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你是不是覺得微積分太抽象了，太難了，理解不了？哪怕老師講過了，仍然是一頭霧水，暈暈乎乎不知所以？ 可憐的朋友，你這是典型的被弄蒙圈了。就像被人當頭狠狠打了一悶棍似的，被打得迷迷糊糊的，大腦一片空白，失去了思考能力，很簡單的東西也覺得不可思議。 這自然不能怪你，非要怪誰的話，也可以找到一二。微積分專著、數學教材咱們不怪，誰讓它們就是干這個的呢？ 首先要怪的是數學老師。唐德宗貞元十八年，韓愈著作《師說》，其中有：“師者，所以傳道授業解惑也”。老師是專門給人解惑的，可是課堂上，偏僻有老師照本宣科，授課內容絕對正確，就是惑沒解多少，有的甚至又增添了更多的迷惑。 再要怪的話，那就怪網上各種大咖吧。為了顯得自己高深莫測，為了顯得自己才高八斗，有的大咖故弄玄虛，繞了十八道灣，上扯葫蘆下扯瓢，吹得云里霧里，把簡單的事情復雜化，顯得深奧無比，弄的你徹底暈乎了事。 好了，下面言歸正傳，不然你也說我在七繞八繞，就是不說正題了。 為了讓你徹底理解微積分到底是個什么東東，我們就從分數開始，循序漸進，一步一步詳細解釋，很快你就會撥開迷霧，豁然開朗的。 一、導數是怎么回事，怎么計算？ （一）先復習已經學過的分數、速度 1、小學階段學過分數  為了方便后面的對比理解，我們先明確以下概念：在上面的分數中，數字1稱做分子，數字2稱做分母，數字0.5稱做分數值； 把公式1變化一下，寫成0.5×2=1，或者1=0.5×2，稱呼隨之改變：數字1在這里稱做積，數字2稱做乘數，數字0.5稱做被乘數。 俗話說入鄉隨俗，到哪道山唱什么歌，大家要慢慢習慣這個做法。 2、初中階段學過有關速度公式  用符號表示，則有  （二）下面，我們稍微擴展一點距離、時間的表示方式。 1、距離：假設你在操場上沿跑道跑步，從100米處跑到了300米處，你跑的距離是200米。 現在沿跑道做一數軸，起跑處取為原點，把跑道100米處記為x1，把300米處記為x2，則你跑的距離S= x2-x1=300-100=200（米） 由于S是x2與x1的差值，那我們就換個記法，這個差值不再用字母S表示，而是用Δx。其中Δ是希臘字母，讀作：德爾塔（英語詞是Delta），即Δx= x2-x1=300-100=200（米）。 在這里，需要明確指出，由于Δx= 200米是一個確定的差值，故，我們說符號Δ表示的是一個有限大小的差值。（注意“有限大小”這個說法，后面要對比使用的） 2、時間：假設你從100米處開始跑，時間是9點50分29秒，跑到300米處的時間是9點50分59秒，即你跑200米用了30秒的時間，也即t=30秒。 與距離一樣，我們換個記法：t1=9點50分29秒，t2=9點50分59秒，Δt= t2- t1=9點50分59秒-9點50分29秒=30秒 至此，我們知道，公式3可以改寫成如下形式  （三）平均速度、瞬時速度 1、上面的公式計算出來的速度，是在30秒內跑200米的平均速度。 你在跑步時，實際上可能會忽快忽慢，甚至會停下來喘口氣。平均速度的意思就是，不管你怎樣跑，反正是跑了200米，用了30秒，相當于你用平均速度勻速運動了30秒。 2、那你的起跑速度如何呢？ 起跑速度就是在起跑時剎那間的速度，物理上稱為瞬時速度。 設想你跑了很多次，跑的距離越來越短，用的時間自然也是越來越少。 極端情況：你跑的距離是無限短，用的時間是無限少，這個時候你的速度就是起跑速度。 注意“無限短、無限少”這種說法，對比前面的“有限大小”的說法，加以體會、理解“有限小、無限小”兩個詞匯表達的意義。 （四）無窮小、極限 “有限小”好理解，我就不再啰嗦了。那么，什么是“無限小”、怎么理解“無限小”這個概念呢？ 無限小的定義：對于給定的某一個值ε0（ε是希臘字母，讀作：艾普西龍），值ε永遠比ε0小，那么值ε就稱作無限小，也稱作無窮小。 比如，ε0取值0.1，ε可以取值0.01；ε0取值10的負105次方，ε可以取值10的負106次方，反正ε比ε0小就行。 前面我們知道，對“有限大小”的值，用字母Δ表示；現在對于“無窮小”，自然不能繼續再用Δ表示。字母Δ英語詞匯是delta，我們就用這個詞匯的第一個字母d表示“無窮小”。 這樣，對于起跑速度，也即起跑時的瞬時速度，公式4可以改寫成  其中lim是英文詞匯limit的縮寫，表示對后面的量取極限的意思，無窮小在這里表示成：有限小趨于零。 （五）微分、導數 比較公式1和5，可以看出，兩者情況發生了變化。使用的符號不一樣了，稱呼自然也得改變。 公式5仿照公式1，可以變成dx=Vdt，這樣，處于被乘數位置的V，也即是公式5中的分數值，現在稱為導數； dt稱為時間t的微分，微即微小之意，分即分割之意，就是把有限大小的t值分割成無窮多個無窮小，這個無窮小稱為微分，記為dt；同理，距離x的微分記為dx，也即公式5中的分子。 （六）函數、自變量 在你跑步時，一般情況，跑的時間越多，跑的距離越長。也就是說，跑的距離是隨時間變化的，我們稱距離是時間的函數，記為x=f(t)。“函”字在這里有包含、容納之意；符號f來自英語詞匯function（函數）的第一個字母；時間t稱為自變量，即時間t自己變化，包含時間的距離x隨之變化。公式5也可寫成  上式稱作對函數f(t)求導，或者函數f(t)對t求導，或者f(t)對t的導數是V。 （七）求導例題 求函數f(t)=t的平方，即  的導數。 解：由以上論述，得知   根據公式5和6，導數   即函數t平方的導數是2t。 這個結果可以作為導數公式記憶下來，還有其他常用導數公式也要背熟，在以后計算中可以直接使用。 二、積分是怎么回事、怎么計算？ 根據公式2，有： 距離=速度×時間，即S=Vt（公式7） 對于勻速運動，公式7用起來很舒服。 （一）要是速度隨時間一直在變化不定，即速度是時間的函數：V=V(t)，又該怎么計算距離呢？ 設一物體從時刻t1開始運動，到時刻t2停止；其路程從x1變化到x2。 把從t1到t2時間段分割成n個很小的有限小時間間隔：Δt1, Δt2, Δt3, ……, Δtn。 在每個有限小時間間隔內，可以近似認為物體是勻速運動的，其速度標記為V1, V2, V3, ……, Vn。 則，物體跑過的總距離，是每個時間間隔內跑過的距離加起來之和： 上式中的符號Σ是希臘字母，讀作：西格瑪，表示對后面內容求和的意思。字母i表示從1到n任意一個數字。 （二）定積分 當有限小時間間隔趨于0，變成無限小時間間隔時，我們知道上式（公式8）中的符號Δ應該換寫成d；那么求和號Σ也不能原樣不動，表示無窮小之和的符號寫成?的樣子，稱為積分號。 此時，公式8改寫成 t1、t2分別稱為積分的下限、上限。 公式9表示的積分，由于自變量有上、下限，故稱為定積分。 （三）積分例題、不定積分 導數 求原函數f(t)。 解：由原題，有 df(t)=2tdt 對上式兩邊積分，有 由導數公式 得 將（2）式代入（1）式： 即原函數 上面積分時沒有確定上下限，這樣的積分稱為不定積分，字母C是任意常數。 因為常數的導數等于0，故對于任意常數C，上面求出的原函數的導數都一樣，是2t。 如果確定了積分區間[t1,t2]，則 與導數公式一樣，常用積分公式也需要熟記，方便以后直接使用。 這就是微積分，你是否還覺得微積分太抽象了，理解不了？ |
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