清北物理學畢業后從事算法研發16年，他竟不惜用3年時間也要翻譯這本概率論神作！

作者：廖海仁

大學與研究生階段

我大學第一志愿報的是應用物理，第二志愿是應用數學。因為我覺得自己最喜歡的還是物理，其次是數學。大學數學學習按部就班，我們作為物理系學生其實也沒有學習數學分析，也是高等數學。教我們高等數學的老師是編寫清華《高等數學》教材的施學瑜教授。這大概也是物理系所能得到的數學上的優待了吧。

當時我們已經知道有北京大學張筑生教授編的三冊版《數學分析新講》，有的同學應該拿這套書做參考。不過，對我最有影響的還不是這個，而是R.柯朗的《數學是什么》和《微積分和數學分析教程》(這兩本書的第二作者分別是H.羅賓和F.約翰)。當然看這兩本書都是在正常的數學學習之外，也是在大三之后。

我先在圖書館里發現了《數學是什么》這本書，就興致勃勃地將其看完，也感覺到很受益。我對于極限概念的真正理解就是通過閱讀這本書得到的。

記得大二時我還跟從自動化系毅然轉到物理系的檀時鈉同學討論極限的概念。他說了一大通，我知道他是已經懂了，但是我當時還不懂。若談天賦，我覺得他在數學和物理上應該屬于真有天賦者。據說我們班有好些同學自從他過來后決定不再學習物理，因為肯定學不過他。他后來獲得了美國物理斯隆獎，現在是北京大學物理學院的教授。

但我這種數學后知后覺者也通過持續的思考和閱讀《數學是什么》獲取到對數學“極限”概念一直追求的“理解”：核心是無窮大并不是一個實在確定的數，極限是一個滿足極限定義的過程。

然后我又找到了同一作者寫的《微積分與數學分析導論》。這是共有兩卷，每卷各有二分冊的數學教程。我從第一卷第一分冊開始看起，開始還是覺得有點難，但是其深刻性吸引著我。我也會一道道去做教程后面的習題，覺得很受益。

這后面的習題沒有一道是只套用公式就可以簡單解決的，每做完一道都會覺得有收獲。這套書比較吸引我的地方還在于作者強調“闡明數學分析與其各種應用之間的相互作用，并強調感性認識的意義”的基本態度。作者在《序言》中說：

“數學，作為一種自封的，一環接一環的真理系統，而不涉及其起因和目的，也是有其誘惑力的，并且還能滿足某種哲學上的需要。但是，這種在學科本身中做內省的態度和方法，對于那些獲得獨立的智能而不是訓條式的教導的學生們是不適宜的; 不顧及應用和直觀，將導致數學的孤立和衰退，因此，使學生和教師們不受這種自我欣賞的純碎主義的影響，看來是非常重要的.”

我對于這種態度感到非常認同。遺憾的是，我到臨畢業時也只是差不多看完了第一卷第一分冊。臨畢業時我發覺圖書館里有這套書習題解答的書，還將其中一些以及第一卷第二分冊的教材都復印了，希望工作以后能繼續看。

除了這兩本書外，我還看了一些數學科普及數學史的書，比如克萊因的《數學：確定性的喪失》及《古今數學思想》等，也感覺很受益。《古今數學思想》當時沒有完全看完，但是后來學習相應的數學內容時我會補看相關部分。這套書我認為是目前為止我能找到的最好的數學史教材。遺憾的是，其中并不包含對于當代科技影響很大的隨機數學（概率論與隨機過程）部分。

大學畢業后我先工作了三年，是后來考的研究生。前二年在一家電子公司做，其實也沒有再學數學，主要是學習工作相關的單片機編程等。到第三年準備考研，我才真正接續了數學的學習。考研雖然是應試的，但是我的目標也很明確，要借這個契機按著數學分析的要求來重新學習一次高等數學。我主要使用的教材是華東師大的《數學分析》以及上面提到的《微積分和數學分析教程》，考研時，滿分100的數學我考了96，這個成績也算是為自己考取研究生立了汗馬功勞。

研究生時，我對于數學的興致越來越濃。“隔壁學校”很多數學老師講課非常有意思，幾乎從所有的數學老師那里都能感受到他們對數學的濃厚興趣。

我旁聽了《微分幾何》《實變函數》《拓撲學》等課程，基本是跟著數學系同學一起上課，以至于有個數學系的學生以為我是他們專業的。當他得知我是空間物理專業的學生后吃了一驚。其實我學《微分幾何》是為了學習和理解《廣義相對論》的需要，其他更多是出于對數學本身的興趣。

不過還記得我在微分幾何課上當我聽到老師說剛體運動是一個數學上的平移旋轉變換群時的震撼。作為物理系的畢業生我自認為理解什么是剛體運動，直到此時我才覺得原來對于剛體運動的理解還是很淺顯，只有換到這個視角才是真正理解了剛體運動。拓撲學課上老師講如何用兩個球體粘合成一個四維空間的講解也很有意思，非常符合我認為自己花了很長時間才想通的宇宙形狀的直覺。

當時我對概率論也有一定興趣。原因是我們研究生同學一起坐火車去上海開行業會議，有多個人玩殺人游戲，有位女同學連續兩次抓到的牌是殺手，成功地當了兩次職業殺手。第三次大家重新玩，幾個人無辜被殺。大家又懷疑起她。她為自己辯護道，上兩次次我是殺手，這次我又是殺手的概率是很小的。而別人則說，每一次都是重新開始的，你當兇手與我們可能是兇手的概率是相同的。

我好奇從概率論的角度，我這位女同學對自己的辯護是否有道理。我自己找了本概率教材來自學，也做了些筆記，但是并沒有完全學完。反而是對于線性代數，研一那個暑假，我找來北京大學的《高等代數》教材，并將其完整學習了一遍。

另外聽過的一些數學演講讓我記憶猶新：一次是聽文蘭院士的演講。他說他想將數學從微積分開始重新學習一遍。他當時已經是院士了，應該也已經有了很大的數學成果，但是為什么還希望從微積分開始重新學習數學呢？這種學習肯定屬于為己之學。這也幾乎成了我自己的數學愿望：我并不以數學為業，但是基于興趣，我也希望自己能將重要的數學課程逐漸學習一一遍。

另一次是聽陳省身先生的演講，當時陳先生已經92歲了，是坐著輪椅出來的，但是目光深睿。他講的如何從幾何角度看待DNA雙螺旋結構讓人很震撼。（這篇網絡文章大致記錄了類似的陳先生演講的內容：https://www.163.com/dy/article/EPA2RUO20538057A.html） 

還有一件事讓我印象深刻。有一次去人大英語角，碰到一位讀力學的清華師弟，我們兩個人辯論了半天，原因他說物理比數學重要，我說數學比物理重要。我很能理解他對物理的熱情以及物理重要的認知。但是若論總體重要性而言，我還是認為數學更為重要一些，因為它是所有定量科學的基礎。我讀高中的時代，理科數理化分數是相同的。現在數學被賦予更高的分數，物理則總體分值更低些。我的一些繼續研究物理的同學還對此感到痛心疾首，他們認為這對于后續的科學研究不利。然而，我則認為將數學賦予更高權重是合理的，盡管物理學作為現代科學的典范學科，其重要性不言而喻。

讀完空間物理研究生才想著轉行做互聯網的原因一言難盡。當時閱讀的文獻中已經出現了星際互聯網（Inter Planetary Network，IPN）的概念，就是不同國家的深空探測器都可以通過IPN傳輸數據。對IPN的接觸讓我意識到互聯網的出現是這個時代一件大事，自己或許應該對這個新生事物有更多了解。另一方面，可能也是不希望自己的工作過于偏理論。

研究生時選了俞允強教授的《廣義相對論》和《物理宇宙學》課程。但是上課時發覺旁邊一起上課的可能有一半是校外的業余相對論研究者或物理學愛好者。我不想用”民科”一詞來形容這樣一個群體，因為這似乎代表了一種所謂科班出身者的傲慢與偏見。我經常為這個群體中的人對于物理和數學的熱情而感慨（數學方面就是有一批相信自己已經證明哥德巴赫猜想的人，但是卻是用初等數學的方法）。

他們大多相信自己已經證明相對論或量子力學錯了，并且已經創建了一套更好的理論。據說勸退這群人繼續研究物理的最好方法是告訴他們離開了數學語言，現代物理學難以為繼。但是事情往往也沒有那么簡單。我曾經去過一個物理學“獨立研究者”家里并跟他聊了一晚上。他法律博士畢業，現在已經辭職專門研究物理（前提是他北京家里的確有十套以上的房子作為經濟支撐）。

他研究的物理理論中也的確有一些簡單的數學公式。不過我的確懷疑這些公式的來源與推導過程是否可靠。因為他曾經問我1/(1+x)的數列展開為什么是1-x +x^2-x^3-x^4+x^5+…… 而不是1-x^2-x^3-x^4...另外，又說“如果物質只會進入黑洞，又不會出來的話，這豈不是說黑洞里的質量不會守恒了？”

工作之后

再之后是南極中山站的一年。我當時已經確定轉行計算機，所以在中山站主要是以學習計算機相關內容為主，數學上主要是學習離散數學，另外還帶了一本F. 哈拉里的《圖論》，也看了一部分。那時中山站也沒有互聯網，基本是與世隔絕的狀態。這是一本我2000年從舊書攤淘到的書，這本《圖論》從哥尼斯堡七橋問題講起，我只覺得講得很好。但是也不清楚作者的背景，回來后查了查互聯網，才知道作者是著名的圖論學者。計算機方面高德納（Knuth）的《計算機程序設計藝術》給了我很大的震撼，但在那里也只是學習了其中第一卷的部分內容。

工作時我主要從事數據挖掘和機器學習算法工作。所以我后面的學習主要跟機器學習相關。做機器學習和數據挖掘離不開數據分析，所以統計學可以說是最直接的基礎。所以數學方面我補充的主要是概率論和統計學的書，概率論主要是將汪仁官教授的《概率論引論》以及復旦大學李賢平教授的《概率論基礎》看完并做完了習題。

概率統計方面陳希孺院士的書對我的影響比較大，我幾乎買了他的所有著作: 《概率論與數理統計》《數理統計學教程》《非參數統計》《高等數理統計學》等。不要以為大佬的煉成是一日之功。我淘到過一本陳希孺先生1980年由重慶師范學院數學印的《概率論及其應用題解》，其中憑一己之力解答了費勒兩卷本經典概率論教材的所有習題，這也可見他在概率論方面用功之深。陳希孺先生的書籍也是國內不多的在其中比較詳細介紹貝葉斯統計的教材。

他的《數理統計學簡史》也很有助于培養“統計思想”的統計學史著作。陳先生在本書《序》中說：“統計學不止是一種方法或技術，還含有世界觀的成分——它是看待世界上萬事萬物的一種方法，我們常講某事從統計觀點看如何如何，指的就是這個意思，但統計思想也有一個發展過程。因此，統計思想（或觀點）的養成，不單需要學習一些具體的知識，還要能夠從發展的眼光，把這些知識連綴成一個有機的、清晰地圖景，獲得一種歷史的厚重感。”學習概率與統計的歷史有助于我們更深入地理解概率的基本概念，并培養統計思想。

F.哈拉里的《圖論》及陳希孺先生的《概率論及其應用題解》

關于做題，陳先生在《高等數理統計學》（其中有一半是習題解答）一書的序中寫道：

“...多做習題，尤其是多做難題，對掌握并熟練數理統計學基本的論證方法和技巧，有著不可替代的重要性。如果通過一門基礎課的學習，只是記住了若干概念，背了幾個定理，而未能在這方面有所長進，那真是'入寶山而空返’了，技巧的熟練固非一日之功，但取法乎上，僅得乎中，必須在開始學習基礎課時就設定一個高目標，日后進入研究工作，克服難點的能力如何，相當一部分就取決于在這方面修為的深淺了。同時，經驗表明，在打基礎的階段因忽視習題而導致素質上的缺陷，在日后不易彌補，或事倍功半。

筆者在學生時代及其后的幾年中，對做習題未給予足夠重視。當時誤認為做題費時間，不增長新知識，不如多讀些書，站得實地。以后試做研究工作，就日漸感到其不良后果，表現到碰到問題辦法少，容易鉆死胡同，克服難點的能力弱，以致對自己缺乏信心。對許多方法，都似霧里看花，似曾識面，而不能切實掌握和靈活運用。有如十八般兵器，樣樣都見過，但拿到手里，就使不動或很笨拙。欲以此克敵制勝，自難有成......

從'打基礎’，鍛煉技巧和提高能力諸目標看，非做難題不行，這道理正如訓練運動員要加大運動量，做高難動作，不然，在訓練的過程中舒服了，就別指望出好成績。何況，對一個有志于在將來搞基礎研究的人，日后在研究工作中將碰到的難點，比起這些習題，又要高出若干個數量級。如果現在面對這些習題尚且有畏難情緒，那又怎能指望在日后研究工作中能具備克服更大困難的能力和信心?

...對讀者而言，筆者切望這部分（習題解答）是備而不用、備而少用。如碰到一個題一時做不出來，寧肯暫時擱一擱，也不要輕易翻看解答。譬如登山，經過艱苦努力上了峰頂，只有其樂趣和成就感。反之，如在未盡全力之前就任人抬上去，則不惟無益，實足以挫折信心。“

陳先生在此處提到數理統計學的學習方法對于學習所有數學都是適合的，其中主要提到學習數學時做習題與做難題的重要性。做難題，對于數學研究者尤其重要，因為數學研究很多就是解決別人未解決的超級難題。而對于一般的數學應用者，要求可以稍微降低。物理學家胡寧曾經說做題不用做得太多，我想學習物理與數學在做題方面的要求會有所不同吧。物理學更偏于對于基本概念的理解。

此外對我產生深刻影響的是美國數學物理學家E.T.杰恩斯的遺著《概率論沉思錄》。2009年8月，在海淀圖書城的九章書店，我看到了人民郵電出版社出的這本書的英文影印版。看了一下前言覺得很吸引我，就買了下來。但是正如大多數我買的新書一樣，這本書在我的書架上沉寂了四五年，直到2015年左右我在品友做DSP算法優化相關工作時，我才下定決心將其看完。

記得有將近兩年時間，幾乎每個周六上午，在焚香靜坐之后，我都會拿一上午的時間來看這本書。看的過程中經常感到非常喜悅。北宋程頤談到讀《論語》時說“有讀了全然無事者；有讀了后其中得一兩句喜者，有讀了之后好之者，有讀了后直不知手之舞之足之蹈之者”，在讀這本書時我的確好幾次體會到這種近乎手舞足蹈的感覺。

自己對一些問題有了一定的思考，卻又百思不得其解，卻忽然看到作者在某一章的開始對類似的問題進行描述，宣稱要在這一章中對這一問題進行討論和解決，這該讓人何等的興奮呢！可以說，閱讀這本書改變了我對于概率論、統計學、數據挖掘、機器學習、人工智能甚至整個世界的認知。我讀這本書是由于興趣，但也可以說是工作實際應用的需求。

若說學習了這種基礎性的數學對我做機器學習有什么實際影響，我想借用杰恩斯本人在書中的話“在能力與通用性方面，學會使用作為擴展邏輯的概率論的科學家比僅掌握了一堆無關的特定工具的人具有更大的優勢，隨著問題復雜性的增加，這種相對優勢也會擴大”。

很多人搞機器學習的人只是掌握一堆工具或算法包，碰到問題就嘗試套用工具包去解決，但是在遇到無法直接套用工具包的問題時就會感到不知所措。但是有了良好的概率論基礎，我們就可以原初地思考問題（這些問題很多是存在本身的不確定性），并直接嘗試應用概率論原理來解決問題。

本來按照我的工作相關，最最核心的基礎課程是機器學習。但是概率論和統計學又是機器學習的基礎。我本來計劃花一二年時間將機器學習的經典三大本PRML/MLaPP/ESL通讀一遍并做完所有習題。但是看了杰恩斯的書之后，我還是覺得自己的概率論基礎仍然需要加深。所以當我有難得的一年“休整”時間時，我幾乎將這一年時間中科技相關的學習時間都投入到了深入學習概率論之中。

這一年中，我閱讀了Seldom Ross的《概率論基礎教程》，鐘開萊的《初等概率論》、格涅堅科的《概率論教程》（中文版是從孔夫子舊書網淘的人民教育出版社1956年的繁體版古舊老書，不過我也從Amazon找到并購買了該書的1998出版英文第6版也是最后一版）、迪米特里·伯特瑟卡斯、約翰·齊齊克利斯著的《概率導論》并幾乎做完了其中的所有習題。

另外也看了柯爾莫哥洛夫的概率數學公理化奠基之作《概率論基礎》。這是一本不到80頁的小薄書，但是抽象性很高，只能慢慢咀嚼，但是看完受益很大。費勒的《概率論及其應用》第一卷相對而言要難些，只看了第一卷的一部分，但是有些章節也是多次閱讀，而且每一次閱讀都有新的收獲。像類似這種經典數學書籍，是不太可能閱讀一遍就完全理解。我知道，概率論也會是我將來一生持續的興趣和鉆研方向所在，將來會持續學習更高級的部分。

2019 年，由于知道我有購買英文原版書的習慣，在人民郵電出版社工作的朋友問我有沒有人工智能方面值得引進的好書推薦。我主要向他推薦了Judea Pearl的三本關于因果推斷的書，另外問了他杰恩斯的這本《概率論沉思錄》是否有人翻譯。他問了出版社后說還沒有，因為這本書實在是太厚了，似乎沒有人愿意翻譯。于是，我主動請纓來翻譯這本書，出版社也給予了支持。

翻譯過程雖然辛苦，但也的確充滿了愉悅，因為這種經典書籍幾乎每讀一遍都會有新的收獲。ChatGPT時代，翻譯本身一般會被認為沒有太多價值。然而，我認為我翻譯這本中文版《概率論沉思錄》的主要價值在譯后記部分：我根據自己的多年的理解以及閱讀多本其他概率論書籍的思考，撰寫了約20頁的譯后記，旨在為讀者提供本書的導讀與解析。

數學學習之思

這一部分我想談談自己對于數學學習的一些思考。

首先是關于數學天賦。現在經常聽到的說法的是“在天賦面前，努力不值一提”，“天賦大于努力”，而且這些說法似乎深得人心，尤其是對于數學是如此。我卻認為可以忘記“天賦”一詞。

我們不可否認人與人之間天生的數感差異，但是這只是一種天生的優勢和潛力，如果沒有后天持續的學習和努力，這種所謂的“天賦”將永遠不會開花結果。過于強調天賦往往會給自己的不努力提供借口。

其實，關于這個問題，孔老夫子的話很值得我們思考。他曾說，“十室之邑，必有忠信如丘者焉，不如丘之好學也”。他又說“唯上知與下愚不移”。數學天才和數學極不開竅的人當然都是存在的，但是卻跟我們普通人無關。而且，能得菲爾茨獎需要的數學天賦跟我們普通人學習與應用數學所需要的數學天賦也不相同。

至少在高考這個級別，談論天賦都沒有太大意義。高考數學壓軸題的正確率一般也會是1%以上。我們肯定不會將百里挑一的人就認為是天才。我們普通人還是要相信“人一能之，己百之；人十能之，己千之。果能此道矣，雖愚必明，雖柔必強”的《中庸》基本精神。

另一個可以給我們借鑒的例子是跟“學好數理化，走遍天下都不怕”這句名言有關的錢偉長先生。他高考國文和歷史滿分、數學15分、物理5分、化學5分。在現在看來錢先生肯定是要歸為數學上的“下愚”之列了。可是人家卻偏偏要走科學救國之路，轉學物理學。他自詡全校最勤奮之人，每天5點去圖書館背書，沒想到這時候華羅庚先生已經背完了。結果我們也看到了，老先生最終成為了一名卓有成就的物理學家。

可見，數學考15分也未必說明沒有數學天賦。老是認為自己天賦或智商不如人很可能是畫地為牢。

相比于天賦，我認為更為重要的，是持久的興趣與學習。培養興趣最有效的當然是來自良師的引導和感染。但是現代信息社會，即使沒有碰到良師，也可以通過閱讀自己培養興趣的。

現在有很多好的數學科普與數學家傳記書籍都有助于培養數學興趣。比如哈代的《一位數學家的自白》，保羅·哈爾莫斯的《我要做數學家》等等。有了興趣，更重要的還是踏踏實實花時間努力學習。“為人不易，為學實難”，民國時期新儒家熊十力先生經常對學生做這樣的感慨。我們很多人都可能認為現代社會學習比原來容易了，其實未必。

現代社會的學習往往添加了很多功利的因素，高考之前的學習為了更高的高考分數，大學學習為了更高的績點，工作之后學習為了更高的工資。互聯網社會我們獲取最優秀書籍的成本低了許多，但是諸多信息的干擾和生活的壓力讓沉下心來讀書更為不易。要有持續學習的動力，有著良好的學習動機很重要。學習動機以學問本身的興致為上，以學以致用為中，以將學習作為功利性工具為下。有了興趣和正確的學習動機，每天花一定時間定時學習進步，則可以體會“學而時習之不亦說乎”的境界。

關于數學之重要性。數學在現代社會的重要性不言而喻，因為數學是所有自然科學、社會科學甚至工程技術的基礎與工具。數學的重要性還體現在它對于人類思維的鍛煉上。數學的學習過程，實際上是一個不斷鍛煉邏輯思維、提高抽象能力的過程。

人工智能時代，我們面臨的一大問題是學校教育應該教什么，學生應該學什么？因為學生在學生時代學習的技能，在他開始找工作時已經被人工智能代替了。我對這一問題的看法是：如果不知道學習什么的話，那么就多花時間學基礎課程：數學和人文。我大學時學習的Fortran語言，十年前學習的Perl、Pig語言，現在很少使用了，但是那時候學習的微積分和線性代數卻仍然在使用。“唯數學不會辜負人”，我們需要有這種信念。

我體會到的數學學習有兩大特點。一是數學學習沒有捷徑，也不可能速成。比如我在知乎里就看到這樣的帖子“如何在1-3天內自學概率論”。這也代表了國內典型的浮躁之氣。我的回答是：“1-3天自學概率論只能將書當小說一樣翻一遍，知道些名詞術語，但是真要懂什么，簡直就是癡人說夢”。

數學的進步是緩慢的，無論是數學分析、線性代數還是概率論，發展到現在的程度，花費了多少人數百年的努力來構建起來，憑什么你只需要一年半載就可以完全掌握呢？數學書也沒法像讀小說一樣一個小時一二十頁。經典的書，很多時候一個小時能看完并很好理解一頁就已經很不錯了。

半年學通Python是沒問題的，但是一個人要是說他半年就可以從零基礎完全掌握數學分析或者概率論，我卻不相信。正因為數學沒法速成，所以一個人經過長期積累的數學基礎才可以成為其硬資產。

二是學習數學需要循序漸進。這可能是數學跟人文學科的主要區別之一。傳統文化讀四書五經，雖然也有建議的閱讀順序，但是沒有人說一定只能先讀《論語》才能讀《孟子》。但是數學卻不太相同：很多課程都有先修課程，如何先修課程沒有掌握，其實很難掌握這門課程。

比如概率論在隨機變量函數的分布需要用到多重微積分的內容，討論多元正態分布是需要用到矩陣符號，所以微積分和線性代數是概率論的先修課程。這些都是需要循序漸進學習的。坊間有言“實變函數學十遍，隨機過程隨機過”。如果有人真的感覺學習實變函數、隨機過程特別難，很可能是這些課程的先修課程微積分、高等代數和概率論沒有學好。

為什么學過后會沒有學好呢？我的總結是學習深度不夠。我有一個觀點，就是所以對于基于數學的科學技術相關任一專業有所追求者，都值得將大學層次的數學基礎課（微積分、線性代數、概率論等）自己研讀再學習一遍（除了那些本身就在頂級大學數學系，整日沉浸在數學之中，且已經學得很深很好的人外），并且最好學習到數學系的難度。

有人可能會說，我大學相應課程考試都考了90分以上，還需要再學習一遍嗎？我的回答是需要。一是大學課程學習基本是以考試為目的，時間也比較倉促，考試級別的考分高低跟自己是否真正理解其實是不太相關的。

二來大學所用的教材一般是學校老師自編的教材，跟國際上的數學名著和最好的教材一般還是很差距的。能輕易得到世界一流的經典名著，包括其中文版，這是我們這個時代的學習者最重要的優勢之一。盡量研讀世界級的名著，而不要在二流教材上浪費太多精力，這與是否尊師重教或是否愛國無關。

需要學到數學系的難度一是由于這幾門課最為基礎，對于后續專業的發展很重要。若學得太淺，相當于蓋樓地基打得不深，將來只能蓋小洋樓，而不能蓋高樓大廈。二是由于這幾門課程其實也沒有那么抽象，一般人是可以按照數學系的要求學習掌握的。

但即使是世界名著，每門基礎課程甚至都可能找到很多本。那么該如何選擇，選多少本呢？我的觀點是可以先選擇兩本內容組織方式差別較大，能形成一定相互補充作用的兩本。一本作為主要教材，另一本作為主要參考。這樣的好處一是多維度理解：不同作者對于同一數學概念或原理的闡述可能會有所不同。這種差異能夠幫助我們從多個角度、多個維度去理解數學知識，從而加深理解。

二是補充成全：兩本書的內容組織方式差別較大，意味著它們可能在某些方面各有側重。一本可能更注重理論推導，而另一本可能更注重實際應用或習題解答。這樣的組合能夠為學生提供更全面的學習體驗，確保學習的深度和廣度。一門課程有了兩本經典教材作為基礎，再看其他就會比較快了，因為只看前面兩本沒有涉及的部分就夠了。如果是比研讀教材更低級別的教材，的確也是可以向看小說一樣快速看完的。

最后是關于做題，前面陳希孺先生的引用已經說的很清楚了。不做題談不上學習數學的。自學數學的話盡量要選擇有習題答案的教材。盡管習題當然要先做再對答案，但若完全沒有答案，可能很難驗證自己的學習成果。

學習貴在有恒，如果能每天抽出1小時學習數學，并且每天至少做1道習題。長久堅持下來，必有收獲。心中常有幾道數學題可思考，也是一件很幸福的事情：無論坐地鐵還是坐車都可以用來思考，而不用一有空就抱著手機看了。

微積分、線性代數與概率論教材推薦

終于到了真正書籍推薦的部分。不過在正式推薦之前，我還是想引用L.戈丁《數學概觀》中關于數學教學的一則寓言：

三種辦法：

老師對他班上的同學說，我要給你們講解正比例的概念。這個概念在數學、物理學、社會科學和日常生活中，都有用處。它考慮兩個變量x和y，其中y依賴于x，其定義（他轉過身去面向黑板，開始寫）：

y稱為與x成比例，如果存在一個數a，使得對于x的

每個值以及y的對應值，都有y=ax。

于是他轉過身來看看全班。只有一二個人懂了。老師再試著講解。好了，你們看，我剛才寫的是什么意思。例如，假如我們令a=2（他又轉過身面向黑板，并寫下）

           對于所有x， y=2x

他又轉過身來，看著全班同學。現在幾乎每個人都懂了。但是還有兩張發呆的臉。老師再試著講解。好了，你們看，我剛才寫的是什么意思。比如說，我們令x=3， 那么y=6（他在黑板上寫）

              6=2x3

他轉過身來看著全班同學。這回人人都明白了。

引用這一寓言的目的是為了說明數學教學或者數學教材大致有三種抽象層次：一是極其抽象，只適用于極少數學生（基本可以說是給其他未來的數學家看的），我將其定義為3.0層次；二是有一定抽象，但是有一定直觀基礎，適合于大多數學生，我將其定義為2.0層次；三是將其完全具體化，基本沒有什么抽象，基本所有學生都能懂，我將其定義為1.0層次。

我對于數學學習的建議是在看一本1.0層次的教材后，盡量選擇一二本2.0層次的教材進行研讀，這樣既有一定的抽象性，又不至于感到太難。看完2.0層次的書后其實3.0層次的書籍也是可以理解的，至少不會被人用一些抽象數學符號將你嚇唬住。

我在下面推薦書籍時盡量在后面標識一個1.0至3.0之間主觀數字級別標識難度，供讀者參考。

3.1 微積分與數學分析

小平邦彥.《微積分入門》. 人民郵電出版社(1.8)

小平邦彥是日本數學家，菲爾茲獎和沃爾夫獎得主，本書是作者晚年創作的經典微積分著作，其特點在于突出“嚴密”與“直觀”的結合，并重視數學中的“和諧”與“美感”。

R.柯朗，F.約翰. 《微積分和數學分析引論》. 科學出版社（2.0）

共兩卷四分冊。如果是物理方向的學生，這套微積分與數學分析教材是我最為推薦的一套，因為諸如第四章“在物理和幾何中的應用”這樣的章節在其他教科書中是很少出現的。本書特別強調概念的直觀與明晰，在涉及到理解的細微之處絕不含糊，卻不重無關大體的完備。本書采取研討式而不是中國教科書演繹式的介紹方式。

G.H. Hardy.《純數學教程》 人民郵電出版社（2.5）

百年經典，20世紀初數學分析領域的奠基性著作。雖然作者哈代于1947年已經去世，但是這本書到現在也完全不過時，這就是數學的魅力。

陶哲軒. 《陶哲軒實分析》. 人民郵電出版社 (2.5) 

《陶哲軒實分析》是一本強調嚴格性和基礎性的實分析教材，其內容涵蓋了從數系的結構和集合論到Lebesgue積分的全面知識。書中的習題與正文內容緊密相關，有助于讀者更好地理解和掌握知識。適合于學過基礎微積分的人進一步深入學習實分析。

以上是四本教材，以下這本是推薦必看的重要參考書：

辛欽著，齊友民譯.《數學分析八講》.人民郵電出版社（2.0）

  辛欽是前蘇聯數學家和數學教育家，是現代概率論的奠基人之一。本書通過八個小講座分別講解連續統、極限、函數、級數、導數、積分、函數的級數展開和微分方程等八個方面，能加深我們對這些基本概念的理解。

以下這兩本是微積分歷史科普書，可以幫助理解基本概念：

William Dunham著.李伯友等譯.《微積分的歷程——從牛頓到勒貝格》.人民郵電出版社 （1.0）

卡爾.B.波耶著，唐生譯.《微積分概念發展史》. 復旦大學出版社 （1.0）

3.2 線性代數

David C. Lay. 《線性代數及其應用》（Linear Algebra and Its Applications）（1.0）

David Lay的著作以易懂著稱，比較適合初學者. 此書有英文影印版和中文版。每章有習題且有部分習題答案。

Gilbert Strang《線性代數及其應用》（Linear Algebra and Its Applications） (1.0)

這本書由MIT的著名教授Gilbert Strang撰寫，以清晰的邏輯和豐富的應用實例著稱。其實若是單獨作為教材我是不太推薦的，最有價值的是網上能找到Gilbert Strang的講課視頻，這是非常難得的學習材料，可以結合教材使用。

Sheldom Asler《線性代數應該這樣學(第3版)》.人民郵電出版社.（2.0）

公認的闡述線性代數的經典佳作，被全球40多個國家、300余所高校采納為教材。拋棄晦澀難懂的行列式，從向量空間和線性映射出發描述線性算子。包含習題和大量示例，提高學生理解和熟練運用線性代數知識的能力。

齋藤正彥.《線性代數入門》.人民郵電出版社（2.0）

  日本長銷的線性代數入門名著，書后有習題答案，適合自學。本書去年才由圖靈翻譯出版，值得關注。

Peter D. Lax. 《線性代數及其應用》. 人民郵電出版社. (2.8)

   這本書跟D.C. Lay的書是同樣書名，但是難度其實不是一個級別，適合作為高等線性代數教材使用。作者是Peter D. Lax教授是阿貝爾獎和沃爾夫獎得主。每章都有習題，并提供解答。

3.3 概率論

鐘開萊 《初等概率論（第4版）》（Elementary Probability Theory）.世界圖書出版社 （1.0）

鐘開萊（1917～2009）是著名華裔數學家、概率學家，被譽為美國”概率教父”。

《初等概率論》是一部介紹概率論及其應用的入門教程。第4版特別增加了兩章講述應用和數學金融，傳承前面版本詳細、嚴謹的風格，講述了有價證券和期貨理論的基本知識。但是作為非金融數學方向的讀者可以略去。本書第8章（From Random Walk to Markov Chains）是筆者讀到的講馬爾科夫鏈最清晰明了的教材。每章有習題且配有答案。遺憾的是本書原來好像有中文版，現在卻不容易找到。值得說明的是，作者還有一本基于測度論的《概率論教程》，難度為2.0，不適合作為概率論入門教材。

Sheldom Ross（羅斯） 《概率論基礎教程》(A First Course in Probability) （1.5）

本書是全球高校采用率最高的概率論教材之一，初版于1976年，多年來不斷重印修訂，最新好像已經到第九版。本書敘述清晰，例子豐富，有助于學生建立概率直覺。每章都有習題和理論練習，可能顯得有些多，有些也會有點簡單重復，但是若能堅持做完也會很有收益。書后有部分習題答案，網上能找到全部習題解答，適于自學。

Dimitri P. Bertsekas等著. 《概率導論（第2版修訂版）》 人民郵電出版社（1.5）

本書基于麻省理工學院開設的概率論入門課程編寫，內容全面，例題和習題豐富。習題有答案，適于自學。本書的特點是從一開始就同時介紹概率的貝葉斯和頻率這種視角，并且有兩章分別介紹頻率派統計與貝葉斯統計。一章介紹馬爾科夫鏈，一章介紹伯努利過程和泊松過程（相對一般概率論書籍獨特的一章）。國內讀者可能感到稍微不適的地方是本書并沒有單獨一章介紹期望與方差，而是融合在隨機變量章節中進行介紹。

以上教材建議3選2， 建議將鐘開萊教授的那本作為必選，然后另選一本。

William Feller（威廉·費勒）《概率論及其應用》.人民郵電出版社（2.5）

  本書分1/2兩卷，第1卷為普通概率論內容，第2卷為高級部分。本書本書是十分經典的概率論教材，曾經影響了包括中國在內的世界各國幾代概率論及其相關領域的學生和研究者。配有豐富的例子和大量的習題，涉及多個領域的應用，極具啟發性。陳希孺先生編有所有習題的詳細習題解答。本書是數學概率論的集大成之作。

E.T. Jaynes (杰恩斯)《概率論沉思錄》. 人民郵電出版社 （2.5）

對于是否推薦這本書，我其實曾有一定猶豫，主要是自己翻譯了這本書。后來覺得本著舉賢不避親的精神，還是應該將其列出來。資深計算機技術和概率統計專家凱文·范霍恩(K. S. Van Horn)認為本書是 20 世紀最重要的概率論著作之一。恐怕將本書看做費勒《概率論及其應用》之后的最重要概率論著作也不為過。本書以與費勒的書不同，采用科學和邏輯的視角，將概率論視為布爾邏輯的擴展與科學的邏輯。本書也是客觀貝葉斯主義概率論的代表著作。

Kolmogorov.《概率論基礎》(Foundations of Probability Theory) (3.0)

這本書的中文版叫《概率論基本概念》，已經很難找到。反而是英文版Foundations of Probability Theory比較容易找到。本書就是作者將概率論變成一門數學的奠基之作。這本書很薄，讀者可以通過這本書體會什么是3.0級別的數學書籍。

作者簡介：

廖海仁,本科畢業于清華大學物理系,北京大學空間物理學碩士。中國第22次南極科學考察隊員,曾在南極中山站越冬14個月，是中澳日合作高空大氣物理觀測項目執行人。 擁有16年以上數據挖掘與機器學習算法一線研發實際經驗。長期 BI、推薦系統、計算廣告系統開發與優化經驗，尤其精通程序化廣告優化相關算法。2013年全球RTB廣告DSP算法大賽主要組織者之一，后整理公布全球范圍內第一個RTB廣告數據集。曾主導了四家以上互聯網公司算法從0到1的過程。曾任風行網數據挖掘部負責人、品友互動算法架構師、Keep人工智能中心算法架構師等。圖靈數學經典《概率論沉思錄》中文譯者。