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－1－ 微積分（Calculus）是微分學（Differentiation）和積分學（Integration）的總稱，微分學就是‘無線細分’，積分學就是‘無限求和’，無限就是極限，微積分的基礎就是極限的思想。微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎上的，主要內(nèi)容包括極限、連續(xù)、可微和重積分，最重要的思想就是“微元”和“無限逼近”。 微積分主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數(shù)的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。 到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。 第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。 微分應用包括極端速度、加速度、曲線斜率、最優(yōu)化等。積分應用包括面積、體積、弧長、質(zhì)心、做功、壓力。更高級的應用包括冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)等。 恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里?！庇辛宋⒎e分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為。宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律的所包含范圍內(nèi)。這是人類認識史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學意義，而且具有深遠的社會影響。它強有力地證明了宇宙的數(shù)學設計，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學。一場空前巨大的、席卷近代世界的科xy動開始了。毫無疑問，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學的開端。 微積分中最重要的概念是“極限”。微商（即導數(shù)）是一種極限。定積分也是一種極限。 求曲線的切線（微分的導數(shù)問題），依賴于縱坐標的差值與橫坐標的差值，當這些差值變成無限小時之比；而求曲線下的面積（積分問題），則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標之和（亦即寬度為無限小的矩形面積之和），并看到了這兩類問題的互逆性，萊布尼茨在給洛必達的一封信中總結說：“求切線不過是求差，求積分不過是求和。 導數(shù)是無窮小之比，積分是無窮小之和。 導數(shù)的定義是差商的極限，作為它的對偶情形，考慮乘積之和就引入了定積分。 連續(xù)函數(shù)的定積分之值等于它的任意一個原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量，即牛頓-萊布尼茨公式，它建立起連續(xù)函數(shù)的定積分與其原函數(shù)之間的一種關系，它提示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，也為積分計算找到了一條捷徑。 微積分就是關于瞬時變化率的數(shù)學。是指某個特定的量在瞬時變化得有多快。積分則相反，在給定某個量的變化率，通過積分則得到這個量本身。 代數(shù)方程與一個未知數(shù)的各次冪有關。微分方程則更高級，與一個未知函數(shù)的各階導數(shù)有關。牛頓的偉大發(fā)現(xiàn)在于，自然規(guī)律并不是通過某些量的規(guī)律性，而是通過它們的導數(shù)之間的關系來呈現(xiàn)。自然法則則用微積分的語言來記錄；重要的不是物理量的值，而是它們的變化率。這是很深刻的發(fā)現(xiàn)，它引發(fā)了一場革命，或多或少的導致了現(xiàn)代科學的誕生。 －2－ 在運動學中，平均速度等于通過的距離除以所花費的時間，但是當間隔的時間趨于零，也就是瞬時速度時，則無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數(shù)，得用求導的方法計算。也就是說，一個函數(shù)的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數(shù)。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化；當時間趨于某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數(shù)。 導數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率。 導數(shù)就是關于函數(shù)對于自變量的變化率，從幾何上看，變化率就是函數(shù)f(x)圖像上x處的切線斜率。它可以通過求割線的斜率來逼近。 微分學研究的是一個函數(shù)的導數(shù)的定義，性質(zhì)和應用。求導的過程被稱為微分。給定一個函數(shù)和定義域內(nèi)的一個點，在那個點的導數(shù)描述了該函數(shù)在那一點附近的表現(xiàn)。通過找出一個函數(shù)定義域內(nèi)每一點的導數(shù)，可以生成一個新的函數(shù)，叫做原函數(shù)的導函數(shù)，或者導數(shù)。在數(shù)學術語中，導數(shù)是輸入一個函數(shù)，輸出另一個函數(shù)的線性算子。這比初等代數(shù)里的過程更抽象一些，初等代數(shù)里的函數(shù)常常是輸入一個數(shù)，并輸出另一個數(shù)。 微分是函數(shù)增量相對于自變量在某一點的增量的近似求法。函數(shù)在某一點的微分就是函數(shù)在該點的增量的線性主部。 微分學的核心是斜率和切線的概念。一個是代數(shù)的概念，一個是幾何的概念。 我們先從斜率開始討論，假設在坐標平面內(nèi)有一條直線，我們分別研究x坐標和y坐標，但是研究x和y是如何連帶變化的通常更有益。例如，如果x增加4個單位，那么相應的y值如何變化呢？能夠想到的是這個答案與問題中的直線的坡度有關，在下圖中，左邊的直線逐漸上升，所以坐標增加4個單位（即水平軸上增加4個單位）導致y坐標產(chǎn)生較小的變化（即垂直變化非常小），但是對于右邊傾斜較大的直線來說，x增加4個單位則導致y產(chǎn)生較大的上升。 用數(shù)學的語言描述這一概念，我們定義直線的斜率為： 如果一條直線的斜率是2/5,那么當x增加5個單位時，y會增加2個單位，緩緩上升。但如果斜率是5/2，則表明當x增加2個單位時，y整整增加了5個單位，此時攀升速度相當快。 通過點(x1,y1)和點(x2,y2)的直線的斜率的定義： 如何確定曲線的斜率呢？如y=4x^2 2x 9，顯然，整個拋物線沒有固定的斜率，每一點的斜率都不同。如何確定點P0(2,29) 斜率呢？從圖上看,在點P0畫出這個拋物線的切線，切線的斜率就是拋物線的點P0處的斜率。 但如何求切線的斜率呢，因為斜率的定義需要直線上的兩個點來計算，現(xiàn)在只有P0點而已，微分學給出了繞過這一障礙的方法，那就是間接地逼近這條切線的斜率，這是一條絕妙的進攻路線。 我們需要求出的是曲線在x=2處的斜率，首先我們考慮：選取靠近x=2處的一個點，先選取x=5這一個點P(5,119)，兩點PP0連成了一條割線，用割線的斜率來近似點P0的切線的斜率。
有一個顯然的趨勢，選取點越靠近P0點(x=2)，對應的割線也旋轉著更加靠近這條切線。 這樣，需要有一個一般的方法去求ax^2 bx c上任意點P0(x0,y0)處的斜率公式：選取一個鄰近點P(x,y)，x=x0 h;
曲線的切線斜率是當h趨近于0時相應割線斜率的極限，這個極限稱為導數(shù)，求導數(shù)的過程稱為微分。 微分學的目標就是發(fā)展更一般的公式。我們肯定不想局限于處理拋物線。使用與上面的過程類似的思路，數(shù)學家從一般函數(shù)y=f(x)開始，求其上任意點（x,y）處的切線的斜率。同上，我們在這條曲線上選擇一個鄰近點，坐標是(x h,f(x h)),接下來，確定割線的斜率： 最后求當h→0時，上面這個商的極限值。 萊布尼茨把導數(shù)記為: 后來約瑟夫﹒路易﹒拉格朗日(1736-1813)引入更強大的記法，使用符號f’(x)表示f(x)的導數(shù)。
求曲線的極大值和極小值的關鍵是我們前面討論的斜率，在小山的頂部或狹谷的底部，曲線的切線是水平的，即是一條水平直線，它的斜率是0.用代數(shù)的語言表示，求函數(shù)的極值，可以轉換為求函數(shù)的導數(shù)等于0的方程解。 我們可以從一個實例去充分領略微分學的風范。 意大利數(shù)學家吉羅拉莫﹒卡爾達諾（1501-1576）有一個論斷：不存在兩個實數(shù)（設為x,y）滿足其和等于10且其積等于40；利用微分學，我們很容易證明他的結論。 f(x)=xy=x(10-x)=-x*x 10x,求其極大值。 f’(x)=-2x 10,當x=5時，f’(x)=0,xy=25,和等于10的兩個實數(shù)有極大積25. 如果討論周長為20的幾何體，哪一類及相應參數(shù)設計如何達到面積最大？圓，面積可達100/pi. 微分的概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去挖替代曲線，它的直接應用就是函數(shù)的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，同時又表示一種與求導密切相關的運算。 微分的思路就是一個線性近似的觀念，利用幾何的語言就是在函數(shù)曲線的局部，用直線代替曲線，則線性函數(shù)總是比較容易計算的，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計算結果作為本來函數(shù)的數(shù)值近似的值，這就是利用微分方法進行近似計算的基本思想。 函數(shù)與其導數(shù)是兩個不同的函數(shù)，而導數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征，如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體特征，就需要在導數(shù)和函數(shù)之間建立起聯(lián)系。微分中值定理（包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西定理、泰勒定理）是溝通導數(shù)值與函數(shù)值的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質(zhì)去推斷函數(shù)整體性質(zhì)的工具。 利用中值定理通過導數(shù)去研究函數(shù)的形態(tài)，如判斷函數(shù)的上升、下降、極限值、凹形、凸形和拐點等重要形態(tài)，從而把握住函數(shù)圖像的各種幾何特性。 中值定理刻畫了函數(shù)在區(qū)間上的增量與函數(shù)在敬意內(nèi)的某一點的導數(shù)的關系。 在數(shù)學中，微分是對函數(shù)在局部變化率的一種線性描述，微分可以近似地描述當函數(shù)自變量的取值作足夠小的改變時，函數(shù)的值是怎樣改變的。 －3－ 微分學研究的是曲線的斜率，而積分學描述的是曲線下的面積；對于圓和梯形等不同圖形的面積我們需要應用不同的公式，相對而言，積分采用更一般的視點，尋找一個統(tǒng)一的方法求任意函數(shù)界定的面積。 如前面微分學的思路，由割線的斜率去逼近目標點的切線的斜率，曲線下面積的求法的思路也可從矩形的面積累積：構造的矩形的高可由t的值，通過y=f(t)求得，如下圖，曲線下面積≈矩形面積之和= f(t1)△t1 f(t2)△t2 f(t3)△t3.顯然，這個面積只是粗略地近似。如何改進它呢？合適的技巧就是更多的細分：利用極限的思路，不要止于一千或一百萬個矩形，讓它們的數(shù)量沒有限制地增加，甚至到了它們的寬度逼近0.
我們可以考慮先從一個最簡單的例子開始，求直線y=f(t)=2t下從t=0到t=1的面積，如下圖所示。它的面積借助三角形的知識，可知面積是1.
數(shù)學家的目標就是要尋求關于F的某類公式，這樣使得我們只需把x代入到F里就可以確定這個面積。
根據(jù)F的定義，我們知道F(x h)是由曲線y=f(t)在t=0到t=x h之間所圍成的面積。因此F(x h)-F(x)是它們的面積之差。 我們連接(x,f(x))和(x h,f(x h))兩點，使用梯形面積近似求得不規(guī)則帶的面積：1/2h[(f(x) f(x h))]，F(xiàn)(x h)-F(x)=不規(guī)則帶的面積≈梯形面積=1/2h[f(x) f(x h)]
變上限積分
定積分的概念的產(chǎn)生來源于計算平面上曲邊形的面積，解決的基本思路是用有限代替無限。 不定積分的概念是為了解決求導和微分的逆運算而提出的。 －4－ 4.1 正方形鐵皮， 邊長為a,截去四角，做成一個無蓋的盒子，怎樣截角可能做到盒子體積最大？
4.2 一張A4紙大小的鐵皮，截去四角，做成一個無蓋的盒子，怎樣截角可能做到盒子容積最大？
4.3 任意長寬的平面w*L
－5－ 5.1 求切線不過是求差，求積分不過是求和 ↓
5.3 割線斜率的極限 ↓ 5.4 斜率(間接地逼近) ↓ 5.5 求導過程 ↓ 5.6 牛頓方法 ↓ 5.7 基本求導和積分公式 ↓ 5.8 面積函數(shù)的導數(shù) ↓ 5.9 面積函數(shù)的導數(shù)是原曲線函數(shù)(面積近似于梯形) ↓ 5.10 面積函數(shù)與曲線函數(shù) ↓ 5.11 微積分基本定理的啟發(fā)式推導 ↓
The End |
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但這只是一個粗略的近似，選取的P點的x軸值x，如果｜x-2|能盡可能小，則越精確近似點P0切線的斜率。所以要考慮讓點沿著拋物線逐步更加接近P0去計算拋物線上的點。（相連的割線形成的斜率。）
曲線4x^2 2x 9
=2ax a(0) b=2ax b
從這個一般定義開始，我們可以給出許多函數(shù)的導數(shù)，當微分x的冪函數(shù)，即求形如xn的函數(shù)的導數(shù)時，一個非常優(yōu)美的模式出現(xiàn)了，即
這樣做以后，我們將定義曲線下的面積等于：
