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題型：給出一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)的余數(shù)，反求這個(gè)數(shù)。此類題型是以最小公倍作周期，即所選取的數(shù)加上除數(shù)的最小公倍數(shù)的任意整數(shù)倍。一、余同加余：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)相同， 此時(shí)反求的這個(gè)數(shù)，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)，加上這個(gè)相同的余數(shù)，稱為：“余同加余”。 例：“一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因?yàn)橛鄶?shù)都是1，所以取+1，表示為60n+1。 二、差同減差：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)，與除數(shù)的差相同， 此時(shí)反求的這個(gè)數(shù)，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)，減去這個(gè)相同的差數(shù)，稱為：“差同減差”。例：“一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因?yàn)?-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示為60n-3。三、和同加和：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)，與除數(shù)的和相同， 此時(shí)反求的這個(gè)數(shù)，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)，加上這個(gè)相同的和數(shù)，稱為：“和同加和”。例：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因?yàn)?+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示為60n+7。四、逐步滿足法：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)不同，和不同，差也不同，這類問題只能用逐步滿足法。 例一個(gè)數(shù)除以7余3，除以3余2，這道題余數(shù)不同，和不同，差也不同，只能用逐步滿足法，也就是逐一滿足條件，首先找出符合題目中所有條件的最小數(shù)字，根據(jù)除以7余3可將該數(shù)表達(dá)為7n+3的形式，當(dāng)n=2時(shí)符合第二個(gè)條件，所以滿足條件的最小數(shù)為17，則該數(shù)的表達(dá)式為這個(gè)最小數(shù)加上除數(shù)的公倍數(shù)，即17+21n。 例題解析 1、某數(shù)被3除余2，被5除余4，被7除余6，這個(gè)數(shù)最小是多少？ 解：3-2=5-4=7-6=1 即是求3、5、7的最小公倍數(shù)少1的數(shù)。3、5、7的最小公倍數(shù)是105，則這個(gè)數(shù)最小是： 105-1=104。 （注：適合條件的數(shù)的最終表達(dá)式是105n-1） 2、一個(gè)自然數(shù)除以4余2，除以5余3，除以6余4，這個(gè)數(shù)最小是多少？ 解：4-2=2，5-3=2，5-3=2 4、5、6的最小公倍數(shù)是60，則這個(gè)數(shù)最小是：60-2=58。 （注：適合條件的數(shù)的最終表達(dá)式為：60n-2） 3、一個(gè)自然數(shù)被5除余2，被7除余4，被9除余4，這個(gè)數(shù)最小是多少？ 解：5-2=3，7-4=3，則這個(gè)數(shù)是5和7的最小公倍數(shù)減3，即：35n-3（n=1，2，3……），當(dāng)n=2時(shí)，35n-3=67，滿足被9除余4,則這個(gè)最小數(shù)是67。 （注：適合條件的數(shù)的最終表達(dá)式為：67加5、7、9的公倍數(shù)，即315n+67） 4、 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求適合這些條件的最小的數(shù)。 解：除以3余2，除以7余2，這個(gè)數(shù)是3和7的最小公倍數(shù)加2,即21n+2(n=1,2,3,.......)當(dāng)n=1時(shí)，21n+2=23,滿足除以5余3。則適合這些條件的最小的數(shù)是23。 （注：適合條件的數(shù)的最終表達(dá)式為：23加3、5、7的公倍數(shù)，即105n+23） 5、一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余4，求適合這些條件的最小的數(shù)。 解：除以3余2，除以5余2，這個(gè)數(shù)是3和5的最小公倍數(shù)加2,即：15n+2(n=1,2,3,.......)當(dāng)n=2時(shí)，15n+3=32滿足除以7余4，則適合這些條件的最小的數(shù)是32。 （注：適合條件的數(shù)的最終表達(dá)式為：32加3、5、7的公倍數(shù)，即105n+32） 6、一個(gè)數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合這些條件的最小的數(shù)。 解：5–3=2,6–4=2,則這個(gè)數(shù)是5和6的最小公倍數(shù)減2,即：30n–2(n=1,2,3,.......),當(dāng)n=5時(shí), 30n–2=148,滿足條件。則適合這些條件的最小的數(shù)是148。 （注：適合條件的數(shù)的最終表達(dá)式為：148加5、6、7的公倍數(shù)，即210n+148） 7、一個(gè)數(shù)除以3余1，除以5余2，除以7余4，除以13余6，這個(gè)數(shù)最小是多少？ 解：由題意知，滿足除以5余2，除以7余4的數(shù)為35n-3(n=1、2、3……）當(dāng)n=2，35n-3=67，滿足除以3余1，則滿足除以5余2，除以7余4，除以3余1的數(shù)是67加上3、5、7的公倍數(shù)，即: 105n+67,當(dāng)n=4時(shí)，105n+67=487,滿足所有條件。 8、 我國古代算書上有一道韓信點(diǎn)兵的算題：衛(wèi)兵一隊(duì)列成五行縱隊(duì)，末行一人；列成六行縱隊(duì)末行五人；列成七行縱隊(duì)，末行四人；列成十一行縱隊(duì)，末行十人。求兵數(shù)。 解：根據(jù)題意，人數(shù)除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，根據(jù)除以6余5和除以11余10知，人數(shù)可表示為：66n-1。當(dāng)n=4時(shí)，66n-1=263，滿足除以7余4。則滿足除以6余5，除以7余4，除以11余10的數(shù)為6、7、11的公倍數(shù)加263。即：462n+263。 當(dāng)n=4時(shí)，462n+263=2111，滿足全部題意。 9、所謂韓信點(diǎn)兵是指傳說漢朝大將韓信用一種特殊方法清點(diǎn)士兵的人數(shù)。他的方法是：讓士兵先列成三列縱隊(duì)(每行三人)，再列成五列縱隊(duì)(每行五人)，最后列成七列縱隊(duì) (每行七人)。他只要知道這隊(duì)士兵大約的人數(shù)，就可以根據(jù)這三次列隊(duì)排在最后1行的士兵是幾個(gè)人，而推算出這隊(duì)士兵的準(zhǔn)確人數(shù)。韓信當(dāng)時(shí)看到的三次列隊(duì)，最后一行的士兵人數(shù)分別是2人、2人、4人，并知道這隊(duì)士兵約在三四百人之間，你能很快推算出這隊(duì)士兵的人數(shù)嗎 解：根據(jù)已知條件可知人數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余4，根據(jù)前兩個(gè)條件可知人數(shù)可首先表示成15n+2，當(dāng)n=2時(shí)，滿足除以7余4，所以滿足所有條件的最小數(shù)為32，人數(shù)的最終表達(dá)式為32加3、5、7的公倍數(shù)，即32+105n。又已知總?cè)藬?shù)在300到400之間，所以當(dāng)n=3時(shí)，總數(shù)為32+105×3=347。 |
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