用絕對值的幾何意義解題

大家知道，|a|的幾何意義是：數軸上表示a的點到原點的距離；|a－b|的幾何意義是：數軸上表示數a、b的兩點的距離．對于某些問題用絕對值的幾何意義來解，直觀簡捷，事半功倍．

一、求代數式的最值

    例1 已知a是有理數，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.

解：由絕對值的幾何意義知，| a－2007|+| a－2008|表示數軸上的一點到表示數2007和2008兩點的距離的和，要使和最小，則這點必在2007～2008之間（包括這兩個端點）取值（如圖1所示），故| a－2007|+| a－2008|的最小值為1.   

    例2  |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．

解：把數軸上表示x的點記為P．由絕對值的幾何意義知，|x－2|－| x－5|表示數軸上的一點到表示數2和5兩點的距離的差，當P點在2的左邊時，其差恒為－3；當P點在5的右邊時，其差恒為3；當P點在2～5之間（包括這兩個端點）時，其差在－3～3之間（包括這兩個端點）（如圖2所示），因此，|x－2|－| x－5|的最大值和最小值分別為3和－3．

二、解絕對值方程

    例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解為__________．

    解：把數軸上表示x的點記為P，由絕對值的幾何意義知，當－2≤x≤1時，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3，所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，則點P必在－2的左邊或1的右邊，且到表示數－2或1的點的距離均為個單位（如圖3所示），故方程|x－1|+|x＋2|＝4的解為：

x ＝－2－＝－，x ＝ 1+＝ ．

三、求字母的取值范

例4         若 |x+1|+|2－x|＝3，則x的取值范圍是________．

解：由絕對值的幾何意義知，|x+1|+|x－2|的最小值為3，此時x在－1～2之間（包括兩端點）取值（如圖4所示），故x的取值范圍是－1≤x≤2．

例5         對于任意數x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，則a的取值范圍是___________．

解：由絕對值的幾何意義知，|x＋2|+|x－4|的最小值為6，而對于任意數x，|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，所以a的最值范圍是a＜6．

    四、解不等式

例6         不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．

解：由絕對值的幾何意義知，|x＋2|+|x－3|的最小值為5，此時x在－2～3之間（包括兩端點）取值，若|x＋2|+|x－3|＞5成立，則x必在－2的左邊或3的右邊取值（如圖5所示），故原不等式的解集為x＜－2或x＞3．

五、判斷方程根的個數

例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（   ）個解．

A.．4； B． 3；   C． 2；   D．1

解：當x在－99～－1之間（包括這兩個端點）取值時，由絕對值的幾何意義知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此時，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996時，x必在－99～－1之外取值，故方程有2個解，選（C）．

六、綜合應用

例8（第15屆江蘇省競賽題，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值與最小值．

解：原方程變形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，

∵ |x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，

而|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1|＝9，

∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，

∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，

故x+ y的最大值與最小值分別為6和－3．