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作者：Leila Sloman（寫作實習生）2022-4-21 譯者：zzllrr小樂 2022-4-24 最近的一篇論文中，普林斯頓大學的Manjul Bhargava（曼紐爾·巴爾加瓦）解決了一個 85 年前的猜想，該猜想是關于最古老的數學難題之一：多項式方程的解，例如x2 – 3 x + 2 = 0。“這是一個很大的問題，著名的老問題，”蒙特利爾大學教授安德魯·格蘭維爾（ Andrew Granville）說?！癧巴爾加瓦] 有一種有趣的、不同的方法，很有創意?！?/p> 為了理解多項式，數學家研究它們的根，就是使多項式等于零的x值。如果將數字 1 或 2 代入x2 – 3 x + 2，你將得到零，從而 1 和 2 是該多項式的根。 方程x2 – 5 = 0 有點棘手。這個多項式不能用有理數（一個由兩個整數相除的分數）來求解。所以數學家定義了一個新的數字來解這個方程并稱之為√5。但我們對√5所知道的是它的平方是 5。一旦你有√5，你可以輕松地將其乘以 –1 以獲得第二個根：–√5。 這兩個方程在另一個關鍵方面有所不同。x2 – 5 = 0的根有助于求解我們數學系統中的許多其他方程，例如x2 – 20 = 0。（請注意，這里我們的數學系統僅限于多項式和有理數。）但是如果我們開始這樣使用它們的話，我們會發現√5和 -√5完全可以互換。對于x2 – 20 = 0，2√5 和 -2√5都是解（更一般地說，在任何情況下，都這樣）?！?處處有用，-√5也是。 這種情況是迄今為止最常見的情況。有根不可互換的有理方程很少見，就像在我們的第一個示例中一樣，如果你在數學系統中開始使用 2 代替 1，就會產生廢話?！叭绻闱袚Q 1 和 2，那么所有算術都會死掉，” 巴爾加瓦 的合作者、南卡羅來納大學教授弗蘭克·索恩 ( Frank Thorne ) 說。 范德瓦爾登猜想由荷蘭數學家 Bartel Leendert van der Waerden 于 1936 年提出，試圖量化有多少多項式具有不可互換的根。幾十年來的進展是穩定但緩慢的。但最近，這一進展加速了，被推動整個數論的信風推向前方?！坝绕涫菙嫡撝懈唧w、更經典的問題，在過去 20 年中確實卷土重來，”倫敦皇家霍洛威大學教授雷納·迪特曼 ( Rainer Dietmann ) 說。 為此，巴爾加瓦在 2014 年獲得了菲爾茲獎（被廣泛認為是數學界的最高榮譽）?！鞍蜖柤油咄频沽艘欢验T，邀請人們去探索，”索恩說。 2021年夏天，關于范德瓦爾登猜想的新工作如潮水般涌現。華威大學的Dietmann 和他的合作者Sam Chow，于 6 月28 日發布了一篇取得重大進展的新論文，解決了幾個關鍵案例。接下來的一周，另一個六人團隊分享了他們自己的預印本。 在這當中，巴爾加瓦 于 7 月 1 日進行了一次在線演講。在演講中，巴爾加瓦 展示了對范德瓦爾登猜想稍作修改的證明。“他已經做到了只剩毫厘之差，”索恩說。 僅僅兩周后，在美洲數學大會期間的一次在線演示中，巴爾加瓦 分享了完全證明范德瓦爾登猜想的新工作。他于 11 月在網上發布了他的論文。
范德瓦爾登對有多少多項式具有不可互換的根感興趣。但是對于無數個多項式，他不得不以某種方式限制數目。 他從多項式的次數開始，即公式中出現的x的最高冪。多項式x2 + 1 的次數為 2，而x1? – 4 的次數為 17。然后他只研究了首項系數為 1 的多項式。這些被稱為首一多項式（ monic polynomial）。（通過僅考慮首一多項式，你可以消除一些重復計算：2 x2 – 6 x + 4 與x2 – 3 x + 2具有完全相同的根。） 最后，他通過選擇一個名為H的正數來限制其余的系數。他只研究了系數都在-H和H之間的多項式。 范德瓦爾登猜想指出，如果你計算你選擇的多項式——所有系數在-H和H之間的首一n次多項式——它們中大約H??1個將有不可互換的根。巴爾加瓦證實了這一說法。 經過多年的仔細思考，這個證明才最終形成。“我斷斷續續地思考這個問題至少七八年了，”巴爾加瓦說?！叭魏螘r候出現一些想法，即使跟其他問題有關，我都會想，哦，它是否適用于這個問題？” 最終的解充分利用了 巴爾加瓦 花費大量時間收集的技術。他沒有一次性數他的多項式池，而是將它們分成三個不同的組。根據判別式對多項式分組（判別式是與多項式的根相關的數字）。然后，巴爾加瓦使用不同的策略進攻每一組。 “它們都是來玩的。這就是讓我如此興奮的原因，”巴爾加瓦 說?！斑@些來自不同領域的各種想法像拼圖一樣匯集在一起，以解決問題，完美地涵蓋了所有可能的情況。” 盡管新論文解決了范德瓦爾登的猜想，但仍有無數前進的道路。“像 巴爾加瓦 這樣的人的一大優點是，他的獨創性往往會打開事物，給其他人思考和發展的機會，”格蘭維爾說。 例如，數學家可以考慮當他們從比有理數更多的數字集合開始時會發生什么。他們還可以調查范德瓦爾登猜想背后的細節：如果你不能以你想要的方式交換根，你怎么能交換它們呢？特定模式是否特別容易出現？ 即使 巴爾加瓦 的技術不能直接導致數論的下一個突破，Thorne 相信這篇論文將產生更無形的影響?！拔艺J為，閱讀這篇論文就是要意識到這些結果有待證明，”他說?！癧巴爾加瓦] 敢于相信這是可能的，他向世界證明了他是對的?！?/p> |
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