【原】數論中最具創新和美麗的證明之一，等差級數的狄利克雷定理

研究質數最有力的工具之一是狄利克雷特征理論。1805年，一位天才在法國誕生。他的名字叫彼得·古斯塔夫·列瓊·狄利克雷。狄利克雷12歲時就對數學感興趣，1822年他去巴黎學習。幾年后，他證明了費馬大定理的一個特殊情況，即n = 5的情況。這使他在數學界名聲大噪。1832年，狄利克雷成為普魯士科學院最年輕的成員，只有27歲。

1837年，狄利克雷開始思考一個問題，它徹底改變了我們研究整數的方法。數學家們知道素數有無限多（公元前300年歐幾里得證明了這一點），但在當時，研究自然數子集中的素數似乎是遙不可及的。但后來狄利克雷有了一個好的想法。當時的先驅們正在積極地發展復變分析，創造出了許多分析工具。他利用這些工具來研究整數，從而將復分析和數論結合起來。

他想要解決的問題是：

對于任意兩個互質整數a和m，有無窮多個a + nm形式的質數，其中n是一個正整數。

狄利克雷證明了這個命題，現在這個定理以他的名字命名，叫做等差級數的狄利克雷定理。為了證明這一點，狄利克雷發明了一類完全乘性函數，現在稱為狄利克雷特征（Dirichlet characters）。

狄利克雷特征

設m為自然數。模m的狄利克雷特征是函數χ：?→?，從整數到復數，滿足以下條件。

• χ(ab) = χ(a)χ(b)。

• 如果gcd(a, m) >1，1則χ(a) = 0，否則χ(a)≠0。

• χ(a + m) = χ(a)。

從這些性質，還可以推導出其他一些性質。例如，根據上面的第二個性質：χ(1)≠0，因此，我們可以除以它，得到χ(1)χ(1) = χ(1)?1 = χ(1)，這意味著，對所有特征都有χ(1) = 1。所以我們有

• 對于所有的χ，χ(1) = 1。

• 我們看到χ(-1)2 = χ((-1)2) = χ(1) = 1，因此χ(-1) = 1或χ(-1) = -1。

我們稱這個符號為特征的奇偶校驗；如果χ(-1) = 1，則稱其為偶，如果χ(-1) = -1，則稱其為奇。注意，對于任何模m，有一個特殊的特征稱為主特征χ0 mod m。它由以下方法定義

• 如果a≡b (mod m)，那么上面的第三個性質說明，χ(a) = χ(b)。

其他一些屬性是可派生的。其最重要的性質之一是它們都是乘法群之間的同態，因此在復平面的單位圓上取值。我們在這里不討論特征的群方面，開始之前，有兩個知識需要知道。

第一個是歐拉函數?。我們定義? (n)為小于n的正整數中與n互質的數的數目。即自然數k＜n使gcd(k, n) = 1。例如，?(10) = 4，因為有4個小于10的自然數與10互質。

我們需要知道的第二個知識是關于狄利克雷特征的一個事實叫做正交關系，

這里求和是所有模為m的特征，第一個特征上的橫杠是這個特征的復共軛。

從歐拉函數到L-函數

歐拉研究了ζ函數，發現素數和自然數之間有一個美麗的聯系，稱為歐拉乘積。令s＞1，那么

s實際上可以是復數（由黎曼推廣），但在歐拉的時代，復數分析還處于初級階段，他只考慮s為實值。

這實際上給出了“有無限多個素數”的另一個證明。歐拉注意到如果對方程兩邊取對數會發生一些有趣的事情，

現在回想一下對數的泰勒級數展開

因此我們得到，

當s向右趨近于1。

我們看到，log ζ(s) =∑1/p^s加上某個有界函數。有很多方法來證明這個漸近界O（1）。一種方法是回到對數的和。我們可以用微積分的各種方法證明，如果0 < x ≤ 1/2 ，那么 -log(1 - x) < x + x2。

因為對于所有質數p和s > 1，1/p^s ≤ 1/2，我們可以用這個引理代入得到

這顯示了一個顯式的邊界和歐拉著名的巴塞爾問題解的一個很好的應用。通過這種方法，我們不僅確定了有無限多個質數，而且知道∑1/p是發散的。這樣，我們就可以有把握地說，質數在自然數中比平方數的密度大。

盡管質數倒數的和發散的速度很慢。實際上，我們可以從上面看到它的發散近似于loglogx。這是一個增長極其緩慢的函數。例如，這個函數要超過數字4，需要x大于

這是一個有24位的數字。狄利克雷的想法是試圖將這個結果推廣到素數的子集即等差數列中的素數。注意下面的等差數列

可以表示為

換句話說，狄利克雷想要證明，如果gcd(a, m) = 1，我們得到的結果

是發散的。

為了做到這一點，狄利克雷有了第二個奇跡般的洞察。結果是ζ函數有很多“表親”，它們顯示出和ζ函數相同的性質包括歐拉乘積。這類函數是狄利克雷的第二大發現。

由于狄利克雷特征是完全乘性的，因此它們對應的狄利克雷級數也有歐拉積。具體地說，我們有關于χ的狄利克雷L-級數的定義：

我們假設s > 1。

這也可以定義為復數s。通過解析延拓，這個函數可以擴展為整個復平面上的亞純函數，稱為狄利克雷L-函數。

在復平面上定義ζ函數時，稱為黎曼ζ函數。

因為所有的狄利克雷特征都是完全乘性的，這個級數也有一個歐拉積，

注意，對于具有平凡特征的狄利克雷L-級數的定義，即χ(n) = 1對于所有n，給出了通常的帶有歐拉乘積的ζ函數。這使得狄利克雷L-函數成為了ζ函數的推廣。

事實上，這些函數與黎曼ζ函數非常相似，它們不僅具有等價的歐拉乘積，而且在Re(s) = 1/2這條線周圍有一個漂亮的對稱關系。此外，它們被期望滿足一個與黎曼假設等價的命題，但這尚未得到證明。

狄利克雷的證明

一旦狄利克雷建立了特征的歐拉積，接下來的邏輯步驟是對兩邊取對數，得到質數的和

再一次，通過類似于上面的論證，我們可以用漸近函數來重寫它

這僅僅意味著，當s→1時，右邊的和的增長近似于左邊。從這里，狄利克雷有了一個偉大的想法。他用正交關系把它變成了他想要的形式。具體地說，如果我們在上面的方程兩邊乘以χ (a)的復共軛，然后用模m對所有的特征求和，我們得到如下結果

這太神奇了。狄利克雷用他的特征定義了一個（全純）函數，它是等差數列

中所有素數的和。

現在，狄利克雷“只”需要證明左邊在s→1時發散。

證明這一點的策略是，通過將特征分組到三個不相交的集合，

這樣做的原因之一是，對于任何非主特征的χ，結果表明級數L(s，χ)對于s>0是收斂的。

其策略是證明L(s，χ0)在s = 1處有一個簡單的極，即對應的L級數是發散的，如果χ是一個非主特征，則L(1，χ)≠0。

第二個原因是，我們需要確保L(s，χ0)的極點不會被“log(0)”這樣形式的負無窮吞噬。

第一個（主特征），很簡單，可以用很多方法證明。例如，我們可以檢驗，

觀察一下，右邊除模m的質數的乘積總是有限的——事實上，當s = 1時，你可以檢查它等于?(m)/m。所以左邊的級數從ζ (s = 1)繼承了極點。

因此，最重要的是證明L(1，χ)對任何非主特征都不等于0。

復數的情況比較簡單，因為如果我們對相應的L級數的所有特征取一個乘積，

那么首先，可以證明

我們可以把L-級數的對數寫成另一個級數，在這種情況下更容易處理。

第二（復特征），由于主特征的L-級數在s→1時發散，乘積中最多只能有一個零因子，否則，它將是0，與它大于1相矛盾。但如果χ是一個復數，那么它的共軛復數也是不同的，但如果一個是0，另一個也是不同的。因此，對于復χ， L(1，χ)≠0。

二次特征的情況更加微妙，超出了本文的范圍。

狄利克雷發明了一個新的數學領域和許多新的抽象方法。在這個證明中，他使用了一些現代的抽象方法。需要注意的是，狄利克雷在他的證明中使用的符號與我們現代的符號非常不同。

我認為這是最具創新和美麗的證明之一。