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作者：比爾·安德魯斯 2021-12-23 譯者：zzllrr小樂 2022-1-3
數學家和計算機科學家在集合論、拓撲和人工智能方面取得了令人興奮的突破，除了保留逐漸消失的知識和重新審視舊問題。他們在該領域的基本問題上取得了新的進展，慶祝跨越遙遠的數學領域的聯系，并看到數學與其他學科之間的聯系在增長。但許多結果只是部分答案，一些有希望的探索途徑被證明是死胡同，留給后代（和當代）工作。 已經忙碌了一年的拓撲學家看到了今年秋天出版的一本書，該書終于全面呈現了一部有 40 年歷史但面臨丟失危險的重要著作。11 年前創建的幾何工具在不同的數學環境中獲得了新生，連接了不同的研究領域。集合論中的新工作讓數學家們更接近于理解無窮大的本質以及到底有多少實數。這只是數學中許多幾十年前的問題之一，今年得到了某種形式的答案。 但數學并不是憑空存在的。今年夏天，量子雜志報道了對量子場論的數學理解日益增長的需求，量子場論是物理學中最成功的概念之一。同樣，計算機正日益成為數學家不可或缺的工具，他們不僅使用計算機進行計算，還使用它們解決原本不可能的問題，甚至驗證復雜的證明。隨著機器在解決問題方面變得越來越好，今年在理解它們是如何變得如此擅長的方面也取得了新的進展。
保持拓撲 人們很容易認為，數學證明一旦被發現，就會永遠存在。但是 1981 年的開創性拓撲結果有被遺失的危險，因為少數殘存的理解它的數學家年齡漸長并離開了該領域。邁克爾·弗里德曼 (Michael Freedman) 對四維龐加萊猜想的證明表明，某些形狀在某些方面與四維球體相似（或“同倫等價”）也必須在其他方面與四維球體相似，從而使它們“同胚”。（拓撲學家有自己的方法來確定兩個形狀何時相同或相似。）幸運的是，一本名為The Disc Embedding Theorem 的 新書在近 500 頁中建立了弗里德曼令人驚訝的方法的不可繞開的邏輯，并在數學經典中牢固地確立了這一發現。 拓撲學的另一個近期主要成果涉及 Smale 猜想，該猜想詢問四維球體的基本對稱性是否基本上是它所具有的所有對稱性。Tadayuki Watanabe 證明了答案是否定的——存在更多種類的對稱性——并且在這樣做的過程中，他開始了對它們的搜索，最近在 9 月份出現了新的結果。此外，兩位數學家開發了“ Floer Morava K- theory ”，一個結合了辛幾何和拓撲的框架；這項工作建立了一套新的工具來解決這些領域的問題，并且幾乎順便證明了一個名為阿諾德猜想的幾十年前問題的新版本。
打開人工智能的黑匣子 無論是幫助數學家做數學還是幫助分析科學數據，深度神經網絡這種建立在人工神經元層上的人工智能形式，都變得越來越復雜和強大。它們也仍然很神秘：傳統的機器學習理論認為它們的大量參數應該會導致過度擬合和無法概括，但顯然其他事情肯定會發生。事實證明，更老的、更好理解的機器學習模型，稱為核機器（kernel machine），在數學上等同于這些神經網絡的理想化版本，提出了理解和利用數字黑匣子的新方法。 但也有挫折。被稱為卷積神經網絡的相關 AI 很難區分相似和不同的對象，而且很有可能它們總是會這樣做。同樣，最近的工作表明，梯度下降——一種對訓練神經網絡和執行其他計算任務有用的算法——是一個根本性的難題，這意味著某些任務可能永遠無法實現。量子計算盡管有其承諾，但在 3 月份也遭遇了重大挫折，當時一篇描述如何創建抗誤差的拓撲量子位的主要論文被撤回，迫使曾經充滿希望的科學家們意識到這樣的機器可能是不可能的。（Scott Aaronson在專欄和視頻中強調，這就是為什么量子計算機如此難以使用，甚至難以談論。）
無限的本質 存在多少實數？一個多世紀以來，它一直是一個具有挑釁性且尚未解決的問題，但今年我們看到了朝著答案的重大進展。David Asperó 和 Ralf Schindler 在 5 月發表了一個證明，該證明結合了兩個先前對立的公理：其中一個的變體，稱為 Martin 的最大值，隱含了另一個，命名為 (*)（發音為“star”）。結果意味著兩個公理更有可能為真，這反過來表明實數的數量比最初認為的要多，對應于基數?? 而不是較小的??（但仍然是無限的） . 這將違反連續統假設，該假設指出??（對應于所有自然數的集合），與實數的連續統，這兩個基數之間不存在另外的無窮大。但并非所有人都同意，包括 (*) 的原始創造者休·伍丁 (Hugh Woodin)，他發表了新作品，表明連續統假設畢竟是正確的。 這并不是唯一一個幾十年前的問題被現代解決方案重新審視。1900 年，大衛·希爾伯特提出了 23 個未解決的重要問題，今年，數學家們對第 12 個問題（關于某些數字系統的構建塊）和第 13 個問題（關于七次多項式的解法）發布了不完整的答案。二月還看到單位猜想是錯誤的，這意味著乘法逆實際上存在于比數學家想象的更復雜的結構中。一月份，亞歷克斯·康托羅維奇（Alex Kontorovich）在一篇文章和視頻中探討了也許是數學中最大的未解決問題，即黎曼假設。
擴展數學橋梁 通常，一個偉大的數學進步不僅回答了一個重大問題，而且還提供了一種新的探索途徑來嘗試解決其他問題。Laurent Fargues 和 Jean-Marc Fontaine 在 2010 年左右創建了一個新的幾何對象，這有助于他們自己的研究。但是，當結合 Peter Scholze 圍繞完美空間的想法時，Fargues-Fontaine 曲線具有更廣泛的意義，進一步將數論和幾何連接起來，作為已有數十年歷史的朗蘭茲綱領的一部分。“這是兩個不同世界之間的某種蟲洞，”Scholze 說。 對朗蘭茲綱領的其他思考包括對Ana Caraiani的采訪，她的工作有助于加強和改善不同數學領域之間的類似聯系，以及對位于原始朗蘭茲猜想核心的伽羅瓦對稱群的檢查。
數學和計算機聯手 現實世界的系統是出了名的復雜，偏微分方程 (PDE) 可以幫助研究人員描述和理解它們。但眾所周知，偏微分方程也很難解決。兩種新的神經網絡——DeepONet 和傅立葉神經算子——已經出現，使這項工作變得更容易。兩者都具有逼近算子的能力，可以將函數轉換為其他函數，有效地允許網絡將無限維空間映射到另一個無限維空間。新系統比傳統方法更快地求解現有方程，它們還可能有助于為以前過于復雜而無法建模的系統提供偏微分方程。 事實上，今年計算機以各種方式顯示對數學家有所幫助。一月份，量子雜志報道了量子計算機的新算法，該算法將允許它們處理非線性系統，其中相互作用會影響自身，首先將它們近似為更簡單的線性系統。當一組數學家使用現代硬件和算法證明沒有比 26 年前發現的類型更多的特殊四面體時，計算機也繼續推進數學研究（一個名叫Lean的計算機證明助手，證明了一個高深莫測的現代證明的正確性）。
數學再次遇到物理 物理和數學總是相互重疊、相互啟發、相互促進。量子場論（QFT ）的概念是物理學家用來描述涉及量子場的框架的一個包羅萬象的概念，它取得了巨大的成功，但它建立在不穩定的數學基礎上。將數學嚴謹性引入量子場論將有助于物理學家在該框架中工作并擴展該框架，但它也將為數學家提供一套新的工具和結構。在一個由四部分組成的系列中，量子雜志研究了當前困擾數學家的主要問題，探索了一個二維的小規模成功故事，與QFT 專家 Nathan Seiberg討論了這些可能性，并在視頻中解釋了最突出的 QFT：標準模型。 |
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