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這個關于素數的鮮為人知但很棒的屬性可能會改變您對加密的看法 Image by F. Zielen (original of Euler by J. E. Handmann) 質數構成現代加密的基礎。 原因很簡單：到目前為止，我們還不了解它們的數學性質。 但是，通過解開素數，世界將發生巨大變化。 在本文中，我介紹了一些關于素數的鮮為人知但令人敬畏的特性，它可能會改變您對密碼學的看法。 不用擔心，這在高管層上將是簡短易懂的內容。 回顧和動機讓我們來回顧一下：質數是整數，只能被1除或數字本身無除。 例如，5是質數（除數1和5），但6不是質數（除數1，2，3和6）。 有無限質數，但到目前為止，尚無有效的算法來確定它們。 特別是，沒有公式來計算第n個素數，也沒有遞歸的方法，即如果我們知道前面的（較小的）素數，我們就可以計算素數，也沒有明確的方式，即我們可以不知道前面的素數而直接計算素數。 例如，這使得著名的RSA密碼系統如此安全。 加密所需的公鑰基于兩個（很大）質數的乘積。 如果要導出解密所需的私鑰，則'只是'需要確定該產品的主要因素。 但是，這目前需要花費大量計算時間，因此RSA在實踐中無法解鎖。 但是，如果我們發現立即計算素數的公式，將會發生什么？ 這也可能產生非常快速的素數分解方法，這對于當今大多數密碼系統而言將意味著死刑。 但是，甚至有可能找到素數的公式嗎？ 驚人的歐拉公式萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是世界上最杰出的數學家之一。 在18世紀，他得出了一種如今被稱為歐拉積的公式。 在這里，我們重點介紹他開拓性發現的特殊情況。 即使下一行乍一看象形文字，也請不要停止閱讀。 Euler product 我們進行翻譯：等式左側的符號代表乘積。 此外，它是所有質數的無限乘積，即我們需要用所有質數替換變量p并乘以項。 讓我們寫下來清楚。 First factors of the Euler product 這意味著：如果我們計算以上乘積所有質數的乘積，我們將得到明確定義的結果pi2/ 6。 太棒了，感覺像是個謎。 請讓我告訴你為什么。 破壞性后果我們知道有無限的質數，但是我們沒有質數的封閉式有效表示形式（'公式'）。 有了計算能力，我們可以確定最大的已知質數。 盡管如此，歐拉證明了如果我們根據歐拉乘積將所有素數相乘，我們將獲得pi2/ 6值-盡管我們不知道所有素數！ 恕我直言，這表明到目前為止我們還沒有發現很多有關質數的知識。 如果我們可以在無窮多個素數上計算出歐拉積，那么我們也應該能夠導出素數的公式。 例如，對于特殊質數，閉合表示是已知的。 這表明我們必須加大數字理論研究的力度，以發現素數的真實性質。 可能會迷惑于此任務的人將受到慶祝或迫害。 奧托羅我問自己這樣一個書呆子的話題是否會吸引讀者。 我是數論愛好者，但是，這不是我的日常工作，因此感謝您的評論。 如果您想進一步了解這些東西或數學，請告訴我，也許我會寫一篇后續文章。 (本文翻譯自Frank Zielen的文章《Why Euler's Formula for Primes could disrupt the World》，參考：https:///why-eulers-formula-for-primes-could-disrupt-the-world-edc41bd3ba5b) |
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