|
高等幾何（仿射，射影幾何等） 對于 計算機圖形學，計算機視覺等研究是非常重要的基礎知識。
我是國內工科畢業，現在美國讀計算機視覺的博士。以前覺得自己的數學很好，其實只是會考試，會計算，會一些小技巧而已。并不真懂數學。 真正使我在數學方面有了一些真切理解的，是我在深入的思考了線性代數和高等幾何之后的事情了。 其實微積分是比較簡單的，而且學習的思路可以沿襲中國中學數學的學習思路。但是線性代數（以及泛函分析）和高等幾何其中蘊涵的方法，思路跟我們傳統的數學內容有較大的區別了。如果僅僅滿足于會做微積分，會解題，那并不困難，但是要真正理解數學，可能需要對線性代數和高等幾何下一番功夫了。 我這里僅僅是就一個一般工程師所需要的數學素養而言的，對于特定的研究，可能還需要有一些專門的數學知識。對于數學專業的，我覺得你有足夠的時間去思考，揣摩數學到底本質是什么了。 1 線性代數，國內的教學，以前一上來就是行列式，有很多復雜的行列式計算題目，其實這根本不反映線性代數的根本的思想。我覺得線性代數從應用方面，應該強調解方程組，包括矛盾方程組（最小二乘法）；在實際中最有用的是一般的矩陣（m！＝n），而不是方陣。就數學思想方面來說，向量空間，線性空間的概念是現代數學的核心基礎觀念，其重要性超過微積分。 對工程實踐中大量存在的線性問題，線性代數，數值線性代數，是最重要的工具。數值線性代數的重要性超過數值分析。 2 高等幾何，主要是向大家揭示了多種不同公理體系并行存在的可能性。非歐幾何對一個人對數學的理解是非常必要的沖擊。光知道歐氏幾何，不知道射影幾何，非歐幾何，對公理化數學的理解必然保留在一個低的水平上。希爾波特的 幾何公理 一書 本身沒有用到多少高深的概念，但是其反映的是現代公理化思想。 射影幾何本身在數學研究內，已經死掉了，正如，現在的數學家不會成天研究平面歐式幾何的難題一樣，盡管有些初中生就能看懂的平面幾何題目可能難倒不少數學家。但是射影幾何在應用上，尤其是計算機圖形學上，是個基礎。 基于上面的分析，我覺得一個真正希望打好數學基礎的人，應該相當注意代數，幾何的繼續學習，不要停留在滿足于知道一個名詞，會算，要真正去思考，領會這些東西的實質。 ＝＝ 關于數學歷史學習的一些建議 學習數學，不了解歷史，很容易自卑。看著教科書上的嚴謹和美輪美奐，一個人很容易懷疑自己的智力。但是當你了解了歷史上數學發展過程的種種曲折之后，你就知道，其實這些都是經過整理，包裝后的結果。 歷史上一些革命性的觀念，多是樸素的。最初的發現者，未必就清楚的明了其發現的價值。 而很多有價值的觀念，來自于科學，工程的實踐。 了解一個觀念，一個理論產生，發展，修繕的歷史，對于真正的理解他，對于一個人真正進入“角色”，有極其重要的意義。 如果光是看教科書，而不看數學歷史的話，就如同歷史研究者光看正史，不看野史一樣，掌握的東西很可能是不完整，不全面的。 ＝＝ 中國高等數學教育缺陷芻議 我簡單的羅列一下我的看法，具體內容尚待日后補充。 1 重計算，輕思想 2 重微積分，輕代數，幾何 3 重理論嚴謹，輕實際應用 4 與計算機時代的要求不相銜接 5 重抽象，輕直觀 按照中國高等工程數學的教學標準，筆者算一個相當好的學生，但是真正回想起來，中國高等工程教育給我的，只是會解一些題目，掌握一些手算技巧罷了。對于真正的數學思想，領會的不多，更不用說得心應手的予以運用了。 我個人業余讀了以下的幾本書，也提出來跟大家共享一下，
1 項武義 在香港科技大學的基礎數學講義（網上可以下載電子版）， 高屋建瓴， 深入淺出。 項以前是伯克利的數學教授 早在1980年代，項就在北大講微積分課程，并出了書，微積分大意 2 龔升 的 微積分五講 臺灣數學傳播雜志上看的，國內據說出書了，但是還沒看到 據說同時還有一本從 module的角度講線性代數的，也沒看。龔是以院士水平講大學基礎課 3 MIT Strang G 教授的 線性代數，應用數學系列講座， 請google "MIT 18.06" "MIT 18.085" "MIT 18.086" 有錄像 我覺得Strang G 先生最大的成功就是把線性代數中最重要的思想給突出出來了。他有一本書 linear algebra and its applications 他有一項本事，在課上從來沒有嚴謹的證明，但是把理論，定理都滲透在很簡單的例子里面了。他的課程跟中國國內老師的中規中矩的教學形成了鮮明的對比（指的是工科教學）。 他講的應用數學以矩陣，線性代數為基本語言，符合現代計算數學的潮流，我覺得很值得參考。他的應用數學書籍 一本是1986年出的，一本是2007年新出的，現在網上有三章免費下載，這里不具體寫了（有心人找的到） 例子， 以前華中理工大學 于寅 教授出過一本 現代數學基礎 ，據說是華工博士生教材。這本書可以當作國內工科數學教學的代表。里面除了把數學系的基本書抄錄，拼湊一下以外，基本沒有考慮到工科學生的特點，當然可能作者本身也沒有這個功力和閱歷能寫好一本真正結合工程實際的好數學書了。 4 國內齊民友教授 出了一本 重溫微積分， 這本書，我覺得對提高數學專業的人的分析素養，很有裨益，但是對工科數學關心的人，不必太花時間了。因為個人認為分析不是工科數學的重點。而國內在分析數學上的訓練，足夠你去進一步深入學習其他的東西了。 順帶說一句，據齊先生的說法，重溫微積分，是依照蘇聯 辛欽的 數學分析八講 來寫的。他很多年前翻譯的那本小黃書筆者是見過的，但是沒有仔細研究。 我始終覺得數學的美，更多的反映在代數和幾何上，分析的東西，沒有太多的美在里面。 摘自 博士數學論壇
|
|
|
