高等數學上核心概念：談談導數，微分，積分之間的關系（微分篇）

常熟老李jlr5mr 2022-07-16 發布于江蘇

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接上一篇博客，導數講完之后，來講微分
https://blog.csdn.net/weixin_40163242/article/details/89003225

話說微分這個概念是很容易被誤解的。因為它往往是和導函數在一起出現的，所以，我大一的時候，那時沒怎么理解這其中的道理，因為很多題求微分的過程就是求導，所以認為微分和導數就是沒什么差別的東西。這其實并不是我一個人這樣誤解了，很多人都是這樣。這也是我們教育中比較失敗的一點，為了應付考試不掛科，總是過多的去教一些換元法呀這種計算方法，而對真正的數學概念卻模模糊糊，學到最后，題目會做一大堆，但別人問你什么是微分，根本搞不清楚。

【問題引入】：
你能很方便地估算出這幾個值嗎？
在這里插入圖片描述
我想，如果你不知道微分，在不用計算器的情況下，是很難計算出來的吧。因此，微分此時就有了重要作用。

那么什么是微分呢？

首先，我們看這樣一個經典例子，正方形薄片面積問題：
正方形薄片原面積是A = x0 ^ 2，由于熱脹冷縮，邊長增加了△x，問你面積增加了多少
在這里插入圖片描述
很明顯，能輕松算出，△A應該就是上面那個表達式。
這里我們注意一下，當我們的△x非常非常小的時候，（△x）^2這個量相對于
2 *x0 * △x其實是可以忽略不計的。
因為當△x趨近于0，（△x）^2是相對于 △x的一個高階無窮小。
在這里插入圖片描述
所以這個式子：2 *x0 * △x，才是面積增量的主要部分，又因為它是△x的線性函數，我們又稱之為線性主部。因此，當△x特別小時，我們計算面積的增量，實際上就可以用近似值2 *x0 * △x來代替了！

我們把2 x0 △x稱為函數y = x ^ 2在x0處的微分！記為dy|x = x0

微分定義：o（△x）是△x的一個高階無窮小量
在這里插入圖片描述
一般地

所以微分和導數顯然不是一個東西！導數是一個極限值，一個變化率。而微分是函數因變量的增量近似值！

微分的幾何意義：

通過幾何意義，你應該可以更好的理解微分和導數的差別
在這里插入圖片描述
這里很明顯可以看到，微分和導數是完全不同的兩個概念。一個是dy，一個是tan(a)，所以現在應該知道，將導數和微分理解為同一個東西是多么愚蠢的想法了吧！

可導和可微的關系

這里因為兩者都涉及到△x，△y所以很自然的聯想到它們之間會不會存在某種關系。
首先給出結論：可導是可微的充要條件！
首先證明必要性（可導可以推可微）

因為根據導數的定義
如果可導，一定有△y / △x，當△x趨近于0的時候，極限存在為A=  f,(x0)
所以，我們根據定理，可以有△y / △x = f,(x0) + o；
所以△y = f,(x0) * △x + o *△x；	（ｏ為一個無窮小）
因此，滿足可微的條件式
所以可導是可以推出可微的

記下來證明充分性（可微可以推可導）

因為可微
所以△y = A* △x + o；	o是一個 △x的高階無窮小
我們現在要推△y / △x，當△x趨近于0的時候極限存在
所以同除 △x
因此右邊變為A + (o / △x)；
所以最后求得極限是A，因為o是高階無窮小，最后(o / △x)極限為0
因此△y / △x的極限是A，極限存在
所以可微也可以推出可導！

說了這么多，那么微分到底有什么卵用呢？

還記得我們剛開始給出的那個問題嗎？現在我們可以用微分的方法去解它了。
第一題過程如下：
在這里插入圖片描述
我用計算器所得結果為

可以看到，兩者計算所得到的結果是多么相近啊！誤差非常的小！我們前面已經通過數學方法計算出來了，dy與△y 兩者的誤差僅為△x的一個高階無窮小。

第二題我就不演示了，計算結果為9.995
計算器算得的結果：
在這里插入圖片描述
也非常相近，真是太厲害了！

其實微分除了求近似值這種比較直接的用處之外，還有一些間接的用處呢！最典型的就是“化曲為直”的思想了

是這樣的，每一個小段△x的范圍，當△x趨近于0的時候，對于這一段△x上的切線的dy和曲線的△y是近似相等的。因此，不就是相當于這一段上的曲線和切線幾乎重合嗎？所以，在這一小段△x上，我們可以用切線來代替曲線研究問題，這就是“化曲為直”的思想了。這個思想很有意義，因為直線肯定比曲線好研究啊！

那么講述到這里，可能有的人會問了，那不定積分和定積分中為什么會有微分的符號dx呢？至少我當初研究到這個地方來的時候，腦海里不免會有這樣的疑問

不定積分中有dx的原因

這是我們一般不定積分的寫法：
在這里插入圖片描述
Ｆ（x）是f(x)的原函數。此時我們可以發現，f(x)dx不就是我們熟悉的F(x)的微分嗎？此時f(x)是F(x)的導數嘛！所以我們可以寫成dF(x)的形式。然后我們現在用一個積分符號 ∫ 表示，將這每一小段的微分，即每一小段一小段的小直線，給它“累加”起來，最后不就成了原函數F(x)了嗎？