數論到底在研究什么？

當算術研究建立數之運算法則的時候，數論研究整數更深刻的性質。數論是研究整數系的科學，在整數的相互聯系中研究數的性質，研究如何用其內部的關系來確定它們。

一個大于1的整數如果只有兩個正整因數，則稱為素數。說明素數在數論中基本作用的是數論的基本定理：每個整數  可以表示成素數之乘積（因數可能有重復），即可表示成 的形狀，這里的  是一些素數，  是不小于1的整數，并且這樣的表示是唯一的。由此可見整數的基本元素是素數，所以數論的核心是對素數性質的研究。這里所說的性質，具體來說：將一個數表示為被加數之和的形狀，則稱為堆壘性質；表示為因子乘積的形狀，則稱為積性。例如華羅庚在《堆壘素數論》一書中，深入探討了如何將整數表示為素數冪之和的問題（如華林問題），并系統總結了加性數論（堆壘數論）的核心方法。

按照方法，可將數論分為四個部分，即初等數論、解析數論、代數數論和幾何數論。

①初等數論不求助于其他數學部門而研究整數的性質。例如由歐拉恒等式出發，直接證明每一個整數  可以分解為四個整數平方的和。雖然古希臘、中國與印度的數學著作中不乏數論問題與結果的記述，如公元前3世紀的《幾何原本》，但近代意義的數論研究是從費馬（1601-1665）開始的。費馬提出了一堆定理（或者說猜想），因為其中只有個別命題給出了證明。這些猜想，使數學家們忙碌了幾個世紀，例如在上世紀被懷爾斯所證明了的費馬大定理（指當整數  時，關于  的方程  沒有正整數解）。但17-18世紀的數論是一些分散但卻引人入勝的結果與猜想的記錄，進入19世紀才開始數論的兩個領域——解析數論與代數數論的系統發展。

②解析數論是用數學分析的工具解決數論問題（素數分布問題是主要內容，我們在下一節具體論述），這是19世紀分析方法的一個重要應用。事實上，歐拉（1707-1783）在數論中已引進了分析方法。但解析數論作為有意識地使用分析方法研究數論問題的一門數學分支是從狄利克雷（1805-1859）開始的。其后又由切比雪夫（1821-1894）、黎曼（1826-1866）、拉馬努金（1887-1920）、哈代（1877-1947）和其他學者進一步發展。其中最有力的解析數論的方法之一是由維諾格拉朵夫（1891-1983）院士創造的。

③代數數論的基本概念是代數數，即任何有理系數多項式方程的根。這一路徑是從高斯（1777-1855）在1801年發表了他的《算術研究》后，開始得到了系統的發展。在這本著作中，高斯給出了歐拉最先發現的二次互反律的證明，并形成了復整數理論的思想，這是代數數論的開端。在高斯之后對代數數論作出重要貢獻的數學家，有庫默爾、戴德金、蓋爾范德及其他一些人。

④幾何數論研究的基本對象是“空間格網”，也就是全部“整點”的組，“整點”是在給定的直線坐標系統中坐標全是整數的點。空間格網對幾何學和結晶學有著巨大的意義，同時它的研究緊密地聯系著數論中的重要問題（特別是二次型的算術理論，即系數和變數都是整數的二次型的理論）。幾何數論方面的創始工作屬于閔可夫斯基（1864-1909）和沃洛諾伊（1868-1908）。

需要指出的是，這四部分并非完全割裂，解析數論的方法不論在代數數論還是幾何數論中都有著重要的應用。而數論中解析方法有深刻的力量的原因就在于，存在于“不連續的整數”之間的聯系由于經過“連續量”而引導出的“新的聯系”，內容變得更為充實了。

03

素數分布問題

下面主要講述解析數論中關于素數分布問題的一些重要工作，以體會用分析方法解決數論問題的數學思想。引起狄利克雷去應用分析的問題是證明歐拉和勒讓德提出的猜想：每個算術序列中包含無窮多個素數，其中  和  互素。這個結果推廣了歐幾里得關于在序列  中包含無窮多個素數的定理。狄利克雷的證明長而又繁，特別是他用了級數  ，現在被稱為狄利克雷級數，其中  和  都是復數。這便是用分析方法求解數論問題其中的關鍵一步。

圍繞著引進分析的主要問題涉及函數  ，  表示不超過  的素數的個數。例如，  是4，因為2，3，5和7是素數，而  是5。當 增加時，增添的素數變得稀疏起來，問題是  的固有分析表達式是什么？（自此對素數分布的刻畫就轉化為對函數  的分析性質的研究）勒讓德證明了不存在有理表達式，他曾在一個時期內放棄了可能找到任何表達式的希望。那時歐拉、勒讓德、高斯和其他人都推測 這一結論被稱為素數定理。高斯利用素數表（他事實上研究了直到  的一切素數）對  作了猜想，并推斷  與  的差是很小的。他還知道       1848年，彼得格勒大學的教授切比雪夫繼續研究小于或等于  的素數個數的問題，并在這一古老問題上邁出了一大步。在一篇關鍵性的論文《論素數》中，切比雪夫證明了 這里  和  ，但是沒有證明這個函數趨向于一極限。這個不等式為許多數學家所改進，也有人曾懷疑這個函數有極限。切比雪夫在他的著作中使用了       現在我們把它叫做黎曼ζ函數，可是，他是僅對z的實值應用這個函數的。（這個級數是狄利克雷級數的一種特殊情況）。后來1859年黎曼用了復數z的ζ函數去試圖證明素數定理，他指出要再深入研究，就應當知道ζ(z)的復零點。實際上，當  時，ζ(z)對  不收斂，而ζ在半平面  內的值是由解析延拓定義的。他敘述了一個假設：ζ在帶形區域  中的一切零點都位于  這條線上，這就是黎曼猜想。

1896年，阿達馬應用（一個復變量的）整函數的理論，以及證明當  時，  這一決定性的事實，終于證明了素數定理；他研究整函數的目的就在于證明這個素數定理。這個定理是解析數論的中心問題之一。

而上面出現的很多不等式和估計，則離不開對微積分中積分法則和各種不等式的應用。以切比雪夫的工作為例，對證明細節感興趣的讀者可以查閱《數學——它的內容，方法和意義（第二卷）》的第十章。

04

研究意義

數論研究的動力似乎離不開一些著名的猜想，但其證明卻需要極深的思想與方法，其發展推動了許多重要理論和工具的誕生。數論中的基本問題催生了代數學的現代框架，如費馬小定理（  ）的研究啟發了群論中的階和循環群等概念；數論問題通過幾何化方法推動了多個幾何分支的發展，如格羅騰迪克的概形理論將素數分布問題轉化為幾何空間上的點集研究，韋伊猜想通過上同調理論解決，推動建立代數幾何的基礎理論；數論中的離散問題需要分析工具的介入，進而推動了復分析、調和分析等領域，如黎曼ζ函數的研究揭示了素數分布與復分析中解析延拓、留數定理的深刻聯系等等。從古希臘的丟番圖到現代的朗蘭茲綱領，試圖解決這些問題的同時也使數論這棵大樹茁壯成長。但直到上世紀六七十年代，數論才終于在密碼學中找到了實際應用。未來數論能否結出其他的果實呢？我們不得而知。只是在數學家的眼中，數論似乎有著其獨特的美。

高斯：“數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。”

背景：高斯在19歲時完成《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae），系統構建了現代數論的基礎。他將數論視為數學中最純粹、最深刻的分支，認為其問題“不需要借助現實世界的物理現象，僅憑邏輯即可展現宇宙的秩序”。

歐拉：“數論中的真理如同星辰，我們必須用智慧的眼睛去發現它們。”

背景：歐拉證明了費馬小定理的推廣形式，并發現調和級數與素數分布的聯系。他在失明后仍通過心算完成大量數論研究，認為數論問題“雖無直接應用，卻能揭示數學的本質結構”。

希爾伯特：“黎曼猜想是數學中最重要的問題。如果我在沉睡千年后醒來，第一個要問的問題就是'黎曼猜想被證明了嗎？”

背景：在1900年巴黎國際數學家大會上，希爾伯特提出23個數學問題，其中第8問題包含黎曼猜想、哥德巴赫猜想等核心數論難題。他認為數論問題“是數學進步的試金石”。

哈代：“數論的美在于其無用性。真正的數學永遠不應被戰爭或商業玷污。”

背景：哈代在《一個數學家的辯白》中強調數論的純粹性。他致力于素數分布與解析數論研究，認為“數論問題的解決不需要現實世界的理由，其價值在于自身的邏輯完美”。

埃爾德什：“數學是唯一能與上帝對話的語言，而素數是這語言中最純凈的詞匯。”

背景：愛多士在素數定理、哥德巴赫猜想等領域貢獻卓著。他一生游歷世界，與數百位數學家合作，認為數論問題“像宇宙的密碼，等待被破譯”。

懷爾斯：“證明費馬大定理的過程，就像在一座黑暗的宅邸中摸索。每個房間都藏著數百年未解的謎題。”

背景：懷爾斯在1994年通過橢圓曲線與模形式理論攻克費馬大定理。他將數論研究比作“探索人類智力的邊疆”，認為“數論問題的解決往往需要跨越多個數學分支的洞見”。

格羅滕迪克：“數論是數學的終極戰場，它迫使我們將所有工具推向極限。”

背景：格羅滕迪克革新了代數幾何，為現代數論（如韋伊猜想）提供了抽象框架。他認為“數論的本質在于用最簡潔的假設導出最深刻的結論”。

張益唐：“素數間隔的有限性證明讓我相信，數論中最簡單的問題也可能隱藏著宇宙的奧秘。”

背景：張益唐在2013年證明存在無窮多對素數間隔小于7000萬，打破了數論中長達百年的僵局。他認為“數論研究需要孤獨的堅持與突如其來的靈感”。