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蔡忠仁《當代邏輯》副主編 摘 要“上下四方為宇,古往今來為宙。”（《爾雅》）中國古人比歐洲人對時空的定義要早兩千多年。在這無限的時空中存在著無限多個邏輯結構和邏輯規律,而人類對這些邏輯結構和邏輯規律的認識,是從七要素、四準則、十公理和兩法則開始的。因此,我們有必要介紹一門由中國著名邏輯學家林邦瑾先生獨立創建的新學科---制約邏輯。 關鍵詞 七要素 四準則 十公理 兩法則 原子事件 人類，是在無限時空遵循規律的演變中產生的。人類之所以偉大，就在于她能認識宇宙的奧秘，并成為宇宙的卓越組成部分，因而她構成了宇宙的精華。宇宙支配著人類，然而，人類在揭示其奧秘之后又回過頭來支配宇宙。對于探索宇宙奧秘的人們來說，宇宙是如此的單純、如此的統一。 一、制約邏輯的七要素、四準則、閉原子事件、開原子事件 客觀世界的無所不在、無限多樣的普遍結構是由七種基本要素和四種形成準則建造出來的。這“七要素”通過“四種搭接方式”，就拼湊出這紛紜浩繁的大千世界。對于宇宙的探索者來說，“師造化”才能發現七要素、四準則。七要素依次為：客觀的n元關系p、m元函數f、個體常項e、個體變元x、否定﹁、合取∧、制約 ?。這七要素的下述七種客觀性質統稱為非經驗性質（亦稱為邏輯性質），即：是個n元關系；是個m元函數；是個個體；在論域中變；1元有無函數1-0,0-1；2元有無函數1-1得1，1-0得0，0-1得0，0-0得0；具有一獨的不會是有前而無后。前三種要素除了屬于自己的非經驗性質（即邏輯性質）之外，還分別依次具有經驗性質（即非邏輯性質）：確定的U?的確定的子集P的一個確定的共僅屬性、從確定的定義域到確定的值域的確定的m元映射、確定的論域中的確定的個體。經驗性質只為邏輯外的經驗科學所研究。前三種同時還具有經驗性質的基本對象：n元關系p、m元函數f、個體常項e，就統稱為經驗基本對象（也稱非邏輯基本對象）。邏輯外的經驗科學（除離散數學之外）不研究上述七種基本要素的非經驗性質；離散數學不研究最后（制約 ?）也是最重要的一種非經驗性質，只從外延的角度部分地研究第一種（即n元關系p）非經驗性質。顯而易見，后四種要素除了只具有屬于自己的非經驗性質之外，不再具有其他的任何性質，故而，這后四種只具有非經驗性質的基本對象：個體變元x 、否定﹁ 、合取∧、制約 ?， 就統稱為非經驗基本對象（亦稱邏輯基本對象），為了醒目，請見下表：
揭舉項的形成準則，首先要定義清楚個體和個體變元。個體就是在思考時不對之進行分解的單個對象。譬如，當人們在作各種不同的思考而分別以銀河系、地球、長江、長城、一個原子、一座山峰等為不對之進行分解的單個對象時，銀河系、地球、長江、長城、一個原子、一座山峰等對于相應的思考來說，就分別稱為個體。通常以斜體小寫拉丁字母e右上角加撇e’、或右下角加下標e i （i為自然數）表示個體。對象就是可以對之思考的一切。實物、屬性、關系、物質和意識均為對象。個體是制約邏輯語義學研究宇宙的結構層次的起點。客觀世界的個體變元在客觀的不空的個體域中變，或者說，以客觀的不空的個體域為變域。也可以同義的說成，客觀的個體變元泛指客觀的論域中的任意個體。以斜體小寫拉丁字母x、y、z加撇或下標表示個體變元。上述字母稱為個體變元號，其本身并非個體變元，而是被用來對客觀的個體變元進行討論的輔助手段。項是一種為制約邏輯語義學研究的客觀世界的重要對象。項作為一種客觀存在形態，具有客觀的形成準則，是否符合這種形成準則，就成了鑒別任一對象究竟是否項的客觀標準。項的客觀形成準則如下： ⑴任一個體、個體變元是項； ⑵若U1，U2，…，Ui，…，Un是項，f是一個U（論域）上的n元函數，則f（U1，U2，…，Ui，…，Un）是項； ⑶U是項，僅當U滿足⑴或⑵。 這里的⑴稱為基始，⑵稱為歸納，⑶稱為界限。當然，這三者都是客觀的。對于客觀世界本身無需說⑶，而只說⑴和⑵兩條形成準則就足夠了。以黑斜體小寫拉丁字母a、b、c、d，加撇或下標表示任意的項。項可按是否出現個體變元，二分為變項和常項。個體變元為0階變項；個體為1階常項；若f（a1 ，a2 ，…，ai，…，an）是既非個體變元又非個體的項，且諸項ai中的最高階為k，則項f（a1，a2，…，ai，…，an）的階為k+1。項的階就是按上述算法確定的非負自然數。項的階是項的客觀的邏輯結構的數量特征。 為了揭示事件的形成準則，首先要規定清楚論域、n目組、n元關系和原子事件。論域就是討論所涉及的不空的個體的領域。譬如，數學就是以現實世界的數量關系和空間形式為自己的研究對象的論域。對于所進行的討論來說，論域是最廣泛的集，討論只在這個范圍內進行。以斜體大寫拉丁字母U，加撇或下標表示論域。關于對象的討論不僅需要有作為分析的起點的不對之進行分解的個體，而且還需要有作為概括的終點的始終不可逾越的論域。 若e1，e2，…，ei，…，en是論域U中的n個未必互異的個體，則由之組成的具有一定順序的排列稱為U上的一個有序n目組，并簡稱為n目組。以（e1，e2，…，ei，…，en）表示論域U上的n目組。一般來說，m元論域上的n目組共有m?個。 若集P的任意元均為集Q的元，則稱P為Q的子集，以P ? Q表示。若P ? U?（集P為n目組集U?的一個子集），且稱p為P的共僅屬性，則稱p為U上的一個n元關系。 閉原子事件的形成準則，分別有下述前后兩組各三個事實。 前一組三個事實為，當且僅當有下述三個事實時： ①由論域U上的n個常項b1，b2，…，b i，…，b n 組成的常n 目組（b1，b2，…，b i，…，b n） ； ②有論域U上的一個n元關系p ； ③若（b1，b2，…，b i，…，b n）滿足p ，則稱閉原子事件 p（b1，b2，…，b i，…，b n）為有。 若P為U?的子集，則稱由且僅由U?內不屬于P的n目組為元組成之集R為P的補集。以R =～P表示R是P的補集。若p、～p分別為P、～P的共僅屬性，則稱～p為p的補n元關系，并簡稱為補關系。 后一組三個事實為，當且僅當有下述三個事實時： ①由論域U上的n個常項b1，b2，…，b i，…，b n 組成的常n 目組（b1，b2，…，b i，…，b n） ； ②有論域U上的一個n元關系p ；從而必定也有其補關系～p ； ③若（b1，b2，…，bi，…，b n）不滿足p，從而必定滿足～p則稱閉原子事件p（b1，b2，…，b i，…，b n）為無。這就是說，無閉原子事件p（b1，…，b n），當且僅當有其補閉原子事件～p（b1，…，b n）。因此，對于閉原子事件來說，無就是有補，就是異在。 開原子事件的形成準則如下：以“1”表示有，“0”表示無。由且僅由1、0組成之集{1，0}，稱為有無域。 若a1，a 2，…，a i，…，a n中至少有一ai為變項，則稱（a1，a 2，…， a i，…，a n）為變n目組。變n目組在U?的一個子域中變。開原子事件p（a1， a 2，…，a i，…，an）是一個從U?的一個子域到有、無域{1，0}的映射，亦即，是一個以論域U為定義域，以有、無域{1，0}為值域的函數。正由于此，開原子事件又稱為個體-有、無函數。 當分別以n個（未必互異）個體常項代入在n元開原子事件中出現的n個個體變元后得出的閉原子事件p (ej 1，…，e j i，…，e j n ),稱為原來的n元開原子事件p（a1，…，ai，…，an）的例；對開原子事件本身，鑒于是個體-有、無函數，故而無需討論其本身為有或者為無；然而，對開原子事件的例可以討論其有無。對于開原子事件的劃分如下：
可 有
可 無 常 無 當一開原子事件的例：可以為有，必定為無時，分別稱此開原子事件為可有、常無；必定為有，可以為無時，分別稱此開原子事件為常有、可無；可以為有且可以為無時，則稱此開原子事件為可有可無。常有開原子事件必為可有；常無開原子事件必為可無。 閉、開原子事件統稱為原子事件，以p( c1,…,ci,…,cn )表示，其中，p為論域U上的一個n元關系，ci（i=1，…,2 ,…,n）為U上的常項或變項。閉原子事件的例就是其自身，原子事件的有、無指的是其例的有、無。開原子事件p（x1,…，xi ,…，xn）稱為n元關系p的命名事件。 現在，來規定事件，就有了基礎。跟項一樣，事件是另一種為制約邏輯語義學所研究的客觀世界的重要對象。事件作為一種客觀的存在形態，具有客觀的形成準則；是否符合這種形成準則，就成了鑒別任一對象究竟是否事件的客觀標準。事件的客觀的形成準則如下： ①任一原子事件p ( c1 , c2 ,…, ci ,…, c n ) 是事件； ②若u、v是事件，則﹁u、u∧v、u ?v是事件； ③w是事件，僅當w滿足①或②。 這里，以黑斜體小寫拉丁字母u、v、w指稱任意對象。以黑斜體大寫拉丁字母A、B、C、D加撇或下標指稱任一事件。對于客觀世界本身來說，無需說③，只需說①、②兩條形成準則就足夠了。 在事件中出現的聯結關系的次數，稱為事件的高，是一個非負的自然數。原子事件的高為0，復合事件的高＞0。原子事件和復合事件統稱為事件。原子事件的層為0 ；若A的層為K，則﹁A的層為K+1；若A、B中的最大層為K，則A∧B、A ?B的層為K+1。事件的層為一依據上述算法確定的非負自然數。事件的高和層是事件的客觀的邏輯結構的數量特征。 鑒于項和事件的邏輯性質體現的由項的逐階、事件的逐層的客觀的形成過程所確定的結構，因此，可稱為項、事件的邏輯結構或邏輯性質。邏輯外的經驗科學是研究項、事件中的經驗基本對象的經驗性質和項、事件的經驗性質。總之，任何經驗科學，只有匯同邏輯科學，才能對客觀世界進行有意義的研究。 二、制約系統的Cm公理、規則和兩個獨立性 客觀世界的無所不在、無限多樣的普遍規律是從十條基本定律和兩條演變法則產生出來的。這由十個“網目”和兩條“綱繩”織成的普遍規律之“網”，就囊括了“七要素”、“四準則”范圍內的關于客觀世界的普遍結構的客觀規律。 十條基本定律（亦稱原始公式或公理）如下： 一、 A ?﹁﹁A （二重否定引入公理） 二、（A ?B ?C）?B ?A ?C （制約條件易位公理） 三、（B ?C）?（A ?B）?A ?C （制約三段論公理） 四、（﹁A ?B）?﹁B ?A （制約亞逆否公理） 五、 A﹁B ?﹁（A ?B） （不制約公理） 六、 A ?A A （同一語構變元合取公理） 七、 A B ? A （合取分析公理） 八、 A B ?B A （合取交換公理） 九、（A ?B）（A ?C）?A ?B C （制約合取后件合取公理） 十、 A﹁（﹁B﹁C）?﹁〔﹁（A B）﹁（A C）〕（分配變形公理） 兩條演變法則（也稱規則）是： 01 若A，A ?B，則B（分離規則）； 02 若A，B，則A∧B（合取規則）。 這里的十條基本定律的每一條定律都構成了一個無限集，而由基本定律（或稱公理）和規則推導出來的每一個導出公式又都是一個無限集。譬如：（A ?B）?（B ?C）?A ?C，這個導出公式只需借助公理三和二以及01規則就可推出。證明如下： （A ?B）?（B ?C）?A ?C <（B ? C）?(A ?B) ?A ?C ① 三 〔（B ?C）?(A ?B) ?A ?C〕?〔（A ?B）?（B ?C）?A ?C〕 ② 二 (A ?B) ?(B ?C) ?A ?C > ③ ①，② 01 第一步①用公理三，第二步②用公理二，第三步③把第一步①和第二步②用分離規則分離一次，就得到（A ?B）?（B ?C）?A ?C，這個導出公式仍然是一個命題邏輯的無限集。對于公理十舉例如下：“徐悲鴻是畫家，并且，并非'徐悲鴻不是中國人，又不是愛國者’，推出，并非'徐悲鴻既不是畫家和中國人，又不是畫家和愛國者’。”此例的項邏輯的式刻劃為：p（e）∧﹁ 〔﹁q（e）∧﹁r（e）〕?﹁{〔﹁p（e）∧﹁q（e）∧﹁p（e）∧﹁r（e）〕}。p（﹁p）、﹁q、﹁r分別表示1元關系——…是（不是）畫家、…不是中國人、…不是愛國者,e表示徐悲鴻。對此，我們可以大膽地說符號語言自身的排列結構和變形規則刻劃了客觀世界的邏輯結構和邏輯規律，因此，制約邏輯語構學的終極目標是清晰透徹而又完備無誤地研究客觀世界的邏輯結構和邏輯規律。上述項邏輯的式很好地刻劃了客觀世界的邏輯結構。 在上述公理中出現的“ ?”（讀為制約），是制約邏輯的獨特發現。這種創造性的發現，有其堅實的理論基礎。制約邏輯的理論基礎是兩個獨立性。“可獨立于A、B本身的有無確定不會是有A而無B ”，這就是非純真值的復合事件“A制約B ”，并以A ?B表示，其中的表意的人工符號“ ?”稱為制約號。A ?B就稱為制約事件，在其中出現的2元的非純真值的聯結關系?稱為制約關系；而在制約關系的前、后轄域出現的事件A、B就分別稱為前件、后件。為了簡捷，我們稱包含在制約事件A ?B中的“可獨立于A、B本身的有無確定不會是有A而無B ”這個非常重要的邏輯性質為第一獨立性，并簡稱為一獨。第二獨立性為：“可獨立于B的有無確定A為有”，并簡稱為二獨。像客觀的邏輯性質一獨一樣，這客觀的邏輯性質二獨對于以獲取新知為主要使命的邏輯科學來說，也具有決定性的重要意義。非純真值的制約關系，是組成客觀世界的邏輯結構和邏輯規律的核心。 三、制約邏輯的邏輯定律和邏輯法則的舉例 客觀世界的邏輯定律、邏輯法則統稱為客觀世界的邏輯規律。邏輯定律就是客觀世界的邏輯存在事件。讓我們從《韓非子·難一》里引出一段話來說明邏輯定律和邏輯法則。 “楚人有鬻盾與矛者，譽之曰：吾盾之堅，物莫能陷也。又譽其矛曰：吾矛之利，于物無不陷也。或曰：以子之矛，陷子之盾，何如？其人弗能應也。夫不可陷之盾，與無不陷之矛，不可同世而立。” 上述整段話的含義是：滿足“不可陷”的盾與滿足“無不陷”的矛這樣的實物，在客觀世界中不能同時存在。這個帶有規律性的復合事件用人工符號表示為： ①不自相矛盾定律：├﹁ { [Ｕ（ｘ）?ｐ（ｅ1，ｘ）］∧[Ｕ（ｙ）?﹁ｐ（y，e2）］}; ①的存在只取決于它的邏輯結構（邏輯性質），而不取決于它的此外的經驗性質。其存在只取決于其邏輯結構的事件稱為邏輯存在事件（恒有事件）。客觀世界的邏輯定律就是客觀世界的邏輯存在事件。
②不矛盾定律：├ ﹁〔p（e1 ,e2）∧ ﹁ p（e1 ,e2）〕。該定律的含義是：恒無矛盾事件A∧ ﹁ A，其表達式一般為：﹁（A∧ ﹁ A）； ③有自相矛盾事件就有矛盾法則：｛〔U（x）? p（e1,x）〕∧ 〔U（y）?﹁p （ y,e2）〕 ├ p（e1 ,e2）∧﹁ p（e1 ,e2）； ④逆否定律：├（A ?B） ?﹁B ?﹁A。該定律的項邏輯表達式為： ├〔 p (e1) ?q (e2 ) 〕? ﹁ q(e2) ? ﹁p(e1)； ⑤分離法則：當有A，A ?B時，就有B ，或，A，A ?B ├ B； ⑥有不矛盾就有不自相矛盾法則（依據③④⑤得出）： ﹁〔p(e1，e2) ∧﹁ p(e1，e2)〕├ ﹁｛〔U (x) ? p (e1，x)〕∧〔U(y) ?﹁p(y,e2)〕｝。再依據②和⑥去得出名垂千古的①不自相矛盾定律。其步驟是：U（y）?﹁p (y,e2) —“夫不可陷之盾”，U（x）? p (e1，x ) —“與無不陷之矛”，〔U（x）? p (e1，x )〕∧〔U（y）?﹁p (y,e2)〕—“同世而立”，﹁｛〔U（x）? p (e1，x )〕∧〔U（y）?﹁ p (y,e2)〕｝— “不可”。 上述①、②、③、④、⑤、⑥都是客觀世界的邏輯規律。其中的①、③、⑥由于需把事件的邏輯結構分析到項，因此，稱為項邏輯規律，屬于項邏輯范圍，項邏輯包含事件邏輯；其中的②、④、⑤因為不分析在其中出現的基礎事件（即不對之進行分析的事件）本身的邏輯結構，以基礎事件為最小單位，所以。稱為事件邏輯規律，屬于事件邏輯的范圍。事件邏輯可視作不分析基礎事件的邏輯結構的項邏輯的特殊情況。上述六條邏輯規律中，②、④為事件邏輯定律，⑤為事件邏輯法則；其余三條為項邏輯規律，其中，①為項邏輯定律，③、⑥為項邏輯法則。客觀世界的邏輯結構和邏輯規律有無限多個。 韓非的“不自相矛盾定律”的“邏輯有效”，取決于邏輯存在。所謂“邏輯存在”，指的是：一事件的客觀存在僅僅取決于它的邏輯結構。譬如，事件﹁｛〔U（x）? p ( e1，x )〕∧〔U（y）?﹁p ( y，e2 )〕｝（不自相矛盾定律）的存在僅僅取決于由上述符號表達式刻劃的邏輯結構，和在其中出現的p 、e1 、e2 、x、y所在的論域U，p是什么樣的2元關系與e1 、e2是什么樣的個體無關。打個比喻：把上述事件的邏輯結構比作具有三個空格子p 、e1 、e2 的架子，在這三個空格子里可以放入任意對象領域上的任意一個2元關系、一個個體和另一個個體，這在空格里放上三件上述東西后的整個架子就構成一件存在的事件。對此尚有懷疑，請看下表：
容易驗證，上述成對事件的合取事件的否定事件，永遠存在。類似的例子俯拾皆是，不勝枚舉。 邏輯存在事件也稱為普遍存在事件。韓非就是通過這無限集之中的一個引人入勝的元來闡明作為邏輯規律“不自相矛盾定律”等客觀規律的。 韓非的“不自相矛盾定律”，能夠分析到項邏輯程度，比歐洲的數理邏輯分析到項要早2000多年，可見中國古代的邏輯思想和處理邏輯問題的方法毫不夸張地說居于世界前列。 上述的客觀的定量分析，是建立在制約邏輯的兩個獨立性基礎之上的邏輯成果。第一獨立性是指：以A、B表示任意的客觀事件。包含在制約事件A ?B中的“可獨立于A、B本身的有無確定不會是有A而無B ”這個重要的邏輯性質稱為“確定制約關系對前后件的有無的獨立性”。第二獨立性是指：“可獨立于后件B的有無的確定前件A為有”，我們稱這個邏輯性質為“確定制約關系前件為有對后件有無的獨立性”。第一獨立性和第二獨立性是制約關系的邏輯精髓，是作為以有限把握無限、用內涵分析替代外延合取、從已知進入新知的普遍適用的工具的邏輯科學這座摩天大廈的兩塊堅固的基石。 宇宙原本是通過客觀的邏輯結構和邏輯規律將各種事件在時間和空間上從一個必然過渡到另一個必然的無限綿延廣漠的網，而邏輯科學則是對宇宙這個無限綿延廣漠的從一個事件必然過渡到另一個事件的邏輯結構的網的認識、整理和總結。 于是，一門從“七要素”、“四準則”和“十定律”、“兩法則”出發，準確無誤而又完整無缺的研究宇宙的無所不在、無限多樣的普遍結構和普遍規律的科學隨即應運而生----這,就是制約邏輯。 2025年8月18日
金岳霖 著《邏輯》 商務印書館 1937 沈有鼎 著《墨經的邏輯學》社科出版社1980 林邦瑾 著《制約邏輯》 貴州人民出版社 1985 |
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