數學強國系列｜意大利數學發展史

一、背景簡介

意大利地處歐洲南部地中海北岸，靠近并伸入地中海，氣候宜人，海岸線漫長，有得天獨厚的地理環境。意大利是歐洲的歷史古國，是古老歐洲民族及文化的搖籃，長期以來與德國、瑞士、奧地利、匈牙利等國的經濟、文化交流頻繁，在這個過程中充分吸取了同時代的最新成就。首都羅馬，幾個世紀來都是西方文明的中心。

意大利在歐洲的位置

意大利的歷史，可劃分為史前時期、羅馬統治時期、中世紀時期、近代資本主義時期等幾個階段。 在長達千年的古羅馬時期，羅馬帝國以地中海為中心，橫跨亞、歐、非三大洲，顯赫一時。公元14～15世紀，意大利文藝空前繁榮，成為歐洲“文藝復興”運動的發源地，出現了但丁、達·芬奇、米開朗基羅、拉斐爾、伽利略等文化與科學巨匠，留下了豐富的物質文化遺產。19世紀，意大利復興運動時期，并在1870年完成了國家的統一。隨后，意大利走上了對外擴張的資本主義殖民道路。但隨后卷入一戰和二戰，并在二戰中成為戰敗國。

意大利基本信息

二、發展歷程

公元前5世紀，羅馬處于羅馬帝國時期，在意大利半島南部，埃利亞學派興起，像“二分法”等哲學辯證法興起。

1096年十字遠征軍開始東征，使歐洲接觸到阿拉伯國家、希臘、印度、阿拉伯、中國數學文化，意大利由此深受東方數學文化的影響。

12世紀末到13世紀初，意大利人斐波那契，他向歐洲介紹了印度-阿拉伯數碼和位值制記數法，其中包含中國《孫子算經》。

斐波那契

14世紀到16世紀末，歐洲興起了以意大利為發源地的文藝復興運動，認為數學是揭開自然奧秘的強有力工具，開始邁向近代數學。

17世紀，是歐洲資本主義大范圍發生和發展的時期，機器生產和航海事業的需要促使科技和數學急速發展。

18世紀和19世紀，英國、德國、法國、瑞士在數學方面取得重大進展，意大利學者輾轉多地，也涌現出克雷莫納、塞格雷等一批幾何代數數學家。

20世紀，代表人物是皮亞諾，帶領一批學者研究符號邏輯系統，并創辦學校，形成自己的數學研究文化。

三、意大利數學學派

意大利數學學派

四、著名數學家

意大利數學家主要有芝諾、斐波那契、皮亞諾等。

芝諾 (約前490—前425)，古希臘數學家、哲學家，出生地為意大利半島南部的埃利亞，以芝諾悖論著稱，有著作《論自然》。芝諾因其悖論而著名，并因此在數學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。數學史家F.卡約里(Cajori)說，'芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的歷史。' 芝諾提出的著名悖論有“阿喀琉斯追烏龜”、“飛矢不動”、“游行隊伍”等。

阿基里斯追烏龜

前兩個相信讀者都是非常熟悉的，而“游行隊伍”悖論說的是：假設在操場上，在一瞬間(一個最小時間單位)里，相對于觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。◆◆◆◆觀眾席A▲▲▲▲隊列B▼▼▼▼隊列C。B、C兩個列隊開始移動，如下圖所示，相對于觀眾席A，B和C分別向右和左各移動了一個距離單位。◆◆◆◆觀眾席A▲▲▲▲隊列B……向右移動▼▼▼▼隊列C……向左移動，而此時，對B而言，C移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬間(一個最小時間單位)里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等于一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。

游行隊伍

芝諾時代已經過去兩千四百多年了，但是圍繞芝諾的爭論還沒有休止。有關芝諾悖論在古希臘數學發展中起到的作用，在科學史上眾說紛紜。直到19 世紀中葉，亞里士多德關于芝諾悖論的引述及批評幾乎是權威的，人們普遍認為芝諾悖論不過是一些詭辯。19世紀下半葉以來，學者們開始重新研究芝諾，他們推測芝諾的理論在古代就沒有得到完整的、正確的報道，而是被詭辯家們用作倡導懷疑主義和否定知識的工具，從而背離了芝諾的真正宗旨。芝諾思想，本質上是把動和靜的關系、無限和有限的關系、連續和離散的關系惹人注意地擺了出來，并進行了辨證的考察。美國數學史家E·T·貝爾對芝諾作了較為中肯的評價：以非數學的語言，記錄下了最早同連續性和無限性格斗的人們所遭遇到的困難。

斐波那契(1175年—1250年)，中世紀意大利數學家，是西方第一個研究斐波那契數的人，并將現代書寫數和乘數的位值表示法系統引入歐洲。其寫于1202年的著作《計算之書》中包含了許多希臘、埃及、阿拉伯、印度、甚至是中國數學相關內容。

斐波那契數列

斐波那契早年隨父在北非師從阿拉伯人習算，后又游歷地中海沿岸諸國，回意大利后即寫成《計算之書》(亦譯作《算盤全書》、《算經》)。《計算之書》最大的功績是系統介紹印度記數法，影響并改變了歐洲數學的面貌。《幾何實踐》則著重敘述希臘幾何與三角術。斐波那契其他數學著作還有《平方數書》、《花朵》等，前者專論二次丟番圖方程，后者內容多為腓特烈二世宮廷數學競賽問題。

斐波那契的事跡讓人們非常熟悉的是斐波那契數列，在自然中有很多神奇的對應。斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣）、蜂巢、蜻蜓翅膀、黃金矩形、黃金分割、等角螺線、十二平均律等。

皮亞諾（1858—1932），近代數學家。主要致力于發展布爾所創始的符號邏輯系統。1889年他出版了《幾何原理的邏輯表述》一書，書中他把符號邏輯用來作為數學的基礎，這工作在二十多年后為懷特黑德所繼續。皮亞諾由未定義的概念'零'，'數'，及'后繼數'出發建立公理系統。

皮亞諾作為符號邏輯的先驅和公理化方法的推行人而著名。他創建了《數學雜志》，并在這個雜志上用數理邏輯符號寫下了這組自然數公理，且證明了它們的獨立性。他引入并推廣了'測度'的概念。1883年他給出了定積分的一個新定義，將黎曼和當其最小上界等于最大下界時所取的公共值。這是設法使積分定義擺脫極限概念所做的努力。1886年他率先證出一階微分方程y'=f(x，y)可解的唯一條件是f的連續性，并給出了稍欠嚴格的證明。1893年，皮亞諾發表了《無窮小分析教程》，被德國的數學百科全書列在'自歐拉和柯西時代以來最重要的19本微積分教科書'之中。我們現在使用的自然數體系，它的創建者正是皮亞諾：

自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作0。②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的后繼者。③ 0不是任何元素的后繼者。④ 不同元素有不同的后繼者。⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果0∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。

皮亞諾

此外，皮亞諾還從事對國際語的研究，1908年皮亞諾當選為國際語協會的主席，被后世譽為國際語的創立者。他注重對數學史的研究，曾給出關于數學術語出處的精辟論述。在數學教學中，他常介紹數學史知識，挖掘萊布尼茨、牛頓等人的數學思想，對同時代的人影響很大。皮亞諾還和他的《數學公式》的合作者們一起創辦了一所學校。他的學識和對學生的寬容，使他吸引了一批在數學和哲學上興趣相投的人，形成他的學派，該學派對數理邏輯與向量分析在意大利的發展起過重大作用。