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26 歲的 Jared Duker Lichtman 證明了一個長期猜想，將素數與一大類“本原”數字集合關聯起來。對他的導師來說，這令人“徹底震驚”。 本原集（primitive sets）是一種數列，其中的數字都不整除任何其他數字。在這些集合的宇宙中，素數是獨一無二的。 作者：Jordana Cepelewicz 2022-6-6 譯者：zzllrr小樂 2022-6-7 作為算術的原子，素數在數軸上一直占據著特殊的位置。現在，牛津大學 26 歲的研究生Jared Duker Lichtman解決了一個眾所周知的猜想，確立了素數特殊的另一個方面——在某種意義上，甚至是最優的。“它為你提供了一個更大的背景，以了解質數在哪些方面是獨一無二的，以及它們以何種方式與更大的數字集相關聯，”他說。 該猜想涉及本原集合——數列中沒有數字可以整除任何其他數字。由于每個素數只能被 1 和它自己整除，所以所有素數的集合就是本原集合的一個例子。恰好有兩個或三個或一百個素因子的所有數字的集合也是如此。 本原集是由數學家 Paul Erd?s 在 1930 年代引入的。當時，它們只是一種工具，使他更容易證明某種起源于古希臘的數字（稱為完美數perfect numbers）。但它們很快就成為人們感興趣的對象——Erd?s 在他的整個職業生涯中都會一次又一次地回到這些對象。 那是因為，盡管它們的定義很簡單，但本原集合確實是奇怪的野獸。只需詢問本原集合可以達到多大，就可以捕捉到這種奇怪之處。考慮最大為 1,000 的所有整數的集合。從 501 到 1,000 的所有數字——集合的一半——形成一個本原集合，因為沒有一個數字可以被任何其他數字整除。通過這種方式，本原集可能包含大塊的數軸。但是其他本原集合，例如所有素數的序列，非常稀疏。“它告訴你，本原集確實是一個非常廣泛的類別，很難直接掌握，”Lichtman 說。 為了捕捉集合的有趣屬性，數學家研究了各種大小的概念。例如，與其計算一個集合中有多少個數字，他們可能會執行以下操作：對于集合中的每個數字n，將其代入表達式 1/( n log n )，然后將所有結果相加。例如，集合 {2, 3, 55} 的大小變為 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。 Erd?s 發現對于任何本原集（包括無限集）這個和——“Erd?s 和”——總是有限的。無論本原集是什么樣子，它的 Erd?s 和總是小于或等于某個數字。因此，盡管這個總和“至少從表面上看是完全陌生和模糊的”，Lichtman 說，但它在某些方面“控制了一些本原集合的混亂”，使其成為使用合適的量尺。 拿著這根量尺，下一個自然要問的問題是最大的Erd?s和可能是多少。Erd?s 推測對于素數集而言，結果約為 1.64。通過這個鏡頭，素數構成了一種極端。
Jared Duker Lichtman 稱這個問題是他“過去四年的忠實伙伴”。 幾十年來，數學家在證明方面取得了部分進展。例如，他們證明了這個猜想對于特定類型的本原集是正確的。 盡管如此，“在 Jared 開始研究它之前，我們似乎并沒有真正接近它，”不列顛哥倫比亞大學從事相關問題研究的數學家Greg Martin說。András Sárk?zy是匈牙利 E?tv?s Loránd 大學的數學家，也是 Erd?s 的經常合作者，他對此表示贊同。“這當然看起來遙不可及，”他說。 Lichtman 于 2018 年開始研究本原集猜想，那是他在達特茅斯學院讀本科的最后一年。“我立刻對這個問題著迷了。像這樣的事情怎么會是真的，這非常神秘，”他說。“過去四年來，它一直是我的伴侶。” 2019 年，他和達特茅斯學院的導師Carl Pomerance發現本原集的 Erd?s和不能大于 1.78。“這并不太遙遠，”Martin說。“僅比素數猜想大 10% 左右。” Lichtman 和 Pomerance 通過將一個新的倍數序列與給定本原集合中的每個數字相關聯來獲得這個常數。再次考慮本原集 {2, 3, 55}。與數字 2 相關聯的是所有偶數的序列。與數字 3 相關聯的是所有那些不是 2 的倍數的 3 的倍數（滿足最小素因數是3）。與數字 55 (5 × 11) 相關聯的是最小素因數為 11 的所有 55 的倍數（因此不包括 2 、3、5、7的所有倍數)。Lichtman 將其比作單詞在字典中的索引方式——僅使用素數而不是字母來組織每個序列。
然后，他和 Pomerance 思考了這些倍數序列有多“密集”——也就是說，它們占據了多大部分的數軸。（例如，所有偶數的序列的密度為 1/2，因為偶數占所有數字的一半。）他們觀察到，如果原始集合是本原集合，則其相關的倍數序列不會重疊，因此它們的組合密度最多為 1——所有整數的密度。 這一觀察是相關的，因為 19 世紀數學家Franz Mertens的定理基本上允許 Lichtman 和 Pomerance 根據這些密度重新解釋本原集的 Erd?s 和。根據 Mertens 定理，一個特殊的常數（大約等于 1.78），當乘以一個相當于這些倍數的組合密度的項時，給出了一個本原集的 Erd?s 和的最大值。并且由于組合密度最多為 1，Lichtman 和 Pomerance 證明了本原集的 Erd?s 和最多為 1.78 左右。 “這是 Erd?s 最初想法的一種變體，但它是一種非常巧妙、簡潔的方法……獲得了一個不嚴格但也不算太差的上限，”牛津大學的數學家James Maynard說。 幾年來，這似乎是最好的數學家可以做到的。目前尚不清楚如何將該最大值降至 1.64。與此同時，Lichtman 畢業并搬到牛津與 Maynard 一起攻讀博士學位，在那里他主要研究與素數有關的其他問題。 “我知道他一直在考慮這個問題，”Maynard說，“但他突然想出一個完整的證明，令人大為震驚。” Lichtman 首先意識到，對于素因數相對較小的數字，他先前與 Pomerance 的結論仍然有效：在這種情況下相對簡單地可證明，常數 1.78 可以降低到1.64以下。 但是具有相對較大素因數的數字——在某種意義上“接近”素數——是另一回事。為了解決這些問題，Lichtman 找到了一種方法，不僅可以將一個倍數序列與每個數字相關聯，還可以將多個序列關聯起來。和以前一樣，所有這些序列的組合密度最多為 1。但這一次，“這些其他倍數會像雜草一樣生長并占據一些空間，”Lichtman 說。 取數字 618 (2 × 3 × 103)。通常，你可能會將其最小素因數為 103 的所有 618 的倍數與它相關聯。但可以使用一些被省略的較小素因數來構建序列。例如，一個序列可能由所有原始倍數組成，同時也允許被 5 整除的 618 的倍數。（一些限制規定可以使用哪些較小的素因數。） 這些額外倍數的存在意味著本原倍數的組合密度——Mertens 定理中使用的數量——實際上小于 1。Lichtman 找到了一種方法來更精確地確定該密度可能是多少。 然后，他仔細確定了本原集合的最壞情況可能是什么樣的：它將在具有大素因數的數字 和 具有小素因數的數字之間取得什么平衡。通過將他的證明的兩個部分拼湊在一起，他能夠證明這種情況下的 Erd?s 和小于 1.64。 “這是關鍵時刻，”Maynard說。“我不知道是運氣還是什么，從數字上來說已經足夠了。” Lichtman于 2 月在網上發布了他的證明 （https:///abs/2202.02384） 在線論文pdf https:///pdf/2202.02384.pdf 數學家指出，這項工作特別引人注目，因為它完全依賴于初等證明。“他并不是在等待所有這些瘋狂的機器開發出來，”Thompson說。“他只是有一些非常聰明的想法。” 這些想法現在鞏固了素數在本原集合中的特殊性：它們的 Erd?s 和至高無上。“我們都認為素數很特別，”Pomerance 說。“這只會增加它們的光彩。” |
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