這次再版，除了將原文的錯誤之處改正過來外，特別從科學月刊的“益智益囊集”專欄中選出四篇與微積分有關系的文章做為本書的附錄。 在古時能求得球體的體積是被視為了不起的成就。它的求法和積分學的發展有密切的關系，附錄一〈優雅美麗的球體〉所談的就是祖沖之與阿基米德在這方面的成就。 無窮是微積分最需要澄清的觀念，為了它微積分發展了計算的技巧。事實上，數學只用數學的方法解釋無窮，而時空中的無窮則是千百年來哲學家、科學家談論不休的焦點。附錄二〈Achillies的腳跟〉提供這方面談論的一些資料。 微積分的基礎在于實數系統的建構；人類認識實數有一段漫長而曲折的歷史，附錄三〈無法理解的數〉及附錄四〈實在而具體的數〉是這方面的參考資料。 曹亮吉于臺大數學系73年11月
要學好一門學科，總希望弄清楚它的來龍去脈。微積分是人類文化史上的一大成就。其歷史更是每個現代人該具有的基本常識。可惜一般微積分課本言不及此，或浮光掠影而不能深入。專論微積分歷史的書本又往往深入而不淺出。使讀者迷失于細節發展而昧于主流變化。 這本小冊子適合大一學生之所需，可做為學習微積分的前瞻與回顧，希望借此而對微積分有更深刻的認識。為此，我們只以解析幾何的知識為本，鳥瞰微積分歷史。并附以習題。以收深淺適宜，反覆咀嚼之效。 曹亮吉于臺大數學系69年夏天 寫作主要參考資料
近幾世紀以來，科學技術非常發達，究其原因，數學要居首功。舉凡物理、天文、化學、工程、地質、生物等等，甚至社會科學所產生的許多問題，往往要依靠數學工具來解決，而數學工具之中尤以微積分學最為犀利、最具功效。 微積分是微分和積分的合稱。微分是用來研究變化率，而積分是用來求積的（即算曲線長、面積、體積）。但就像乘法和除法一樣，微分和積分兩者之間卻有互為反運算的密切關系，所以必須合起來一起研究，因而合稱為微積分。 本文的主要目的是想從歷史的眼光來探討微分、積分觀念的由來，技巧的演進，微、積分的合流，微積分的用途，其發展中所遭遇到的困難及解決的途徑。 歷史上，積分的觀念比微分的要發展得早，所以我們先從積分談起
人類進入了農業社會后，因為丈量土地、建谷倉、筑宮室等等的需要，求積的方法就日形重要起來。 首先，人類可能用一日的行程、一頭牛一天可耕過的土地等方法來量長度、算面積。但隨著精確度的要求，長度及面積都必須要有固定的單位。 通常面積都是以某種正方形為單位的（譬如一平方公尺）。由此出發逐步可得一般正方形的面積為一邊的平方，矩形的面積為長乘寬，平行四邊形的面積為底乘高，而三角形的面積則為底乘高之半。因多邊形可分劃成三角形之和，所以其面積也可求得。除了這些圖形之外，最簡單、最吸引人也最實用的可算是圓形了。那么圓形的面積怎么求得？在此我們觸到了積分學的源頭了。 “圓形的面積是多少？”“圓周率乘半徑的平方。”“圓周率是什么？”“圓周與直徑之比。”“比值是多少？”“3.14”“再精確點！”“3.1416”“再精確點!!”“3.1416……”“……是什么？”“？” 圓周率通常以希臘字母π 來表。大家都知道求圓面積就等于求圓周率。那么圓周率到底是多少？怎樣求得它的近似值呢？ 據史籍所載，四千年前的巴比倫人用
阿基米德的方法是由圓內接正六邊形出發，先計算其周長，做為圓周長的一個近似值，然后再由此周長計算內接正十二邊形的周長，做為圓周長更正確的近似值。如此邊數逐次倍增。則所得周長雖仍然小于圓周長，但卻愈接近圓周長。一般而言，單位圓內接正n邊形和正2 n邊形兩者周長S n和S 2 n之間，有一代數關系 劉徽則用正多邊形的面積來逼近圓面積，當邊數增加到3072時就得到他的近似值。這種逼近方法原理雖然簡單，但計算時要不斷開平方，過程非常繁復。南北朝的祖沖之（429～500）居然算到16384邊，而得知圓周率介于3.1415926與3.1415927之間。 這種圓面積的算法雖然繁復，但其逼近的原理卻發展成了積分學。（關于圓周率，可參考《科學月刊》第十卷第八、九、十期(1979)的“益智益囊集”或Petr Beckmann 原著，姜家齊、朱建正、林聰源合譯的《π的故事》，凡異出版社。）
窮盡法雖然創自尤多緒斯。但大大發揚光大的就要數阿基米德了。阿基米德除了求圓周率的近似值外，還巧用窮盡法求得許多面積和體積。現在我們來看他如何求得拋物線的弓形面積。
如圖一，AB為拋物線的一割線，自其中點M作直徑（平行于拋物線軸的直線叫做拋物線的直徑）交拋物線于C，則阿基米德證明了弓形ACB的面積要等于
首先，他證明了弓形ACB可以被一連串的三角形所“窮盡”。這一連串三角形的作法如下：從AC、BC的中點K、L各作直徑，分別交拋物線于P、Q，得三角形
第二步要證明這些小三角形的面積和
這不就得證了？但慢著，上面的計算用了無窮等比級數的和公式 而阿基米德時代的人們只會求有限項等比級數的和。所以為了證明弓形的面積確實等于 ，他用窮盡法中典型的間接證法做了第三步的討論： 由等比級數的和公式知
假如弓形的面積A大于
但由(1)式，得
比較(2)、(3)兩式，得 當然，實際上阿基米德是求得了無窮等比級數的和，但因為他沒有明確的極限觀念，不能由
的等比級數和公式，一下子跳到
的結論。（即愈加愈多時，
除了拋??物線的弓形面積外，阿基米德還用窮盡法求得很多面積和體積（譬如球面的面積和球體的體積等）。因為情況的不同，阿基米德用的窮盡辦法也不一樣，譬如在窮盡拋物線弓形面積時，他就利用了不少拋物線所特有的性質。所以在求各種面積（體積）時，窮盡的原理雖然相同，其方法卻未能統一，這是窮盡法的致命傷。阿基米德之后，后繼無人，將近兩千年之間，求積的方法居然沒有什么進步。
其實，阿基米德另有方法來補窮盡法之不足。為了知道某一面積該是多少，他把該面積想成是由無窮線條所組成（見圖三AB），然后技巧地應用杠桿原理求得了面積。但他認為這種方法不夠嚴密，所以知道了面積之后，再用傳統的窮盡法加以證明。
用現在積分學的眼光來看，他用杠桿原理求面積的方法并沒有什么不嚴密之處；只是當時對“無窮”及“線條”沒有明確的觀念罷了。 阿基米德把如何用杠桿原理求積的方法寫在一部叫做《方法》（The Method）的書上。可惜這本書消失了兩千一百年之久，直到1906年才重新出現。但求積歷史發展的結果，卻與阿基米德把面積看成由無窮個線條所組成的看法吻合。一旦大家弄清楚了“無窮”個“線條”（寬為“無窮小”的矩形）之“和”，也就是積分學成熟的時候。 杠桿原理和求積扯得上關系？這是杠桿原理開山祖師阿基米德的一項杰作，詳情請參考附錄一。（或參閱康明昌先生的《微積分入門》，七十一年故鄉出版社，第二章第一節。）
阿基米德之后，后繼無人，直到文藝復興時代，古希臘之學逐漸受西方重視，科學漸興，求積問題才引起很多人的探討。 為了求得更多的面（體）積，大家放松對嚴謹的要求，幾乎舍棄了阿基米德步步為營的精神。這之中經得起考驗而日后成為積分學主要思潮的有兩種方法，其一就是把面（體）積看成由無窮線條（薄片）所組成的無窮小方法；另外一個是經過改良的窮盡法──動態窮盡法。第一種方法訴諸直觀，雖然論證欠缺嚴謹，卻予積分學的發展很大的動力；第二種則論證較嚴謹，終于使求積方法有了深厚的數學基礎。 在這一節里，我們光看無窮小與求積的關系。
無窮小的觀念起源很早，到文藝復興以后，用它求積的人很多，且看法、求法各有千秋，我們只能舉幾位代表性人物，如刻卜勒（J. Kep??ler, 1571～1630）、伽利略（Galileo Galilei, 1564～1642）及卡法里約利（B. Cavalieri, 1598～1647）等人。 刻卜勒認為圓是個無窮邊正多邊形，所以圓面積等于無窮個無窮小三角形的面積和。每一三角形的高為圓的半徑，而其無窮小的底邊則在圓周上。因為每一三角形的面積為
伽利略在討論等加速運動時，用無窮小的論證法證明時─速曲線下的面積就是距離，這是求積的應用跨出純粹求積范圍的一大步。他的想法如下：設一物的運行速度v和時間t的關系為v = 32 t，則在t - v坐標中，該關系由一直線OB所表（見圖五）。在任一時刻A '的速度等于A ' B '長，所以在此時刻所走的距離為A ' B '長乘以“無窮小”的時刻，即“線條A ' B '的面積”。當時間由O變到A時，線條A ' B'也逐次由O變到AB，所以總距離為諸線條A ' B '“面積”之和，也就是
速度是距離的變化率，而將速度函數“求積”則回到距離函數，這種求積與變化率的互逆關系，就是所謂的微積分基本定理。當然，那時候時機還未成熟，伽利略沒辦法有這么深刻的認識。 以嚴謹的眼光看無窮小方法，會發現它有種種的困難，譬如，什么是無窮小？無窮個無窮小的和又是什么意思？雖然很多人想辦法要把這些幾何觀念嚴密化，但一直沒有成功。直到最近經羅賓生（A. Robinson, 1918～1974）等人的努力，無窮小的觀念才有了數學基礎。但要深入了解無窮小的數學，卻需要有些邏輯學的訓練，一般人是否能經由此途徑學得微積分，還有待時間的考驗。 無窮小方法雖然身分一直不明，但若謹慎使用，用處也很大，所以深受數學家的歡迎，譬如，卡法里約利就用無窮小的方法推算出很多面積。但是許多人對其不嚴密性深感不安，而另謀發展途徑，其中最有成就的是下一節要談的動態窮盡法。
無窮小方法除了提供直觀看法外，還留下一條非常有用的卡氏原理(Cavalieri Principle)。卡氏原理不但是直觀的產物，而且是可用現代微積分學證明的一個定理。我們先用一個例子來說明卡氏原理的大意。如圖六，設
卡法里約利所提的原理可由下面兩段文字來表示。 一、如果兩立體具有同樣的高度，而且與底等高且平行于底面的截面積兩兩成固定的比值，則這兩個立體的體積比等于該固定的比值。 二、如果兩面積具有同樣的高度，而且與底等高且平行于底線的截線長兩兩成固定的比值，則這兩個面積的比等于該固定的比值。 可注意者，卡氏原理雖由直觀而得，但其內容卻不含任何曖昧字眼（如無窮小等）；用現代的眼光來看，它是個定理。反覆利用這個原理。卡氏證明了圓錐體的體積為同底等高圓柱體體積的三分之一。 不但西方有卡氏原理，中國也有，而且要早千年之久。南北朝時的祖沖之，就一再巧用這個原理，不用現代微積分技巧，就求得球體體積的公式（請參考附錄一）。卡氏原理也應該叫做祖氏原理！ 我們現在用這個原理來求橢圓的面積。
為了了解動態窮盡法。我們再舉拋物線的例子。 例：求拋物線y = x 2及兩直線y =0、x = b之間的面積。 由§2拋物線弓形面積可推得我們現在要求的面積等于
設B點的坐標為( b ,0)。將OB等分成n段，每段長
S n可以做為欲求面積??S的一個近似值。如果n愈變愈大，則由直觀可知S n愈來愈近于S。所以我們讓n趨向于無窮大，看S n能否趨近于一個定數。如果能，則此定數應該就是我們所要求的面積S。 我們可以用數學歸納法證明
所以
如果n愈變愈大，則
很明顯地，上面這種計算面積的方法也是一種窮盡法，但它和§2中所談的窮盡法卻有些不同。§2的方法，在作第n +1階段逼近時，把第n階段所得的面積固定不動，再在空隙中填進一些小面積，合起來作為第n +1階段的逼近。現在的方法并不把第n階段的近似面積固定，而是重新用比較瘦小的矩形和作n +1階段的逼近。因為用作逼近的矩形隨時在變動，所以稱為動態窮盡法。這種方法有很多特色： 一、隨著n的增加，每個矩形愈變愈瘦，漸漸趨近于線條，而終于能把面積窮盡，直觀上和無窮小方法的看法相當接近。 二、每一階段的逼近有一定的規則可尋，不像傳統的窮盡法要利用所給曲線的特殊性質。 三、每一階段的逼近只用有限個矩形，其面積和理論上可以算得，不像無窮小方法不知道如何嚴格處理無窮個無窮小的和。
窮盡法和無窮小方法最大的不同處，是前者每一階段都是我們能夠處理的有限項和，但我們又讓項數趨向于無窮大而取得極限值，所以它又能擔任無窮的角色，因此這種用極限的窮盡法是潛在的無窮法，而不是真正的無窮法。有了這些特色，動態窮盡法應用的范圍較廣，所得的結果也較令人信服。譬如y = x m（m為正整數）、
動態窮盡法也有它的困難處： 一、每一階段的逼近面積不一定可以用簡單的式子表得出來。 二、縱使表得出來，當n趨向于無窮大時，其極限值為何有時候也不容易求得，尤其當時對極限的觀念、求法都還在摸索階段。 三、“隨著n的增加，所得的逼近面積是否愈來愈接近所要求的面積？”也就是問“逼近面積能否窮盡原面積？”這個問題也沒辦法用嚴密的方法證明（指當時而言）。 動態窮盡法可以說開始于史蒂芬（S. Stevin, 1546～1620）的工作。（一說阿基米德就用過，待考。）他在算一物體的重心時，就曾經用許多瘦長的平行四邊形來逼近三角形。（重心的計算也可以用積分的方法！） 其后瓦略里奧（L. Valerio, 1552～1618）曾經提出：一面積如果由內逼近和由外逼近（譬如圓由內接正多邊形和外切正多邊形來逼近）的兩種逼近面積之差可以變得任意小（內外夾擊！），則內逼近或外逼??近的面積都會窮盡原面積。這種看法在觀念上算是解決了動態窮盡法的第三項困難，其技巧上的困難連同第二項困難則有待極限觀念、技巧的澄清。（即，何謂窮盡？）這個工作直到十九世紀，經柯西（A. Cauchy, 1789～1857）、維爾思垂斯（K. Weierstrass, 1815～1897）等人的努力，才獲得完全的解決。 為解決第一項困難，大家試著用更具彈性的逼近法，即每一階段的逼近并不要求把橫軸等分，而且第n階段也不一定要分為n線段，只要每一分段長隨著n變大而變小，終于趨近于0就可以了；此外線段上矩形的高度不一定要在曲線下（內逼近）或在曲線上（外逼近），只要在兩者之間就可以了。主要的目的，就是利用所給曲線的特性而作適當的橫軸分段，作適當高度的矩形，使所得的逼近面積容易計算。這就更顯得“動態”兩字的意義！現在我們習用的積分就是由動態窮盡法演變而來的。
現在再回到拋物線下的面積，看它由內、外兩方逼近的情形。如圖九，由外逼近諸矩形的面積和為
因外逼近T n與內逼近S n的差T n - S n（ 若把等分橫軸的方法用到曲線y = x 3下的面積時，則第n階段的內逼近面積和為
要把 這樣逐題解決絕不是辦法。那么有沒有“通吃”的辦法把曲線y = x m（m為正整數）下的面積問題一舉解決呢？有的，至少有兩種辦法，一種是不算 例：求曲線y = x m（m為正整數）下的面積。
解：固定0與1之間的一個數c（見圖十），費瑪把OB分成無窮段，其分段點的橫座標從B點往O點算各為 bc , bc 2 , bc 3 , …, bc k ,…。所以每一分段長并不相等，但成等比數列，愈接近原點線段長愈短。在這些分段上做內逼近矩形，得其面積和為
這個逼近面積當然和c值有關，所以我們用A ( c )來表。為了使每一分段的長度bc k- bc k +1（= bc k (1- c )）趨近于0，我們就讓c趨近于1，這樣A ( c )就應該趨近于所要求的面積。因為
所以當c趨近于1時，A ( c )的分子b m +1 c m趨近于b m +1，而分母
等式的第一項表曲線y = x m下及在橫座標0與b之間的面積，讀做函數x m在0與b之間的定積分。 值得注意的一點是，在A ( c )化成 費瑪的方法沒有所謂的第n階段逼近，因為對0與1之間的任何數c我們都可以做一次逼近，要點是最后讓c逐漸趨近于1。如果勉強要分階段，則第n階段時令 用同樣的方法，若m為任何大于-1的有理數，費瑪也求得
m = -1時的面積，則和對數函數有關，在此不做進一步討論。另外有一個和費瑪的方法類似，但只用有限個分段而能求得
十七世紀的前三分之二，可以說是微積分學的醞釀時期。那時候因為科學的進步，除了求積的問題外，數學家還考慮種種其他的問題，其中最重要的有： 一、由距離求速度及加速度；反之，由加速度求速度、求距離。 第四類問題起源較早，我們大致已經談過。值得補充的是，到十七世紀大家已經知道求曲線長或重心的問題，都可??化約成為求面積、體積的問題。 關于第一類問題的第二部分，我們已經談過伽利略的看法。他是對的：由速度函數求積就得到距離函數。 剩下求速度、切線及極大、極小的問題，就是我們這一節所要談的主題──微分學。 由于文明的推進，靜態事物的研究已經不能滿足人類的需要，動態的世界逼著科學家研究起速度來；從純幾何的觀點來看，數學家對任何曲線都要想辦法求其切線，而光學上的需要更促使科學家急著尋找作切線的方法；人總是想用最經濟的辦法做最高度的發揮，而描述自然界現象的函數，往往在其極值時有特殊的物理意義，這種種都使人關心起求極值的問題。
平均速度的觀念很容易使人接受，但（瞬間）速度的觀念則使人類奮斗良久，才弄得清楚。刻卜勒的行星運動定律、伽利略的落體運動定律、鐘擺、拋射體的運動等等，當時大家有興趣的問題都顯示運動常常不是等速的，所以（瞬間）速度的研究有其必要。最早的想法，瞬間速度就是“瞬間”的平均速度。但“瞬間”到底是多短呢？如果這一“瞬間”沒有長度，則在這一“瞬間”內距離沒有什么變化，所以
同樣地，當時作切線、求極值時都要訴諸無窮小方法。我們談積分的時候，說到無窮小的觀念雖然訴諸直觀，但其運算卻沒有嚴格的基礎，當時只能用一些巧妙的方法求得零星的結果。直到后來才知道用極限的觀念及技巧來代替無窮小，而做嚴格且有系統的處理。求速度、切線、極值這些微分學方面的歷史發展也是一樣，有無窮小的觀念，有巧妙的方法，有極限的方法。 大概說來，積分的觀念容易懂但計算難，而微分正好相反，難懂而易算。為了不使大家像前人一樣，陷入微分觀念的泥沼里，我們先用極限的方法弄清楚了微分的觀念后，再回過頭來看前人如何在泥沼中用巧妙的方法掙扎著。
不但在x =2可以求得速度，在任一時刻x = x 0，求速度的方法也是一樣：
這種求速度的方法不限于y和x間要有如y = x 2的特殊關系，只要y和x有任何關系y= f ( x )，我們都可以考慮在x 0附近的平均速度
既然求斜率及求速度的方法完全一樣，為了綜合也為了推廣，對任何函數y = f ( x)，都可以考慮平均變率 導數的一大應用就是決定函數的極大、極小值。把函數y = f ( x )用曲線表出（見圖十二），則過其極大值或極小值點的切線要平行于x軸。所以切線斜率要為0。因此滿足f '( x )=0的x 0，可能（但不一定）就是函數f ( x )取得極大或極小值的地方。
現在來對照一下，在沒極限觀念之前，大家是怎么求速度、切線及極大、極小值
刻卜勒最先注意到極值與變化率之間的關系。他在計算啤酒桶的體積時，想到了種種的極值問題。譬如，他曾證明內接于一定球內的圓柱體體積，要以直徑與高度之比為 例：設一線段長為a，將它分成兩段，以之作矩形的兩邊。問如何分法，使所得的矩形面積最大。 解一：（微分的方法）設兩段長各為x及a - x，則面積為f ( x )= ax - x 2。若x = x0時有極大值。則求導數 f '( x 0 )= a -2 x 0，令其為0而得a =2 x 0，即將原線段等分可得最大面積。（等周的諸矩形中以正方形的面積為最大。 解二：（費瑪的方法）設兩段為x 0及a - x 0時面積最大，則矩形面積為ax 0 - x 02。設E為無窮小量，以x 0 + E代替面積公式中的x 0，而令之與原式相等： a ( x 0+ E ) - ( x 0 + E ) 2 = ax 0 - x 0 2，化簡得 a 0 E = 2 x 0 E + E 2，除以E后得a=2 x 0 + E，丟掉無窮小量E，得a =2 x 0。 根據刻卜勒的觀察，當f ( x )近于極大值時，其變化率愈來愈小，所以費瑪認為在x0及其無窮小近鄰x 0 + E的f值應該相等，這是費瑪方法的關鍵處（妙著！）。得a=2 x 0 + E后，因E為無窮小，起不了作用，所以過河拆橋就把它丟了（又是一妙著！）。但在求得a =2 x 0 + E前要先以E去除，否則一下子把E丟掉（E =0）則什么都沒有了──還沒過河不能拆橋！ 仔細比較兩種解法，會發現解二其實就是解一：令x = x 0 + E，則 a ( x 0 + E )-(x 0 + E ) 2 = ax 0 - x 0 2就是f ( x )= f ??( x 0 )；化簡除以 E (= x - x 0 )后就得
費瑪的方法巧則巧矣，但就像積分中的無窮小方法一樣，有許多地方不能令人信服：把f ( x 0 + E )和f ( x 0 )相等及丟掉E時，就是認為E =0；但用E除等式時，則認為
最早的切線觀念，大概是研究圓而有的。早期的數學家認為切線就是只交曲線于一點的直線，而其求法則依曲線而有不同。有了解析幾??何，笛卡兒（R. Descartes, 1596～1650）想到用求重根的方法來求切線的方程式。但如果遇到復雜一點的曲線，則求重根的方法非常不好用，而且切線也不一定只交曲線于一點。另外有一種方法，就是把曲線看成一物體在水平及垂直兩方向有了速度而描出的軌跡，所以切線應該是水平及垂直兩速度向量的合向量。羅伯瓦（GP Roberval, 1602～1675）、托里拆利（E. Torricelli, 1608～1647）等人就用這種看法求得不少曲線的切線。但曲線怎么一定和運動有關呢？況且求速度的問題也和求切線的問題一樣，大家還在摸索之中。可是這種看法卻大受歡迎，日后且演變成牛頓的流數法──一種微分法。
費瑪求切線的方法如下：設PT為過P點的切線，交橫軸于T（見圖十三）。TQ稱為次切線(subtangent)。費瑪的方法就是想辦法求得TQ長，以之決定T點，由T點就可作切線了。設QQ 1 (= E )為TQ方向的無窮小增加量。因
在費瑪所考慮的曲線，上式右邊的分母都很容易提出E而與分子的E約掉，然后丟掉E（E =0），求得TQ的值。 仔細研究一下，就知道費瑪的方法和現在的極限求導數的方法相近：以P 1 R代替T1 R就是先以割線代替切線；丟掉E就是極限的方法。只是當時動態的極限觀念還待萌芽，只能以具有兩面性的無窮小量來代替了。 這時代求速度或求變化率時所遭遇到的困難和求極值、切線時所遭遇的一樣，大家都沒有明確的極限觀念來處理“瞬間”的問題，只能訴諸神秘的無窮小方法。其典型的技巧及改進的方向將在下一節談到
一般簡略的說法說：“微積分是牛頓（1642～1727）及萊布尼茲（G. Leibniz, 1646～1716）兩個人發明的。”這句話怎么講呢？在他們之前不是有許多人做了很多積分及微分的工作嗎？不錯。但是牛頓、萊布尼茲承繼了前人零碎的知識， 一、有系統地發展了微分的技巧， 如果把微積分看做一整體性的學問，則無疑地，牛頓與萊布尼茲是這門學問的催生者。我們固然不能否認前人的貢獻，但也得承認牛頓與萊布尼茲是促進微積分發展的第一大功臣
動態窮盡法雖然使求積進了一大步，可是繁復的步驟以及求和、求極限的困難，都限制了它的應用范圈。而微積分基本定理的發現，不但使看起來毫不相關的求積與求變化率緊密相連，而且使求積的方法有了革命性的突破。基本定理的要義之一，就是說求積是求變化率的反運算，所以會求變化率就能解決許多求積的問題，而微分學經有系統的發展后。求變化率的計算變成遠較求積簡單的一種運算。 在牛頓、萊布尼茲以前，對微分、積分最有貢獻的大概要算費瑪了，可惜他未能體會兩者之間的密切關系。而牛頓的老師巴婁（I. Barrow, 1630～1677）雖然知道兩者之間有互逆的關系，但他不能體會此種關系的意義，其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功，予西方數學非常深遠的影響，一般認為，唯有幾何的論證方法才是嚴格的，才是真正的數學，代數也不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費瑪倡導以代數的方法研究幾何的問題。這種態度才漸有轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心，而另一方面代數方法仍然未臻成熟，實數系統遲遲未能建立，所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能有有效的計算方法，如巴婁就是。牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點，發展了有效的微分方法，可是他的方法遲遲未敢發展。雖然他用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，但為了害怕時人的批評，在他1687年的巨著《Principia》中，卻把微積分的痕跡抹去，而仍以古典的幾何論證方式論述。
把微分學從求速度及作切線，轉變成求一般變化率的要首推牛頓。他的微分方法的演變，可分為三個階段，以他的三本有關微積分的書為代表。第一本《論分析》（De Analysi)，于1669年在其朋友間開始流傳，但直到1711年才出版。在《論分析》中，他用的方法和費瑪的類似，屬于無窮小方法。他假設某曲線y = f ( x )下的面積z和x的關系為z = ax m（m為分數）（見圖十四）。如果x增加了無窮小量o（這是牛頓用的符號，不是零），則面積增加了oy，所以z + oy = a ( x + o )m。右邊以二項級數展開得z + oy =
在這個過程中，牛頓不但給了有系統的微分方法，而且證明了求積可以從變化率著手──微積分基本定理。譬如令
牛頓的第二本書《流數法與無窮級數》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，成書于1671年，但直到1736年才出版。他認為“變數”（現代的用語）是隨時間而變動的，而不是由無窮小量所組成的。這種變數x , y ,……稱為“流”(fluent)，而其變化率
牛頓的第三本書《曲線求積法》(Tractatus de Quadratura Curvarum)，成書于1676年，但直到1704年才出版。在這本書中他的做法就是現代的極限方法，但他的極限觀念并不成熟，譬如他不以為極限值是個數，而認為是個“最后”的比值。 雖然牛頓引進了極限方法求變化率，但他并不是極限方法的熱心倡導者。做為自然科學家，他只要能有效地求得變化率，并不在乎求法的邏輯嚴謹。所以有時他用極限方法，有時又回到流數法；有時甚至忘了把流數
萊布尼茲的微分法是以微分式起家的。在他之前，許多人都利用類似§5圖十二中“三角形”PRP 1；P 1和T 1（或三角形PRT 1；P 1和T 1在無窮小微分法中總是被看成一點）的特有性質。萊布尼茲注意到求斜率實際上就是求“三角形”PRP 1的兩邊P 1 R及PR之比。這兩邊分別是y軸方向及x軸方向的無窮小變量，分別以dy及dx表之，而有斜率 因此，在萊布尼茲的著作中，dx、dy實際上還是脫離不了無窮小量的神秘色彩，這和現代先有斜率（導數）后有普通變量dx、dy的看法完全不同。無論是怎樣的看法，dx、dy都稱為微分式。 萊布尼茲怎樣處理dx和dy，而得到微分式的公式呢？首先，他考慮兩個變數x 1、x2，而求其乘積的微分式d ( x 1 x 2 )與dx 1、dx 2之間的關系。他猜了一陣子，最后給他猜對了：d ( x 1 x 2 ) = x 2 dx 1 + x 1 dx 2。（用現代的微分式觀點，這個式子是對的。）上式中，如果令x = x 1 = x 2，y = x 2，則dy = d ( xx ) = xdx +xdx = 2 xdx，所以斜率= 同樣地，他先猜出
萊布尼茲微分式的關鍵之一，在 d ( x 1 x 2 ) = x 2 dx 1 + x 2 dx 2。這是怎么得到的呢？d ( x 1 x 2 )表量x 1 x 2的變量，這個變量是因x 1變成x 1 + dx 1，x 2變成x2 + dx 2而產生的，所以d ( x 1 x 2 )應該等于 ( x 1 + dx 1 ) ( x 2 + dx 2 ) - x 1 x 2= x 2 dx 1 + x 1 dx 2 + dx 1 dx 2。現在非得假定dx 1 , dx 2為無窮小變量了。在此假定下，dx 1 dx 2比dx 1或dx 2都要小得多，所以可以略去不計，而得 d ( x 1 x2 ) = x 2 dx 1 + x 1 dx 2。 萊布尼茲用無窮小的方法求得很多公式，譬如指數函數。對數函數的微分式等。他把積分看成無窮小的和，也知道微積分基本定理，而且更將微分及積分的運算性質和公式做個總整理。而使微積分學變成一套有系統的學問。他的微積分符號非常方便，不久就取代了牛頓的符號，直到現在還是獨他一家，別無分號。 雖然萊布尼茲的論證不嚴格，但他的觀察非常敏銳，知道怎樣的公式才是對的，??又設計一套非常方便的符號及運算方法，所以他對微積分的貢獻非常大。其不嚴格處，則有待極限方法的引入后，先定義導數再定義微分式這種方法來補足。 微積分學在牛頓及萊布尼茲手中以嶄新的姿態出現，也在他們的手中發揮了解釋自然現象的最大功效。這方面的貢獻，毫無疑問地。要把牛頓放在第一把交椅上。有了微積分這種犀利的工具，牛頓用他的萬有引力定律及三大運動定律，解釋星球的運行、物體在媒介（如空氣、水等）中的運動；決定星球的密度、地球的偏扁率、行星的日長；解釋并決定地軸旋轉的周期、潮汐的成因與高度等等。 牛頓的后人繼續操著微積分這把牛刀，披荊斬棘，把人類的科技文明帶向空前未有的高度。
粗略地說，微積分學經過兩千多年的醞釀，在牛頓、萊布尼茲手中誕生，在十八世紀成長，而在十九世紀有了嚴格的基礎后變得成熟了。牛頓、萊布尼茲雖然把微積分系統化，但它還是不嚴格的。可是微積分被成功地用來解決許多問題，卻使十八世紀的數學家偏向其應用性，而少致力于其嚴格性。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉（L. Euler, 1707～1783）、拉格朗日（JU Lagrange, 1736～1813）、拉普拉斯（PS de Laplace, 1749～1827）、達蘭伯（J.??de R. d'Alembert, 1717～1783）及伯努利(Bernoulli) 世家等人的手里。他們有敏銳的直觀感，知道什么樣的公式是對的；而且研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論。使微積分學不因基礎不穩而走向歧途。在他們的手中，微積分學的范圍很快地超過現在大一所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學。 微積分的應用非常廣泛。我們知道積分原來是要求積的，但逐漸地，大家發現許多問題都可以化成求積的問題，如重心、重量、壓力、矩、功等等。下面來談談微分學的功用。
我們要研究動態的事物，就要研究各種變數的變化率，這是微分學最重要的課題。如果兩變數之間有某種關系，則其（對某變數而言的）變化率之間也會有關系的。如果知道其中的一個變化率，則其他的一個也隨之而決定了。反之，若兩變化率之間有某種關系。則我們可用積分的方法，求得原來兩變數之間的關系。自然界的許多現象，其變化率和變數間常有某種關系，若用數學式子表示出來就是微分方程了。研究微分方程當然要用微積分。
除了 ??研究變化率及解微分方程式外，微分學還有一個非常重要的用途，那就是逼近。這要由切線談起。切線是條直線，比曲線好研究太多。而且在切點附近，以切線代替曲線（即，在圖十二中，以微分式dy（= T 1 R）代替y軸方向的變量P 1R），其誤差很小。當然，在有些情況下，用切線代替曲線所得結果不很理想。但是簡單曲線不只是直線而已，譬如二次維線我們也相當熟悉，也可以用來代替曲線。譬如圖十五中用圓代替曲線，就比用切線代替曲線要好得多（在切點附近）。作切線要求導數，而作適當逼近的圓（叫做吻切圓）則要求導函數的導數。后者雖然較精確，但方法較繁，有得必有失，不能兩全，取舍之間就要注意到實際的需要。研究了曲線的切線及吻切圓之后，曲線的性質就知道大半了。同樣地，我們可以用微分的方法研究空間的曲線和曲面，這都屬于微分幾何學的范圍。
如果把曲線看做量與量之間的函數，則上面的做法就等于求函數的近似值。當然，近似值就是有誤差的意思。在數學上有誤差不是不好嗎？不盡然。首先，誤差并不是錯誤；其次，就實際應用而言，在把研究對象加以量化時就已經產生誤差，縱使我們在用數學工具時要求絕對準確，所得的結果仍然和實際的有差別。所以如果用切線代替曲線的誤差，比量化時所產生的誤差要小得多，我們何不輕輕松松作切線來代替曲線呢？如果精密度不夠，則可以求導函數的導數或更高階的導數。許多數值表，如三角函數表、對數函數表就是這樣得到的。就實用而言，我們不怕誤差的存在；就數學而言，我們要研究誤差有多少，要把誤差控制在許可范圍之內。
其實，微積分的發展和函數的研究是相互的。牛頓求y = ax m的導函數時，就利用到函數( x + o ) m的二項展式。如果m是分數或負數，這個展式是個無窮冪級數。牛頓先用其他的方法推得這種冪級數，然后用來求y = ax m的導函數。反之，后人學會用別的方法求y = ax m的導函數，則可用來求( x + o ) m的冪級數表示法。一個函數用冪級數來表示，至少有下面種種的好處： 一、若 f ( x )= a 0 + a 1 ( x - c ) + a 2 ( x - c ) 2 + 二、將冪級數的每項分別積分（微分），然后加起來得到的冪級數就是f ( x )的積分（導函數）。 三、如果只取冪級數的前幾項，則所得的多項式為原函數的逼近多項式，譬如只取兩項，則 y = a 0 + a 1 ( x - c )表過點( c , a 0 )的切線，這是所謂的線性逼近(linear approximation)。通常項數愈多則愈逼近。 用冪級數表函數固然方便，但有種種的問題發生。譬如，是不是所有的函數都能表成冪級數？如果不是，則那些函數能？能表成冪級數的才叫函數嗎？函數是什么？如果某函數能表成冪級數，則其表法如何求得？冪級數是否收斂？用多項式逼近其誤差如何決定？……
十八世紀的微積分利用函數的冪級數表示法迅速地成長了。反之，微積分變成研究函數的有力工具。連帶地，函數的范圍日漸廣泛，而其觀念也日益成熟。而級數的收斂問題，也逼使數學家再次面對整個微積分的基礎問題：極限。 十八世紀的數學家知道微積分沒有嚴格的基礎，有些人也努力想辦法補救，但都失敗了。當時的大數學家歐拉和拉格朗日認為微積分雖然沒有嚴格的基礎，但其推論往往正確，其原因是在論證過程中，我們犯了一些錯誤，而這些錯誤互相抵消了（錯錯得對）！達蘭伯甚至叫學生不要氣餒，說持之有恒地用微積分，自然對微積分就會有信心。（就像老學究要學生背古書，不必求甚解，日積月累，終會把文義弄通一樣！） 我們談過無論是積分或是微分，想要把靜態的無窮小法嚴格化，我們最后只能放棄無窮小觀點，而代之以動態的極限觀點，但極限的觀點很不容易被當時的人接受。譬如，微分中的極限是兩量比的極限，由于幾何觀點根深蒂固，人們總認為兩量比的極限也應該是某兩量之此，而不是純粹的一個數。所以他們總是在探求這種“最后”比值的幾何意義為何？而且不期而然地會認為是兩無窮小量之比，或是兩個零之比。這也就說明了雖然牛頓曾提過極限的方法，但他的流數法及萊布尼茲的微分式法還是大行其道。此外，遇到復雜一點的函數時，由定義直接求導數很難，這也使人裹足不前。同時極限的觀念還牽涉到實數的觀點，在后者沒弄清楚以前，前者也很難發展得完美，這一點容稍后再談。
有些人注意到，純幾何的方法沒辦法使微積分有嚴格的基礎，所以轉而求代數的方法，而錯以為微積分是一種新的代數學。微分式法就是典型的代數方法。（回想一下，y = x m時，dy = mx m -1 dx是怎么得到的。）同樣看法，級數間的運算也被認為是多項式間運算的一種延伸（冪級數就是無窮項多項式！ ），而不必探討這些運算的合法性。拉格期日為了避免微積分基礎問題的苦境，也轉用代數觀點，他說任意函數都可表成冪級數，而其一次項系數就是導數。他的說法曾盛行一時，但也失敗了。用現代的觀點來看很清楚：不是任何函數都可表成冪級數，而縱使可表，其各項系數還是得用極限微分的方法求得。 十八世紀的積分學則因過分強調微積分基本定理而變成微分學的附庸。有的人干脆就把積分看做反微分，而不深究其定義。
微積分基本觀念的混亂直到十九世紀初柯西力倡極限方法才得大部分的解決。他用現代的極限觀念定義了導數、積分，重新證明了許多基本公式，證明了微積分基本定理，又探討了級數的收斂問題。這是現代解析學的誕生，微積分不但不是一種幾何學而且也不再是一種代數學。 十八世紀微積分學發展的結果，使函數的范圍增廣，包括了一些不完全連續的函數。對不完全連續的函數而言，微積分基本定理要做相當的修正，也就是說積分不完全是微分的反運算。積分被平反了，不再被看成完全是反微分。這件事自有其歷史上及觀念上的意義。
柯西的極限方法并沒有把問題完全解決。有兩個大難題： 一、譬如，直觀上，若一數列S 1 , S 2 , … S n , …遞增（即 二、如果猜到極限值為某值，如何嚴格地證明這就是我們要的極限值？譬如 如此，微積分經過兩世紀之久，才從誕生經成長而邁向成熟的階段。 |
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