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在牛頓之前的時代，絕大多數歐洲的數學研究都沒有什么實際目的，這與東方注重實用的數學迥然不同，這一傳統來自畢達哥拉斯。盡管畢達哥拉斯本人發現的黃金分割率在建筑、音樂和藝術等許多領域得到廣泛應用，但是畢達哥拉斯研究數學的出發點是為了與神靈溝通。畢達哥拉斯學派的繼承者柏拉圖在柏拉圖學園門口刻上箴言：“ 不懂幾何者勿入”。 柏拉圖的學生歐幾里得則進一步將幾何神圣化，據說曾有人問他：研究幾何有什么用？他給了那人一個金幣并憤怒地趕走了他。因為他認為研究幾何是探究宇宙最深的奧秘，如果它有什么實際應用是對神圣幾何的玷污。 許多學者認為，中國數學之所以發展不如歐洲，就是因為過于注重實用性，這只是看到了硬幣的一個側面。如果歐洲數學僅是出于無用性，那么其發展的高度可能還不如東方。 古希臘學者的學術志趣，實際上是希臘社會階層割裂的映射。 在古希臘人的認知中，貴族階層脫離物質生產，不用為俗務煩心，就應該研究形而上的，與俗世無關的，脫離低級趣味的學問；那些具有實際功用、服務于生產生活的的技藝，則是奴隸工匠才應該關心的事情。因為任何一種技藝都和具體的應用場景相關，也就意味著掌握著這一技藝的人會被限制在其應用場景中，與貴族階層追求的“內心自由”相悖。這種思潮極為類似中國歷史上貴族政治的巔峰時期——魏晉時代的清談玄學。 東方整體的政治生態是壓制甚至消滅貴族，而在歐洲貴族政治貫穿始終，近代革命也只不過從封建貴族變為資本貴族而已。貴族的學問逐漸發展為所謂“自由七藝”：文法、修辭、邏輯學、算術、幾何、天文和音樂，這些技藝都不追求實用，使人超越眼前具體的事物，學習并探究一種普遍性的法則，從而使學習者超越功利的目的，轉而關心內在的價值并實現內心自由。與之相對，制衣、農藝、建筑、兵法、商貿，烹調，冶金等使用學問被稱為“機械七藝”。兩者之間涇渭分明，井水不犯河水。前者演化為中世紀的大學，后者則逐漸被一個秘密工匠團體所掌握，他們自稱為“自由石匠（Free mason）”，即共濟會（全稱為“Free and Accepted Masons'）。在后者看來，只有他們才有資格溝通天地秘密，獲得神靈的力量。
這種貴族與平民（奴隸）割裂的思維慣性，對今天的教育體系依然存在深刻影響。義務教育應工業革命對人才的需求而產生，原本天然帶有實用價值；高等教育繼承自歐洲中世紀的大學的“自由七藝”，中國教育界將其翻譯為“人文博雅”教育，再進一步引申為脫離了實際需求的學術研究，以脫離商業銅臭味的高尚自居。由于義務教育實際上成為高等教育的篩選器，面向實用的職業教育則全面塌陷，教育與現實世界溝通的橋梁幾近垮塌，實際上整個教育界都沾染了源自西方的“貴族化”思維傾向，陷入了歐洲中世紀大學教育相似的自我閹割的“怪圈”之中。 十七世紀，推動微積分出現的不是當時仍然沉醉于“自由七藝”的大學，而是具有實用需求的學術研究團體，更具體地說，這個團體就是共濟會，后者也是從東方吸取學術養分的主力軍。早在十字軍東征和圣殿騎士團的時代就是如此。 水面之上的“顯學”與水面之下的“隱學”如同太極的“陰陽”，兩者之間相生相克相互推動，并且開放性地吸取東方學術的滋養，才是西方學術近代獨步天下的秘訣。 微積分的發展本身也極大增強了共濟會員們的力量與自信，1717年共濟會組織正式浮出水面，在倫敦成立總會并開始公開活動，并很快席卷全歐洲。雖然沒有確鑿證據證明牛頓本人就是共濟會員，但是他與若干共濟會核心成員關系密切是不爭的事實。
1723年版共濟會憲章封面 由于微積分的出現，數學家的主要工作不再是提供簡潔優雅但沒什么卵用的證明，而是根據初始條件與變量，預測系統未來的運動狀況，從而體現出前所未有的應用價值，推動數學的高速發展。隨著微積分的巨大進展，共濟會在歐洲各國的影響狂飆突進，十八世紀成為共濟會的世紀，出現在這個階段史書上的歐洲著名學者和政治家，如果說他們全都是共濟會員，那肯定有誤認的；如果說他們中一半是共濟會員，則肯定有漏網的。 貝克萊之所以出于神學目的反對微積分，跟微積分脫離了傳統數學的神學目的，服務于現實需求不無關系。微積分使得人類可以預測萬物運動，極大限制了上帝的影響力，甚至牛頓的迷弟拉普拉斯直接放話：我的理論不需要上帝。圍繞微積分的學術之爭，一定程度上也成為天主教會與共濟會的話語權之爭。 當時，爭奪海洋霸權是歐洲的頭號實際問題，航海技術勝過所有其他對手的國家必然會控制海洋。而航海的首要問題是在離岸數百海里的大海中精確地確定艦船的位置，以使之比敵手更快地航抵海戰的地點，并用大炮精準地命中對方，而預測天體位置和計算炮彈軌跡，恰好是牛頓力學與微積分最擅長的領域。18世紀工業革命時，以蒸汽機紡織機等機械為主體技術得到廣泛運用，但如果沒有微積分，就不可能對機械運動與變化進行精確計算，因此微積分也可以看做是“工業革命之母”。 第二次數學危機的爆發，也昭示海洋霸權的理論基礎并不牢固，出于現實目的也要排除這一隱憂，以免將來撞上未知的陷阱。現實的例子，美國之所以在2008年陷入金融危機，發展到今天不僅沒有走出來，反而逐步陷入系統性的全面危機，導致其百年基業毀于一旦，歸根結底也是關于金融風險的數學模型存在嚴重缺陷。 國家和民族的生死存亡，根源在于數學！ 于是，微積分研究與大國崛起、民族興衰這一宏大敘事緊密相連，各國政府紛紛開辦科學院，重金資助數學家的研究，展開了頂尖人才的爭奪戰。“科學無國界”和學者的民族情感之間的內在張力日益突出，各國共濟會走向分裂。而這些研究成果進一步與工業革命的最新技術緊密結合，推動各國實力的此消彼長，國家競爭空前激烈。 從微積分誕生伊始，圍繞微積分發明權的爭奪就成為一場公案，它不能簡單理解為牛頓與萊布尼茲的個人意氣之爭，而是關系到不同國家和民族的學術話語權爭奪——而這直接關系到國家霸權和民族自豪感。由此直接導致了英國學術界與歐洲之間的分裂。 英國自恃學術領先，霸權優勢在我，主動割裂了與歐洲大陸的交流。幸好牛頓之后涌現了兩位年輕英國數學家布魯克·泰勒（1685-1731）與科林·麥克勞林（1698-1746），他們的人生基本全部獻給了微積分。前者提出了著名的泰勒定理和泰勒公式，被拉格朗日認為是“導數計算的基礎”（le principal fondement du calcul différentiel），但是他并沒有來得及完成微積分的修補工作，年僅46歲就心力耗竭英年早逝，此時巴克萊還沒有開啟戰端。 麥克勞林作為牛頓晚年的弟子，牛頓像當年巴羅發現他一樣以伯樂的眼光發現并栽培麥克勞林。麥克勞林去世后，他的墓志銘刻著：曾蒙牛頓推薦。麥克勞林是牛頓的鐵粉，堪稱牛頓粉絲團團長。作為 18 世紀英國最具有影響力的數學家，他的人生目標是繼承、捍衛、發展牛頓的學說而鞠躬盡瘁，死而后已。 在貝克萊宣戰八年之后的1742 年，麥克勞林發表《流數論》，是對牛頓的流數法作出符合邏輯的、系統解釋的第一本書。在寫出這本書之后僅4年，年僅48歲的麥克勞林也英年早逝。 此書之意是為牛頓流數法提供一個幾何框架，以答復貝克來大主教等人對牛頓的微積分學原理的攻擊。麥克勞林接過同袍戰友泰勒的槍，以泰勒級數作為基本工具，以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數學說，還把級數作為求積分的方法，并以幾何形式給出了無窮級數收斂的積分判別法。他得到數學分析中著名的麥克勞林級數展開式（泰勒公式的一種特殊形式），并用待定系數法給予證明。不過因為當時還沒有完備的實數理論，麥克勞林還是依賴于幾何方法去修補，只是起到了對微積分的梳理作用，并沒有真正解決微積分存在的漏洞。
麥克勞林 麥克勞林之后，英國數學界后繼乏人，又缺乏與歐洲大陸交流的管道，開始走向下坡路。盡管英國的海洋霸權此時仍然如日中天，但是衰落的種子已經種下。 瑞士人借助中立國的超然地位，比較容易與各國學術界展開交流，在英國數學衰落后的一段時間內處于領先地位。瑞士數學家萊昂納德·歐拉（1707-1783）的《無窮分析引論》 ，是世界上第一部最系統的分析引論，也是第一部溝通微積分與初等數學的分析學著作。也是這本書，把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術和代數的基礎上。這一步至少為基于實數系統的微積分的根本論證開辟了道路。他的著作《無窮小分析引論》、《微分學》、《積分學》是18世紀歐洲標準的微積分教科書。歐拉還創造了一批數學符號，如f(x)、Σ、i、e等等，使得數學更容易表述。
萊昂納德·歐拉 盡管歐拉對微積分做出了巨大的貢獻，但他堅決認為，導數運算的結果應該是0/0。他舉例說,如果計算地球的數值,則一顆灰塵、甚至成千上萬顆灰塵的誤差都是可以忽略的。但是在微積分的運算中,“幾何的嚴格性要求連這樣小的誤差也不能有。”換句話說，在歐拉這樣杰出的數學家認知中，無窮小量仍然是一個靜態的數值而不是動態的變量，可見人類的思想跨出這一步有多么艱難。 接下來對補救微積分做出實質貢獻的是法國數學家拉格朗日（1736-1813）。這也標志著歐洲的數學學術中心轉移到法國。為了避免使用無窮小推理和當時還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒公式的基礎上。但是這樣一來，考慮的函數范圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級數的收斂問題，所以，拉格朗日的以冪級數為工具的代數方法也未能解決微積分的奠基問題。 1813年拉格朗日逝世之后，修補微積分的接力棒傳到拉格朗日的同胞柯西（1789-1857）手里。柯西在幼年時，他的父親常帶他到法國參議院的辦公室，并且在那里指導他進行學習，因此他有機會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數學家。他們對他的才能十分賞識；拉格朗日認為他將來必定會成為大數學家，但建議他的父親在柯西學好文科前不要學數學，這樣才能夠達到應有的學術高度。 柯西自幼打下非常深厚的文科基礎，1807年至1810年進入工學院學習，致力于成為一名優秀的土木工程師，因為他本人更愿意做架設橋梁這樣有實際意義的工作。但由于身體欠佳，他接受了拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師的夢想而致力于純數學的研究。柯西在數學上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發展史上的精華，也是柯西對人類科學發展所做出的巨大貢獻。 1821 年，柯西出版了著作《分析教程》中認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量，并且定義了導數和積分，成功的用現代極限理論來說明導數的本質。他將導數明確定義如下：
在柯西之后，被稱為“現代分析學之父”的德國數學家魏爾斯特拉斯（1815-1897）又用了“ε-δ”語言一舉克服了“lim困難”，他將極限定義如下：設函數f（x）在x0的某個“去心領域”內有定義，則任意給定一個ε大于0，存在一個δ大于0，使得當
時，不等式
成立；則稱A是函數f（x）當x趨近于x0時的極限，記成
魏爾斯特拉斯做出上述卓越貢獻的時候，他的身份是德國偏遠地區的一個中學教師，由于他所在的中學地處偏遠，師資不足，他除了教授數學之外，還要教授物理、德文、地理甚至體育和書法課。他正是為了能夠節約數學課的課時，讓學生們更好地理解微積分中最重要的極限概念，而改變了柯西等人當時對極限的定義，創造了直到今天大學數學分析教科書中一直沿用的極限的ε-δ定義，以及完整的一套表示法，使得數學分析的敘述終于達到了真正的精確化，把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。極限理論的創立使得微積分從此建立在一個嚴密的分析基礎之上。 法國大革命后，拿破侖功敗垂成，政治局勢持續動蕩，失去了將學術優勢轉化為政治經濟軍事的全面優勢的土壤。德國則逐步開啟了統一進程，1810年開啟的教育改革則結出了豐碩成果，形成了廣大的優秀人才高原，接過微積分的接力棒持續沖刺，躍升為歐陸霸主。魏爾斯特拉斯本人就是其中的典型代表。他不僅自己做出了卓越的學術成果，而且熱衷于培養后輩，帶出了一批卓越的數學家，極大推動了德國數學的發展。 自從牛頓開創微積分，貝克萊引爆第二次數學危機以來，一百五十年歷經多代數學家前赴后繼的奮斗，多少人為此熬禿了頭，熬白了發，甚至像泰勒和麥克勞林這樣的杰出人才英年早逝，最終微積分理論的修補工作被德國的一個中學老師給終結了。而這一歷程恰好和英國、法國、德國崛起的順序正相關。這說明哪個國家能夠引領數學發展的前沿，才有資格成為當時的霸主。 以數學發展為前提，德皇在法國凡爾賽宮加冕的大型真人凡爾賽行為藝術，才能真正成為現實。
柯西-魏爾斯特拉斯的極限定義，將極限定義為一種向最終狀態逼近的運動過程。這實際上就是用數學語言描述了“有生于無”。 第二次數學危機本質上是用離散的數（物體）來描述連續的幾何（時空）必然會爆發的矛盾。前文所講述的西方無法發現“0”的問題可以表述為“0”的存在性問題，第二次數學危機則是“0”的演化問題，“無窮小量”描述了“有生于無”的過渡狀態，它既不是完全的'有'（對應“1”），又不是完全的“無”（對應“0”）。這一變化過程沒有辦法用有限的狀態來靜態描述，因此只能通過構造無限級數的方式，在無限展開的過程中動態描述，如同芒德勃羅分形那樣無限展開，這就把“0”和無限這一對孿生子 實現了對立統一。 但是，更嚴格地討論，柯西-魏爾斯特拉斯的極限定義并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的代數基礎上。于是 ，許多數學家致力于分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象——連續函數的描述。在數與連續性的定義中，又涉及關于無限的理論。因此，無限集合在數學上的存在問題又被提出來了。這自然也就導致尋求無限集合的理論基礎的工作。 總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術化傾向導致的無限問題，成了集合論產生的一個重要原因。集合論正是引發第三次數學危機的“罪魁禍首”。 （未完待續） |
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