中），這種算術級數就必須包含無限多個質數。
編輯搜圖 黎曼Zeta函數 黎曼假設 黎曼Bernhard Riemann注意到素數的分布與zeta函數Z（s）中復數s的行為密切相關。通過使用這個新的Riemann zeta函數，他可以能夠研究比Dirichlet關于素數分布的更困難的問題。 另外，Riemann猜想，當s的實部恰好等于1/2時，方程Z（s）= 0的唯一有趣的解就會出現。如果這是真的-一個被廣泛認為是純數學中最重要的未解決問題的問題-我們不僅會對質數的分布有很多了解，而且也將解決數論中的大量其他問題。
編輯搜圖 黎曼猜想 新數字系統 在17世紀，數學家發現了一種奇怪的二分法：如果忽略2，則兩個平方之和的質數（例如73 = 82+ 32）總是比4的倍數大1，而不是兩平方和的質數（例如7和11）總是比4的倍數少1。這稱為二平方定理。但是為什么會這樣呢？使用更大的數系中的算術版本可以理解這些問題。
編輯搜圖 復數計算 一個更大的數系 在19世紀上半葉，卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）發明了一種新的數字系統。它類似于普通整數的一種形式，但針對復數，因為“高斯整數”包含“虛數”單位i，它是-1的平方根。例如：2 + 3i是高斯整數。 高斯整數幫助我們了解普通數系統中素數的性質。例如，當寫為高斯整數時，可以表示為兩個平方之和的任何普通素數都不再是素數。可以將數字73分解為（8 + 3i）（8 ? 3i）。然而，不是兩個平方之和的普通素數仍然是高斯整數的素數，7和11都不能分解成較小的部分作為高斯整數。這種關系是一個例子，說明了普通數字系統中質數的屬性如何受位于較大數字系統中的那些數字的行為支配。
編輯搜圖 復數 素因子問題 高斯整數具有一個重要的屬性：每個（非零）高斯整數只能以一種方式分解。該屬性稱為唯一質數分解，事實并非對所有數字系統都成立。例如，在類似于高斯整數的數字系統中，我們用?5的平方根替換i，唯一素數分解失敗。例如，6等于2×3和（1 + √?5）（1 ? √?5）。這次失敗破壞了在安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）1994年成功證明費馬最后定理之前的許多嘗試。 更小的數系 在模算術中，我們選擇一些正數m作為底數或模數。我們聲明兩個普通整數在除以m后有相同的余數時被視為相同的（模m）。例如，5和13是相同的（模4）：兩者的余數均為1，因此等于1。 普通素數的屬性（例如它們是否為兩個平方之和）可以通過不同的模數系統之間令人驚訝的關系來解釋。 例如，考慮素數5，是兩個平方之和。在以4為模的數字系統中，它等于1。 現在考慮模5數字系統。在這個系統中，-1等于4，這是一個完全平方。 實際上，在模數為質數且可以表示為兩個平方之和的任何數字系統中，-1等于完全平方。在模數是質數且不是兩個平方之和的模數系統中，-1永遠不是一個完全平方。
編輯搜圖 22模10等于2 素數倒數 令人驚訝的事實是，您可以通過了解p在模數為4a的模數系統中的行為方式，來預測非零整數a是否等于一個奇質數p模的完全平方。高斯證明了任何p和任何a的一般關系，從而建立了現在所謂的二次互反定律。 中國剩余 不同的模數系統通常彼此之間沒有任何特殊關系。中國剩余數定理表達了這一事實。要理解該定理，首先選擇兩個沒有共同素因子的自然數（a和b，互素）。定理說，我們總是可以找到同時具有模a任何值和模b任何值的自然數。例如，對于a = 14和b = 9，有一個自然數是模14為6且模9為5（例如104），有一個自然數是模14為13且模9為1（例如55）。非正式地說，中國余數定理說，模數a和模數b的系統彼此獨立工作。 除法問題 有些皺紋將模數系統與整數區分開。在模算術中，有時兩個非零數的乘積為0。例如，6和5均模10非零，但是它們的乘積30模10等于0。當模數為合數 （非素數）時，會發生相同的現象。 但是，在任何以質數p為模的模數系統中，皺紋都會消失-兩個非零數的乘積永遠不會為0。這具有重要的意義。模p數系中的每個非零數字在同一數系內都有一個倒數（該數字與其倒數的乘積為1）。例如，以7為模，4的倒數是2，因為2×4 = 8，而8模7為1。倒數對于具有良好除法概念的數字系統至關重要。
編輯搜圖 34模10等于4 有限域 普通算術包括加法，減法和乘法，符合熟悉的代數規則，例如交換律x + y = y + x和xy = yx以及分配律x（y + z）= xy + xz。具有所有這些特征的任何代數系統都稱為環。如果它也有一個很好的除法概念（非零數），我們稱這個代數系統為一個域。 整數構成一個環，但不是一個域，因為在僅有整數的世界中除法是不可用的。例如，3÷6 = 0.5，它是整數之外的數字。任何以合數為模數的模數系統也會形成一個環，而不是一個域。但是有理數，實數和復數系統是域，而整數對任何素數p取模的有限數系都是域。模p算術的有限域在代數數論中無處不在。 代數幾何 數學家對解決“丟番圖方程”（具有x2 + y2= 1的整數系數的多項式方程）的有理數（可以表示為分數的數）特別感興趣。這些方程式以丟番圖的名字命名，因為他在公元三世紀的亞歷山大就對此研究。 勾股（畢達哥拉斯）方程x2 + y2 = z2 是丟番圖方程的一個例子。為了理解其整數解，數學家使用了幾何思想。方法是，從x2 + y2 = z2開始，將兩邊除以z2，得到（x / z）2 +（y / z）2 =1。將其重寫為u2+ v2 = 1的形式。圓上的每個點都由坐標（u，v）定義。如果我們需要勾股方程的整數解，則需要在圓上找到有理點。這樣，我們可以用一個公共分母z來寫它們，即u = x / z和v = y / z，從而為勾股方程重構出一個整數解（x，y，z）。
編輯搜圖 單位圓上的有理點 有一種幾何方法可以找到這些點。例如，固定點P =（-1，0）。畫一條過該點和圓上一點的直線。當直線的斜率是有理數時，第二點也具有有理坐標。例如，過點（-1，0）斜率為?的直線過單位圓上的點（3/5，4/5）。這些坐標對應于（3、4、5）勾股三元組。這樣，幾何可為所有勾股三元組提供公式。 算術幾何 早期，數學家使用幾何推理來理解勾股三元組。可以將相同的幾何方法應用于更廣泛的一類二次方程（最大指數等于2的方程），例如2x2 + 3y2= 5z2。這種更廣泛的應用是算術幾何的起點，算術幾何使用幾何來研究多項式方程的有理和整數解。 域上的幾何 在將實數替換為“域”的情況下，許多數學概念都可以適用。這樣的數字系統包括復數和模算術（模質數時）。這種轉換將“幾何直覺”傳送到全新的領域。 例如，在1922年，路易斯·莫德爾（Louis Mordell）猜想，某些類型的多項式方程式（階數大于3）僅具有有限多的有理解。高于3的重要性的意義可以通過拓撲結構來解釋，1983年由Gerd Faltings法爾廷斯（獲得菲爾茲獎章）獲得Mordell猜想的證明就充分利用了代數幾何。 幾何和素數 1949年，André Weil韋伊提出了關于有限域上的代數幾何的猜想。這激發了亞歷山大·格羅騰迪克（Alexander Grothendieck）在1960年代的革命性工作，使應用于復數的幾何技術，與應用于有限域的幾何技術聯系起來。Grothendieck的見識催生了在算術幾何學研究中使用拓撲和微分幾何（多變量微積分的幾何化身）的許多新方法。它還為諸如黎曼假設之類的問題提供了新的見解。 對于使用有限域定義的幾何對象，Weil發現了如何定義大型的zeta函數新類。這些是Bernhard Riemann于1859年發現的zeta函數的類似物，這引發了著名的未解決的Riemann假設。韋伊在有限域上的幾何背景下推測了黎曼假設的新版本-幾何黎曼假設。格羅騰迪克（Gothendieck）和皮埃爾·德利涅（Pierre Deligne）的工作證明了韋伊的猜想（他們各自獲得了菲爾茲獎章）。數論的許多當代進展都使用了韋伊幾何版本的黎曼假設的推廣。 橢圓曲線 某些三次方程的圖形形成“橢圓曲線”。就像數學家使用幾何推理找到二次勾股方程的有理解一樣，他們也可以使用類似的橢圓曲線方法。通過考慮經過兩個已知點的直線與曲線的交叉點，他們可以在橢圓曲線上找到新的有理點。
編輯搜圖 橢圓曲線有理點 橢圓曲線y2= x3 – 4x +1上的哪些點是有理的（意味著它們的值可以表示為分數）？要找到它們，請通過成對的有理點畫線。線相交的所有其他點也將是有理的。 有關特定丟番圖方程解的許多重要問題都簡化為關于橢圓曲線性質的問題。最著名的莫過于橢圓曲線是安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）證明費馬最后定理的的核心。它們在BSD（Birch和Swinnerton-Dyer）猜想中也起著核心作用，這是克萊數學研究所的百萬美元千禧年問題之一。 形狀
編輯搜圖 在幾何學以及與拓撲密切相關的領域，數學家研究形狀。這些形狀可以具有任意維度-一張紙的兩個維度，日常生活的三個維度，弦論的11個維度等等。在拓撲中，形狀稱為流形，包括一維圓，球形的二維表面或弦論中發現的難以想象的六維卡拉比-“ Calabi-Yau”流形。如果在流形上放置一些其他結構以測量諸如距離之類的概念，則拓撲將變為幾何。
編輯搜圖 球面
編輯搜圖 環面
編輯搜圖 三葉結 低維拓撲 自19世紀以來，數學家就已經了解了一維和二維流形。在20世紀中葉，一個令人驚訝的發現是，具有五個或更多個維度的形狀也相對容易分析-這些額外的維度為數學家提供了更大的回旋余地，這使他們可以運用更多的技術。拓撲中許多最困難的開放問題都在維度3和維度4中，在這方面，數學家仍在尋求更好的理解，以了解如何區分流形以及如何理解區分它們的特征。 如何區分形狀 您如何展示兩個流形不能相互轉換？數學家尋求不變量-即使形狀變形了也不變。這是一個簡單的示例：以一個球體為例。現在在其上繪制三角形，以便球體的整個表面都鋪有三角形。計算角的總數，減去邊的數量，然后加上面的數量。如果對球體執行此操作，或者在拓撲上等效于該球面的任何形狀，則得到2。但是對于甜甜圈或環面，則得到0。球面與環面之間的區別證明了這些形狀 在拓撲上是不同的。
編輯搜圖 8面體
編輯搜圖 20面體
編輯搜圖 32面體
編輯搜圖 80面體 三角剖分猜想 在20世紀初，數學家提出了三角剖分猜想，該猜想要求：是否可以將任意維度的任意形狀均勻地分成三角形部分？到1950年代，他們已經證明了三角剖分猜想適用于一維，二維和三維。在1980年代，他們發現了反例，在四維反駁了它。2013年，數學家Ciprian Manolescu發現了一個新的不變量，并用它證明了三角剖分猜想在維度5和更高維度上是錯誤的。 |
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