數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路線圖

terry tao攻破了periodic tiling conjecture--.

前言

盡量學(xué)以致用，雖然當(dāng)今現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展速度超乎普通人的想象，前沿的數(shù)學(xué)理論早已經(jīng)可能不能應(yīng)用了。但是作為非純數(shù)學(xué)專業(yè)的人還是盡量以應(yīng)用為目的的方式，來羅列一些數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)順序，順帶我查找資料推薦的書籍，能夠應(yīng)用到科技領(lǐng)域的數(shù)學(xué)，我也會順帶一提，數(shù)學(xué)主流還是分四研究大方向: 分析，代數(shù)，幾何，拓?fù)洹Ｃ總€大方向又有無數(shù)子領(lǐng)域，但是學(xué)習(xí)初期，它們依賴的知識點，概念互相獨立而又統(tǒng)一聯(lián)系。所以盡量不分開講。

但是這幾個方向，還是有特點的，幾何重圖形與結(jié)構(gòu)。分析重逼近與主次，代數(shù)重抽象與統(tǒng)一。可以看出來，分析是精細(xì)化推理與計算，代數(shù)更加抽象和一般化，直覺很重要，需要積累大量具體例子，幾何主要就是圖像了，也需要直覺。至于拓?fù)洌鋵嵕褪菐缀蔚囊粋€分支。

正文路線圖

基礎(chǔ)不牢地動山搖之?dāng)?shù)分，高代，解幾

首先，還是走數(shù)學(xué)流派，國內(nèi)本科大一，一般最開始是先學(xué)《數(shù)學(xué)分析》和《高等代數(shù)》了，所謂的數(shù)分高代，當(dāng)然，在此之前，其實可以業(yè)余先學(xué)習(xí)了解下《數(shù)理邏輯》《集合論》（樸素集合論，公理集合論），這樣是有好處的，因為數(shù)學(xué)越到后面越抽象，很多各種空間，映射等概念幾乎是由集合論的描述語言外延擴(kuò)展出去的，對你將來理解一些數(shù)學(xué)語言，概念有幫助。

《數(shù)學(xué)分析》其實就是高級，更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹陡叩葦?shù)學(xué)》和《微積分》，在某些觀念上看，其實它們是一樣的。《高等代數(shù)》其實就是更高級，更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹毒€性代數(shù)》。這個就是數(shù)學(xué)系和工科專業(yè)的差別所在。這里會問，有沒有微分方程的教材，其實一般《數(shù)學(xué)分析》里面，到后期的內(nèi)容，就會涵蓋一些基本的微分方程了。微分方程分為《常微分方程》（ODE）和《偏微分方程》（PDE）可深可淺，當(dāng)然是先學(xué)ODE，再學(xué)PDE，本科級別的PDE不會深。

《解析幾何》延續(xù)了前蘇聯(lián)的風(fēng)格，美國大學(xué)數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)課一般不會開設(shè)這門課了，這門課其實我們在高中的時候就接觸過一點，比如圓錐曲線，雙曲線等。這是一門高中到大學(xué)的過渡課程，為后續(xù)的《射影幾何》再到古典的《微分幾何》（曲線與曲面的微分幾何）鋪墊路子。當(dāng)然，大學(xué)開設(shè)的解析幾何可能后續(xù)會提到射影幾何里面的射影，仿射變換。如果覺得自己基礎(chǔ)扎實，這門課可以不學(xué)，如果不扎實，可以一學(xué)，但是不要花太多功夫。它的意義也不是說沒有，就是為二維，三維空間提供具體的例子，為以后鋪路。當(dāng)然，從大多數(shù)人士的觀點來看，覺得這門課沒意義，也沒打什么基礎(chǔ)，計算量還特別大（想想高考時候的壓軸題），他們可以直接學(xué)《射影幾何》《代數(shù)曲線》，或者用線性代數(shù)的矩陣來解決解析幾何中，二維，三維空間的問題，也就是《解析幾何》與《高等代數(shù)》《射影幾何》某些內(nèi)容合并一下。比如，我所在的區(qū)塊鏈密碼學(xué)里面涉及到的橢圓曲線就是射影幾何的內(nèi)容，還有一些橢圓曲線上雙線性配對，雙有理等價的概念是《代數(shù)幾何》的內(nèi)容。

數(shù)學(xué)分析我推薦的是張筑生的《數(shù)學(xué)分析新講》，這本教材從觀點上看更現(xiàn)代化一些。或者看普林斯頓的《微積分》或者也可以是《托馬斯微積分》。這些都是分析流派的基礎(chǔ)。基礎(chǔ)不好，你后面就學(xué)不下去了。

《高等代數(shù)》我推薦復(fù)旦姚慕生的《高等代數(shù)學(xué)》，或者《程序員的數(shù)學(xué)--線性代數(shù)》，MIT的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》，《3D數(shù)學(xué)》，《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》，《線性代數(shù)的幾何意義》。這些教材可以互相輔助來看，加深理解。當(dāng)然，可能不同人的觀點不同，有些人建議，在入門《線性代數(shù)》之前應(yīng)該先稍微學(xué)習(xí)下《抽象代數(shù)》的前幾章（不要全部學(xué)習(xí)），這樣能以更加高觀點的形式下理解線性空間等概念，這樣接觸到一些概念不會顯得突兀。線性空間實際上不就是個環(huán)上模結(jié)構(gòu)？這樣結(jié)合的教材有《近世代數(shù)觀點下的高等代數(shù)》陳輝著

《解析幾何》推薦《曲線論》《曲面論》相關(guān)的書籍

計算機(jī)流派的基礎(chǔ)之離散數(shù)學(xué)

顯然，數(shù)學(xué)系是不學(xué)離散數(shù)學(xué)的，數(shù)學(xué)里面也沒有這個領(lǐng)域，這個主要是給計算機(jī)系學(xué)的，挺有用的，計算機(jī)所用的數(shù)學(xué)，幾乎出自《離散數(shù)學(xué)》。但是，離散數(shù)學(xué)太雜，其實是一本大雜燴，把計算機(jī)所需要的數(shù)學(xué)，什么都講一點，但不會太深，里面涉及的群，環(huán)，域就出自《抽象代數(shù)》，還有一些簡單的《組合數(shù)學(xué)》，《圖論》，《集合論》，《數(shù)理邏輯》等內(nèi)容，這些內(nèi)容在早期人工智能，編譯器技術(shù)，程序語言理論，理論計算機(jī)，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法等領(lǐng)域都有用到。《離散數(shù)學(xué)》與數(shù)分高代不沖突，可以同時學(xué)，沒有什么強制的先后順序。如果你學(xué)不好，后面的編譯器設(shè)計這門課的前端，詞法分析，語法分析你是學(xué)不了的，那幾章都是動不動就是有限狀態(tài)機(jī)，抽象語法樹等抽象點的知識，后端的機(jī)器碼，寄存器分配，可能還會涉及《圖論》的內(nèi)容。

因為離散數(shù)學(xué)學(xué)好了，你才可以按照先后學(xué)《數(shù)理邏輯》，《公理集合論》，《模態(tài)邏輯》，《計算理論》，《計算復(fù)雜性理論》等等，學(xué)完離散以后，也可以直接學(xué)《概率論》，《數(shù)理統(tǒng)計》等。這是兩條岔路，也可能有多條岔路，畢竟離散數(shù)學(xué)真只是大雜燴。

教材我推薦《離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》，《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析》都可以結(jié)合著看。

劉姥姥進(jìn)大觀園之抽代，復(fù)變，實變

現(xiàn)在開始，開始慢慢進(jìn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大門了，不過離前沿還太遠(yuǎn)太遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)一直都是從具象到抽象，過渡到一般化的過程。從《抽象代數(shù)》（又叫近世代數(shù)）開始你接觸的概念就慢慢開始抽象起來，不好理解，一個老師的建議就是學(xué)抽代，要試圖積累盡量多的具體例子，然后才能理解抽象的概念。其實我也是學(xué)了橢圓曲線上的點的加法，才知道上面構(gòu)造了一個交換群（阿貝爾群）的，這個就是具體例子，后來對交換群理解更深刻了，居然有應(yīng)用，不是那么虛無縹緲的概念了。抽代里面的群，環(huán)，域，格也是《密碼學(xué)》，《程序語言理論》的基礎(chǔ)工具，如果你Haskell語言等函數(shù)式語言學(xué)深入了，也多多少少會接觸點抽代。

《復(fù)變函數(shù)》《復(fù)分析》有時候兩者是等價的，其實就是在復(fù)平面上研究問題，學(xué)好數(shù)分的情況下，導(dǎo)數(shù)自然會過渡到復(fù)平面，基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)的四則運算等。解析函數(shù)，級數(shù)（前提學(xué)好數(shù)學(xué)分析，里面有泰勒展開等等），留數(shù)是這門課的關(guān)鍵，這門課學(xué)好了，才能先后學(xué)《信號與系統(tǒng)》《信號處理》等應(yīng)用型課程內(nèi)容（傅里葉分析，可以放到復(fù)變之前學(xué)習(xí)：傅里葉分析->復(fù)分析->信號與系統(tǒng)）。雖然這么說，其實在工程里面的信號處理，對這門課要求并不是很高，并不需要你多么厲害的數(shù)學(xué)能力，但要知道先修課程的基本概念，會做點簡單的推導(dǎo)就可以了。其實《信號與系統(tǒng)》用了復(fù)變函數(shù)，簡單的微積分和一點粗淺的線性代數(shù)知識，都不會要求先修課程要學(xué)得很好，當(dāng)然，你能學(xué)得更好，那自然是更好，我在這里想說，沒你想象中那么難，反過來其實是說，用到的這些基礎(chǔ)，其實都是些皮毛知識。教材推薦《復(fù)分析：可視化方法》

《實變函數(shù)》《實分析》有時候這兩者也是等價的，有人說，復(fù)變是激情的愛，實變是長情的陪伴，復(fù)變?nèi)菀祝瑢嵶兒茈y，復(fù)變研究性質(zhì)好的函數(shù)，實變研究點集測度上性質(zhì)奇奇怪怪的函數(shù)。但是兩者并沒有強制的先后順序，當(dāng)然，如果你擔(dān)心智力問題，可以先學(xué)復(fù)變，再學(xué)實變，這是個普通人學(xué)習(xí)的自然過渡。實分析學(xué)習(xí)好了，才能學(xué)之后的《一般拓?fù)鋵W(xué)》去研究拓?fù)淇臻g之類的，實分析學(xué)好了也才能繼續(xù)學(xué)習(xí)《泛函分析》。另外，《一般拓?fù)鋵W(xué)》之前先自己學(xué)下《點集拓?fù)洹芬苍S會更好。

本科數(shù)學(xué)系的終結(jié)之泛函分析

《泛函分析》基本是大四時候的數(shù)學(xué)課程了，首先它很難，它需要數(shù)分高代，復(fù)分析，實分析，抽代來作為基礎(chǔ)，為什么叫泛函分析，泛函就是廣泛的函數(shù)，函數(shù)的泛化，也就是函數(shù)的函數(shù)，主要研究無窮維上的線性代數(shù)。分析這個路子，基本是以Stein的教材來學(xué)習(xí)。

總結(jié)

所以你可以看到，分析，代數(shù)，幾何，拓?fù)洌鋵嵍际仟毩⒂纸y(tǒng)一的流派，都有互相傾軋的基礎(chǔ)概念。本科這些基礎(chǔ)打好以后，研究生階段就可以選擇一定的方向了，之后的路線確實就比較獨立了，雖然你接觸到越來越前沿的數(shù)學(xué)，一個方向的不同子領(lǐng)域的博士可能也互相看不懂對方領(lǐng)域的論文這是很常見的，數(shù)學(xué)的高速發(fā)展超過了你的想象。

代數(shù)方向： 交換代數(shù)，代數(shù)拓?fù)洌鷶?shù)幾何
幾何方向： 黎曼幾何，微分幾何（非古典，因為現(xiàn)代微分幾何是以黎曼幾何為開端的）
拓?fù)浞较颍?代數(shù)拓?fù)洌⒎滞負(fù)?/p>

當(dāng)然，以應(yīng)用為主的話，微積分和線性代數(shù)的基礎(chǔ)好的話，學(xué)機(jī)器學(xué)習(xí)，數(shù)值計算那些亂七八糟的什么理論，都是可以的。基礎(chǔ)不會太多，就那么一兩個基礎(chǔ)，剩下的就可以通過基礎(chǔ)往外延。換句話說，其實也就是，如果你是以應(yīng)用軟件為主的方向發(fā)展，信號處理，人工智能，機(jī)器學(xué)習(xí)，強化學(xué)習(xí)，計算機(jī)圖形學(xué)，密碼學(xué)等門檻稍高的領(lǐng)域用到的數(shù)學(xué)基本都是皮毛，不需要你拿起數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教材去補基礎(chǔ)，你不需要像密碼學(xué)家那樣來補數(shù)學(xué)，就算是密碼學(xué)家，也用了大量的前人工作，甚至把前人的工作當(dāng)作黑盒性質(zhì)來用。

應(yīng)用型人才，學(xué)好數(shù)學(xué)主要是廣度（以了解概念的聯(lián)系為主），不是深度，用到的數(shù)學(xué)不會是偏怪難的方式。說不定看看，slides，還有十幾，二十頁的數(shù)學(xué)資料就學(xué)會用了，不需要往深鉆研，不要被嚇到。