透視數學中考中應用題

這類問題在解決時，首先要在閱讀材料、理解題意的基礎上，把實際問題抽象為數學問題，即將實際問題經過抽象概括，利用數學知識建立相應的數學模型。再利用數學知識對數學模型進行分析、研究，從而得出結論。然后再把解得的數學結論返回到實際問題中。下面分類予以說明：

一、 建立數式模型

數與式是最基本的數學語言，由于它能有效、簡捷、準確地揭示由低級到高級、由具體到抽象、有特殊到一般的數學思維過程，富有通用性和啟發性，數與式模型通常成為學生抽象和概括數學問題的重要方法。

例1．（2004年安徽蕪湖市中考題）小王上周五在股市以收盤價（收市時的價格）每股25元買進某公司股票1000股，在接下來的一周交易日內，小王記下該股票每日收盤價格相比前一天的漲跌情況：（單位：元）

根據上表回答問題：

①　星期二收盤時，該股票每股多少元？

②　周內該股票收盤時的最高價，最低價分別是多少？

③　已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的交易費。若小王在本周五以收盤價將全部股票賣出，他的收益情況如何？

解：（1）星期二收盤價為25＋2－0.5＝26.5（元/股）

（2）收盤最高價為25＋2－0.5＋1.5＝28(元/股)

收盤最低價為25＋2－0.5＋1.5－1.8＝26.2（元/股）

（3）小王的收益為：27×1000(1－5‰)－25×1000（1＋5‰）

＝27000－135－25000－125

＝1740（元）

∴小王的本次收益為1740元.

二、建立方程（組）模型

方程（組）是研究現實世界數量關系的最基本的數學模型，求解此類問題的關鍵是：針對給出的實際問題，設定合適的未知數，找出相等關系，但要注意驗證結果是否適合實際問題。

例2．（2005年重慶市中考題）為了解決農民工子女入學難的問題，我市建立了一套進城農民工子女就學的保障機制，其中一項就是免交“借讀費”。據統計，2004年秋季有5000名農民工子女進入主城區中小學學習，預測2005年秋季進入主城區中小學學習的農民工子女將比2004年有所增加，其中小學增加20%，中學增加30%，這樣，2005年秋季將新增1160名農民工子女在主城區中小學學習。

（1）如果按小學每生每年收“借讀費”500元，中學每生每年收“借讀費”1000元計算，求2005年新增的1160名中小學生共免收多少“借讀費”？

（2）如果小學每40名學生配備2名教師，中學每40名學生配備3名教師，若按2005年秋季入學后，農民工子女在主城區中小學就讀的學生人數計算，一共需要配備多少名中小學教師？

解：（1）設2004年秋季在主城區小學學習的農民工子女有人，在主城區中學學習的農民工子女有人，

由題意可得：

解得

∴ ，

∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（萬元）

答：共免收82萬元（或820000元）“借讀費”。

（2）2005年秋季入學后，在小學就讀的學生有（名），在中學就讀的學生有（名）

∴ （名）

答：一共需要配備360名中小學教師

三、建立不等式模型

現實世界中不等關系是普遍存在的，許多現實問題很難確定（有時也不需要確定）具體的數值。但可以求出或確定這一問題中某個量的變化范圍，從而對所有研究問題的面貌有一個比較清楚的認識。

例3．（2004年河北省中考題）光華農機租賃公司共有50臺聯合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺。先將這50臺聯合收割機派往A、B兩地區收割小麥，其中30臺派往A地區，20臺派往B地區。

兩地區與該農機租賃公司商定的每天的租賃價格見下表：

（1）設派往A地區x臺乙型聯合收割機，租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（2）若使農機租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分配方案，并將各種方案設計出來；

（3）如果要使這50臺聯合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農機租賃公司提一條合理化建議。

解：（1）若派往A地區的乙型收割機為x臺，則派往A地區的甲型收割機為（30－x）臺；派往B地區的乙型收割機為（30－x）臺，派往B地區的甲型收割機為（x－10）臺。

∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000

x的取值范圍是：10≤x≤30（x是正整數）

（2）由題意得 200x＋74000≥79600

解不等式得 x≥28 由于10≤x≤30（x是正整數）

∴x取28，29，30這三個值。

∴有3種不同的分配方案。

①當x＝28時，即派往A地區的甲型收割機為2臺，乙型收割機為28臺；派往B地區的甲型收割機為18臺，乙型收割機為2臺。

②當x＝29時，即派往A地區的甲型收割機為1臺，乙型收割機為29臺；派往B地區的甲型收割機為19臺，乙型收割機為1臺。

③當x＝30時，即30臺乙型收割機全部派往A地區；20臺甲型收割機全部派往B地區。

（3）由于一次函數y＝200x＋74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以當x＝30時，y取得最大值。如果要使農機租賃公司這50臺聯合收割機每天獲得租金最高，只需x＝30，此時，y＝6000＋74000＝80000。

建議農機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往A地區；20臺甲型收割機全部派往B地區，可使公司獲得的租金最高。

四、建立函數模型

函數應用問題涉及的知識層面豐富，解法靈活多變，是考試命題的熱點問題。解答此類問題，一般都是從建立函數關系入手，將實際問題模型化或結合函數圖象來挖掘解題思路。

例4．(2005年廣東省梅州市中考題) 東海體育用品商場為了推銷某一運動服，先做了市場調查，得到數據如下表：

（1） 以x作為點的橫坐標，p作為縱坐標，把表中的數據，在圖8中的直角坐標系中描出相應的點，觀察連結各點所得的圖形，判斷p與x的函數關系式；

（2）如果這種運動服的買入件為每件40元，試求銷售利潤y（元）與賣出價格x（元/件）的函數關系式（銷售利潤=銷售收入－買入支出）；

（3）在（2）的條件下，當賣出價為多少時，能獲得最大利潤？

解：（1）p與x成一次函數關系。 設函數關系式為p=kx+b ，則

　　　　解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000

　　　　經檢驗可知：當x=52，p=480，當x=53，p=470時也適合這一關系式

　　　　∴所求的函數關系為p=－10x+1000

　　（2）依題意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)

　　　　　∴ y=－10x²+1400x－40000

     (3)由y=－10x²+1400x－40000 可知，當時，y有最大值

          ∴ 賣出價格為70元時，能獲得最大利潤。

五、建立統計模型

統計知識在現實生活中有著廣泛的應用，作為學生要學會深刻理解基本統計思想，要善于提出問題，考慮抽樣，收集數據，分析數據，做出決策，并能進行有效的交流、評價與改進。

例5.（2005年遼寧省錦州市中考題）某校為了推動信息技術的發展，舉行了電腦設計作品比賽，各班派學生代表參加，現將所有比賽成績(得分取整數，滿分為100分)進行處理然后分成五組，并繪制了頻數分布直方圖，請結合圖中提供的信息，解答下列問題：

　　(1)參加比賽學生的總人數是多少?

　　(2)80.5～90.5這一分數段的頻數、頻率是多少?

　　(3)這次比賽成績的中位數落在哪個分數段內?

　　(4)根據統計圖，請你也提出一個問題，并做出回答.

　　解：(1)　參賽學生總人數為4+12+20+10+6=52(人)；　　

　　　　(2)　80.5-90.5這一分數段的頻數為10，頻率是；　　

　　　　(3)　這次比賽成績的中位數落在70.5-80.5這一分數段內；

　　　  (4)　答案不惟一，只要合理，就可給分.提問題舉例：

　　　　　 　①這次競賽成績的眾數落在哪一個分數段內？

　　　　　　　答：眾數落在70.5-80.5這一分數段內；　　

　　　　　　②90.5-100.5分數段內的學生與50.5-60.5分數段內的學生哪一個多？

　　　　　　 答：在90.5-100.5分數段內的學生多；

　　　　　 ③若規定90分以上(不含90分)為優秀，則此次考試的優秀率為多少？

　　　　　　　答：.

六、 建立幾何模型

幾何應用題內容豐富，諸如測量、取料、剪裁、方案設計、美化設計等等。解答此類問題的一般方法是認真分析題意，把實際問題進行抽象轉化為幾何問題，進而運用數學知識求解。

例6．（2004年淄博市中考題）在日常生活中，我們經常看到一些窗戶上安裝著遮陽蓬，如圖（1）.現在要為一個面向正南的窗戶設計安裝一個遮陽蓬，已知該地區冬天正午太陽最低時，光線與水平線的夾角為34°；夏天正午太陽最高時，光線與水平線的夾角為76°.

把圖①畫成圖②，其中AB表示窗戶的高，BCD表示直角形遮陽蓬.

⑴遮陽蓬BCD怎樣設計，才能正好在冬天正午太陽最低時光線最大限度地射入室內而夏天正午太陽最高時光線剛好不射入室內？請在圖③中畫圖表示；

⑵已知AB＝150cm，在⑴的條件下，求出BC，CD的長度（精確到1cm）.

解：（1）如圖.

　　（2）如圖，設BC＝x，CD＝y.

　　　　在Rt△ADC和Rt△DBC中，

　　　　由題意，得

　　　　把②代入①，得

　　　　　　　　，

　　　　　　　　(cm)，

　　　　　　　　(cm).

　　　　答：BC、CD的長度分別約為30cm、45cm。

七、建立線性規劃模型

　 近年來，中考試題中開始出現線性規劃問題。所謂線性規劃，是指求線性函數在線性(不等式或等式)約束下達最(小或大)值的問題。線性規劃廣泛應用于工農業、軍事、交通運輸、決策管理與規劃、科學實驗等領域。

例7．（2004年山東省煙臺市）先閱讀下面的材料，然后解答問題：

在一條直線上有依次排列的n（n＞1）臺機床在工作，我們要設置零件供應站P，使這n臺機床到供應站P的距離總和最小，要解決這個問題，先退到比較簡單的情形：

如圖①，如果直線上有2臺機床時，很明顯設在A₁和A₂之間的任何地方都行，因為甲和乙走的距離之和等于A₁到A₂的距離.

如圖②，如果直線上有3臺機床時，不難判斷，供應站設在中間一臺機床A₂處最合適，因為如果P放在A₂處，甲乙和丙所走的距離之和恰好為A₁到A₃的距離，而如果把P放到別處，例如D處，那么甲和丙所走的距離之和仍是A₁到A₃的距離，可是乙還得走從A₂到D的這一段，在是多出來的，一次P放在A₂處是最佳選擇.

不難知道，如果直線上有4臺機床，P應設在第2臺與第3臺之間的任何地方；有5臺機床，P應設在第3臺的位置.

問題⑴：有n臺機床時，P應設置在何處？

問題⑵：根據問題⑴的結論,求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值.

解：⑴當n為偶數時，P應設在第臺和（）臺之間的任何地方

      當n為奇數時，p應設在第臺的位置

   ⑵根據絕對值的幾何意義，求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值就是在數軸上找出表示x的點，使它到表示1，2，…，617各點的距離之和最小，根據問題1的結論，當x＝309時，原式的值最小

最小值是：︱309－1︱+︱309－2︱+︱309－3︱+…+︱309－308︱+0+︱309－310︱+︱309－311︱+…+︱309－311︱＋+︱309－616︱+︱309－617︱

＝308＋307＋306＋…＋1＋1＋2＋…＋308＝308×309＝95 172

總之，這類問題透視熱點，力求創新，將是今后中考命題的趨勢。希望同學們在日常的學習過程中，掌握建模的方法、規律，切實提高自己解決實際問題的能力。