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再過(guò)一個(gè)月，各個(gè)大學(xué)的數(shù)學(xué)系將迎來(lái)新一屆的學(xué)生們。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)系的新生都會(huì)對(duì)未來(lái)四年將要學(xué)習(xí)的課程抱有一定的好奇心，他們很快就可以知道，大學(xué)數(shù)學(xué)系里所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的難度與中學(xué)里曾經(jīng)學(xué)過(guò)的那些初等數(shù)學(xué)完全不在一個(gè)層次上，然而現(xiàn)代數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)，已經(jīng)在很多領(lǐng)域里起著關(guān)鍵性的作用，數(shù)學(xué)技術(shù)早已經(jīng)成為了高技術(shù)的突出標(biāo)志和不可缺少的組成部分，現(xiàn)代數(shù)學(xué)本身也成為了人類文明和思想文化遺產(chǎn)的重要支柱，所以很值得我們花費(fèi)相當(dāng)多的精力和寶貴的時(shí)間，去努力地學(xué)習(xí)、掌握和運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各種知識(shí)。 在我們的鄰國(guó)日本，他們的大學(xué)數(shù)學(xué)教育界一直比較關(guān)注本科生在大學(xué)數(shù)學(xué)各門課程學(xué)習(xí)的起步階段中，因?yàn)樵庥觥俺橄髷?shù)學(xué)”的沖擊而感到困惑和失去學(xué)習(xí)信心的情況，為此不少數(shù)學(xué)教授在日本的《數(shù)學(xué)討論班》等大學(xué)數(shù)學(xué)雜志上寫(xiě)了一系列的文章，來(lái)細(xì)致周到地對(duì)學(xué)生進(jìn)行多方面的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，其中包括了怎樣改進(jìn)學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的方法、怎樣選擇合適的大學(xué)數(shù)學(xué)參考書(shū)、以及提供各門大學(xué)數(shù)學(xué)課程中相關(guān)知識(shí)的要點(diǎn)和來(lái)龍去脈的背景材料等。 圖1：《數(shù)學(xué)討論班》雜志 在2011年的一期《數(shù)學(xué)討論班》雜志上，有一幅很特別和很醒目的大學(xué)數(shù)學(xué)的鳥(niǎo)瞰圖，它的作者是日本琦玉大學(xué)的數(shù)學(xué)教授福井敏純。從這幅鳥(niǎo)瞰圖里，我們可以看到目前在日本的各個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)系中，所設(shè)置的現(xiàn)代數(shù)學(xué)各主要分支學(xué)科課程的大致情況。 在下面，筆者想借用這幅圖來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下目前大學(xué)數(shù)學(xué)系的各門課程里所包含的主要內(nèi)容。這幅鳥(niǎo)瞰圖在本文中被分為了左右兩個(gè)部分，我們先來(lái)看左邊的部分： 圖2：大學(xué)數(shù)學(xué)鳥(niǎo)瞰圖的左邊部分 一、集合論在這幅鳥(niǎo)瞰圖左邊部分的下方，正對(duì)著“數(shù)學(xué)王國(guó)”大門的是“集合論的花園”，其中的花朵有并集符號(hào) 與交集符號(hào) ，還有一個(gè)表示可數(shù)集基數(shù)的“阿列夫零”記號(hào)（我們知道整數(shù)集和有理數(shù)集都是可數(shù)集），這個(gè)阿列夫零記號(hào)用來(lái)指明可數(shù)集當(dāng)中所包含元素的“多少”。與中國(guó)的大學(xué)有所不同的是，在日本的大學(xué)數(shù)學(xué)系中有一門名為“集合與拓?fù)洹钡恼n程，其中主要講解一些關(guān)于集合論與拓?fù)淇臻g的最基本的知識(shí)，例如有集合的運(yùn)算、映射、可數(shù)集與不可數(shù)集、點(diǎn)集拓?fù)涞葍?nèi)容。由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支的研究對(duì)象都是具有某種特定結(jié)構(gòu)的集合（例如群、環(huán)和拓?fù)淇臻g等），因此集合論可以看成是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 二、微積分在“集合論的花園”左邊，是一個(gè)“微積分大草坪”，作者在其中畫(huà)了曲線的切線、求體積的卡瓦列利原理圖，以及在分析中非常重要的常數(shù) 。在這里，曲線的切線斜率代表了一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，而卡瓦列利原理則代表積分學(xué)的早期思想萌芽。初等微積分的課程中所包含的基本內(nèi)容有：數(shù)列與函數(shù)的極限定義、一元連續(xù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、一元函數(shù)的極值與圖形、泰勒公式、定積分與不定積分、多元函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)、重積分、線積分與面積分等。 微積分可以說(shuō)是人類科學(xué)思想史上最偉大的創(chuàng)造，憑借著微積分這一有力工具，人們可以計(jì)算與表達(dá)大自然和人類社會(huì)中所有各種數(shù)量的精確值（以面積為例，初等數(shù)學(xué)只能算出任意不規(guī)則圖形面積的近似值，而用微積分就能夠算出精確值），從而為造就和支撐現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和人類文明的宏偉大廈奠定了堅(jiān)實(shí)雄厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 三、線性代數(shù)（或高等代數(shù)）在該鳥(niǎo)瞰圖中“集合論的花園”的右邊，是一個(gè)“線性代數(shù)大草坪”。這里分別畫(huà)了平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系、代表線性空間的常用記號(hào) 和 、行列式的記號(hào)，以及低階行列式的計(jì)算法則（這個(gè)計(jì)算法則畫(huà)在了鳥(niǎo)瞰圖的右邊部分）。線性代數(shù)是一門具有廣泛應(yīng)用的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分支學(xué)科，它主要研究數(shù)域上的有限維線性空間。這門課程的基本內(nèi)容有多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和內(nèi)積空間等。 線性代數(shù)的內(nèi)容大致可以分為初等與高等兩大部分（國(guó)內(nèi)一般是在高等代數(shù)課程中同時(shí)講這兩大部分）：初等部分包括了矩陣論、行列式、線性方程組、二次型等內(nèi)容，高等部分則主要包括了線性空間、線性變換、歐氏空間等理論。在線性代數(shù)的歷史發(fā)展進(jìn)程中，二次型及其矩陣的特征值起到了突出的作用，這是因?yàn)樗苯右龑?dǎo)出后續(xù)的“對(duì)角化”這一線性代數(shù)的中心主題。早在18世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)解決了二次曲線的化簡(jiǎn)問(wèn)題，也就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，可以將二次曲線方程中的二次型化成只有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形，再經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸的平移，就得到了二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中非退化的二次曲線只有橢圓、雙曲線和拋物線這三種圓錐曲線。到了19世紀(jì)初期，數(shù)學(xué)家柯西進(jìn)一步證明了個(gè)變量二次型的主軸定理。主軸定理用矩陣的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是：實(shí)對(duì)稱矩陣一定和一個(gè)對(duì)角矩陣相似，并且這個(gè)對(duì)角矩陣的所有對(duì)角元素都是該實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值。 高等線性代數(shù)的核心是線性空間的理論，特別是關(guān)于向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)理論，一組向量線性相關(guān)可以定義為其中的一個(gè)向量是其余向量的線性組合，由此就可以從幾何的角度來(lái)刻畫(huà)和解釋線性空間的幾何構(gòu)造（例如將線性空間分解為不變子空間的直和）。線性空間理論中最精彩的內(nèi)容是線性變換的理論，其中包括了矩陣對(duì)角化的一般結(jié)果——若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。 四、數(shù)學(xué)分析學(xué)完了以上的初等微積分、線性代數(shù)和集合論這三門課程，相當(dāng)于是對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)有了一個(gè)初步的入門。接下來(lái)，學(xué)生們就要認(rèn)真地學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格理論，也就是要能夠十分準(zhǔn)確地理解和使用極限的 定義和 定義，來(lái)證明有關(guān)數(shù)列與函數(shù)極限的基本性質(zhì)，特別是要用具體的數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明這些極限定義的內(nèi)在含義。 我們?cè)谶@幅鳥(niǎo)瞰圖中可以看到，如果要想在數(shù)學(xué)王國(guó)里登堂入室和真正入門，就必須跨過(guò)一條名為“邏輯的小徑”的道路，其中畫(huà)了、 （任意）、（存在）和 （等價(jià)）等常用的推理記號(hào)，其中的意思是代表有關(guān)極限的 定義和定義的證明推導(dǎo)過(guò)程。在“邏輯的小徑”的左端，還畫(huà)了一個(gè)把關(guān)的妖怪，此妖怪號(hào)稱“收斂判定大王”，專門檢查各種級(jí)數(shù) 的收斂性。例如對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有最基本的比較判別法，并且通過(guò)幾何級(jí)數(shù)這一媒介，可以從中進(jìn)一步發(fā)展出柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法。 在數(shù)學(xué)分析（相當(dāng)于國(guó)外的高等微積分）課程中，級(jí)數(shù)的理論可以分為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)這四個(gè)部分。從微積分和數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史可以知道，包括冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)在內(nèi)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)主要用途，就是用來(lái)求解各種各樣的微分方程。人們發(fā)現(xiàn)，許多微分方程的解根本不可能用初等函數(shù)來(lái)表示，它們只能用冪級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，因此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于產(chǎn)生更多的新函數(shù)起著非常關(guān)鍵的作用。 五、常微分方程學(xué)完了數(shù)學(xué)分析，就可以進(jìn)入該鳥(niǎo)瞰圖中的“常微分方程庭院”，來(lái)學(xué)習(xí)常微分方程這門課程了。常微分方程是含有自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的等式。在歷史上，很多涉及運(yùn)動(dòng)與演化的物理問(wèn)題和技術(shù)問(wèn)題的研究都可以化歸為常微分方程的求解問(wèn)題，這是因?yàn)榉从匙匀灰?guī)律的量與量之間函數(shù)關(guān)系往往不能直接寫(xiě)出來(lái)，而此時(shí)卻比較容易建立這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式。 常微分方程這門課程需要用到數(shù)學(xué)分析和線性代數(shù)中的一些基本知識(shí)。該課程包含的主要內(nèi)容有：一階常微分方程，線性微分方程，線性微分方程組、穩(wěn)定性與定性理論初步等。在“常微分方程庭院”中，作者畫(huà)了一幅典型的二階微分方程組的相平面圖，它用來(lái)表示該二階微分方程組的穩(wěn)定解的軌線是一組同心圓時(shí)的情形。 六、復(fù)變函數(shù)論離開(kāi)了“常微分方程庭院”，它的旁邊就是“函數(shù)論庭院”，日語(yǔ)中的“函數(shù)論”就是指復(fù)變函數(shù)論。在這里，作者畫(huà)了一個(gè)關(guān)于復(fù)積分的圍道積分圖形，這個(gè)復(fù)積分的圖形充分運(yùn)用了柯西所發(fā)現(xiàn)的著名的柯西積分定理（全純函數(shù)在單連通區(qū)域邊界上的復(fù)積分一定為零），由此就可以推導(dǎo)出關(guān)于全純函數(shù)性質(zhì)的一系列基本結(jié)果和進(jìn)行留數(shù)計(jì)算，因此圍道積分圖形是這門課程中非常典型的一個(gè)圖形。 在傳統(tǒng)的微積分理論中，所處理的函數(shù)主要是實(shí)函數(shù)，而當(dāng)我們將微分與積分的理論平行地推廣到復(fù)函數(shù)時(shí)，就形成了一門新的數(shù)學(xué)理論——復(fù)變函數(shù)論，這個(gè)新理論與原來(lái)的微積分理論相比，內(nèi)容不僅更加豐富多彩，而且理論上也更加完美。數(shù)學(xué)史家M.克萊因曾經(jīng)稱復(fù)變函數(shù)論是19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們最獨(dú)特的創(chuàng)造，他說(shuō)“這一最豐饒的數(shù)學(xué)分支，曾被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，它也曾被歡呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。”復(fù)變函數(shù)論這門課程的內(nèi)容主要有：解析函數(shù)、復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)、留數(shù)、解析開(kāi)拓、共形映射、解析開(kāi)拓和調(diào)和函數(shù)等。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科（如代數(shù)拓?fù)洹⒗杪婧痛鷶?shù)幾何等）的共同源頭其實(shí)都是復(fù)變函數(shù)論。 七、點(diǎn)集拓?fù)?/span>在鳥(niǎo)瞰圖里“函數(shù)論庭院”的右邊，是高聳的“拓?fù)淇臻g論城堡”，拓?fù)淇臻g的理論屬于點(diǎn)集拓?fù)涞姆秶?/span>。目前大學(xué)點(diǎn)集拓?fù)湔n程的主要內(nèi)容有：拓?fù)淇臻g的基本概念、緊致性和連通性、商空間與閉曲面等。 在“拓?fù)淇臻g論城堡”旁邊的草地上，有一個(gè)白色的區(qū)域（代表拓?fù)淇臻g），里面有六個(gè)點(diǎn)（即元素），它們分別在三個(gè)小圓圈內(nèi)，現(xiàn)在因?yàn)槟撤N需要，要將這三個(gè)小圓圈作為新的元素，由此就形成了一個(gè)新的集合，稱為“商空間”。而通過(guò)將每個(gè)小圓圈里的各點(diǎn)之間建立一個(gè)等價(jià)關(guān)系（即重疊起來(lái)），就可以將這些小圓圈作為新的元素。在日語(yǔ)里，等價(jià)關(guān)系被稱為“同值關(guān)系”。 八、實(shí)變函數(shù)論在“拓?fù)淇臻g論城堡”的旁邊，還有一個(gè)“測(cè)度論的廣場(chǎng)”，其中有一個(gè)小姑娘在用磚塊砌墻，這是在比喻求曲邊梯形面積的兩種方法。這里所說(shuō)的“測(cè)度論”實(shí)際上就是指我們的實(shí)變函數(shù)論。作為數(shù)學(xué)分析課程的進(jìn)一步深入和發(fā)展，實(shí)變函數(shù)論主要研究在連續(xù)性、可微性和可積性方面比較差的函數(shù)，該課程所包含的內(nèi)容主要有：集合的運(yùn)算、可測(cè)集類、可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)、勒貝格積分等。 實(shí)變函數(shù)論課程的重點(diǎn)是勒貝格積分的理論。我們知道，數(shù)學(xué)分析中的黎曼積分只適用于基本上連續(xù)的函數(shù)，而從實(shí)變函數(shù)論的角度看，有界函數(shù)在上黎曼可積的充要條件是 在上的間斷點(diǎn)集合的勒貝格測(cè)度為零。在分析學(xué)中，為了擴(kuò)大可積函數(shù)類，改善積分的性質(zhì)，就需要引入勒貝格積分，這種積分具有比黎曼積分更優(yōu)良的性質(zhì)，因此它的用處其實(shí)比黎曼積分更大，像調(diào)和分析和泛函分析等分支學(xué)科都需要建立在勒貝格積分理論的基礎(chǔ)之上。 但是另一方面，在實(shí)變函數(shù)論課程中所進(jìn)行的推理與證明又比數(shù)學(xué)分析中的推理更加精細(xì)和艱深，因此學(xué)生們學(xué)習(xí)與理解起來(lái)很可能會(huì)比較困難。例如在微積分中計(jì)算函數(shù) 在閉區(qū)間上的曲邊梯形面積時(shí)，先將分成許多小區(qū)間，然后分別求出各個(gè)小區(qū)間上曲邊梯形的近似面積，再將它們匯總求極限后，就得到上的曲邊梯形面積的精確值，這是黎曼積分的想法。如果用磚頭砌墻來(lái)作比喻，黎曼積分的想法相當(dāng)于是： “ 而在實(shí)變函數(shù)論課程里，用勒貝格積分求這個(gè)曲邊梯形面積的想法是：先把函數(shù)的值域（而不是）分成許多小區(qū)間，由此就能夠?qū)?span style="cursor: pointer;">分為許多兩兩不相交的可測(cè)集，現(xiàn)在每個(gè)可測(cè)集上函數(shù)值都相差很少，于是在每個(gè)可測(cè)集上用任一點(diǎn)的函數(shù)值乘以可測(cè)集的“長(zhǎng)度”（即測(cè)度），然后求和，再用和式的極限作為勒貝格積分的值，這個(gè)值同樣也是曲邊梯形面積的精確值。我們還是用磚頭砌墻來(lái)作比喻，那么勒貝格積分的基本想法就相當(dāng)于是用傳統(tǒng)的方法來(lái)砌墻，即從地面開(kāi)始，將整個(gè)墻體的下一層磚都砌好后，再砌上一層磚，這樣逐步向上砌出來(lái)的墻體自然是十分穩(wěn)固的。 九、泛函分析看完了“測(cè)度論的廣場(chǎng)”，接下來(lái)應(yīng)該馬上進(jìn)入位于它后面的“函數(shù)解析的高原”。日語(yǔ)里的“函數(shù)解析”就是我們所說(shuō)的泛函分析。在20世紀(jì)中，泛函分析理論為各個(gè)分析學(xué)分支學(xué)科的迅速發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，這些學(xué)科就包括了偏微分方程、調(diào)和分析、數(shù)值分析、數(shù)學(xué)物理等。目前大學(xué)水平的泛函分析課程主要包含的內(nèi)容有：距離空間和賦范空間、有界線性算子與連續(xù)線性泛函、希爾伯特空間幾何學(xué)初步、有界線性算子的譜、廣義函數(shù)等。 早期泛函分析的一個(gè)主要思想來(lái)源是經(jīng)典的變分法。在變分法中，“泛函”就是指函數(shù)的函數(shù)。變分法的主要問(wèn)題是：在一個(gè)函數(shù)集合中，求出使某個(gè)泛函達(dá)到極值的函數(shù)。此時(shí)，函數(shù)已經(jīng)不是作為個(gè)別的對(duì)象來(lái)研究，而是作為函數(shù)集合（或函數(shù)空間）里的一個(gè)“點(diǎn)”，這樣就可以運(yùn)用幾何學(xué)的思想來(lái)對(duì)整個(gè)一類函數(shù)的性質(zhì)來(lái)加以研究。 泛函分析的另一個(gè)思想來(lái)源是積分方程，數(shù)學(xué)家們從積分方程的理論中發(fā)展出了希爾伯特空間和線性算子的理論。為了使積分方程理論普遍化，數(shù)學(xué)家巴拿赫進(jìn)一步建立了比希爾伯特空間范圍更廣的巴拿赫空間（即完備賦范空間）的理論，巴拿赫空間包含了許多具體的函數(shù)空間，例如，閉區(qū)間 上全體 次冪勒貝格可積函數(shù)的集合 就可以構(gòu)成一個(gè)巴拿赫空間（實(shí)變函數(shù)論的主要目的之一其實(shí)就是在為證明這一重要結(jié)論而作準(zhǔn)備）。 十、微分幾何與微分流形在“測(cè)度論的廣場(chǎng)”右上方，有兩個(gè)巨大的曲面建筑物，一個(gè)是“雙曲面天棚”，它的外形運(yùn)用了雙葉雙曲面的一部分，而這個(gè)雙曲面可以通過(guò)讓雙曲線圍繞著其實(shí)軸來(lái)產(chǎn)生。另一個(gè)光滑曲面建筑物沒(méi)有給出曲面具體的名稱，只是在曲面上寫(xiě)了“多樣體”三個(gè)大字，如果將日語(yǔ)中的“多樣體”譯成中文，就是指流形，而流形的粗略定義是局部同胚于歐氏空間的拓?fù)淇臻g，因此二維的流形就是在其每一點(diǎn)的鄰近都與平面相差不大的曲面，這也是為什么作者要在這個(gè)“多樣體”曲面上還畫(huà)了兩個(gè)平面坐標(biāo)系的原因。這樣，在流形的每一點(diǎn)處都有 “局部坐標(biāo)系”。 如果在流形上再附加一個(gè)微分結(jié)構(gòu)，那么該流形就成為了微分流形。微分流形是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象，從上世紀(jì)60年代起，隨著整體微分幾何的興起，微分流形的基本理論就開(kāi)始進(jìn)入大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)范圍。目前微分流形這門課程所包含的基本內(nèi)容有：歐氏空間上映射的微分與積分學(xué)、微分流形、微分形式和外微分、流形上的積分和Stokes公式、德拉姆上同調(diào)等。 在“雙曲面天棚”和“多樣體”曲面建筑物的后面，是一坐“微分幾何學(xué)”大山。在微分幾何這門課程里，主要的研究對(duì)象是三維幾何空間中的光滑曲線和光滑曲面（即一維和二維的微分流形）。為了刻畫(huà)曲線和曲面的幾何形狀和彎曲程度，數(shù)學(xué)家們引入了曲率的基本概念。微分幾何這門課程的主要內(nèi)容有：三維空間的曲線論、三維空間中曲面的局部幾何性質(zhì)、三維空間中曲面的整體幾何性質(zhì)、黎曼幾何初步等。 十一、動(dòng)力系統(tǒng)位于“微分幾何學(xué)”大山旁邊的是“力學(xué)系”大山，在它的前面還有一座“復(fù)素力學(xué)系”大山。日語(yǔ)中的“力學(xué)系”就是我們所說(shuō)的動(dòng)力系統(tǒng)，而“復(fù)素力學(xué)系”則是復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)。動(dòng)力系統(tǒng)是經(jīng)典的常微分方程解的定性理論的一種自然延伸和發(fā)展，由于大多數(shù)非線性常微分方程是不可能求出其解的具體表達(dá)式來(lái)的，因此就必須要在不具體解出方程的情況下，運(yùn)用經(jīng)典的李雅普諾夫理論來(lái)判斷方程的解的穩(wěn)定性（例如當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，解的變化狀態(tài)），這個(gè)理論給出了包括奇點(diǎn)和極限圈在內(nèi)的相平面（或相空間）中軌線的全局圖貌及其性質(zhì)。 進(jìn)入20世紀(jì)后，人們逐漸從具體的常微分方程解的定性理論，轉(zhuǎn)向了抽象的歐式空間或流形上的常微系統(tǒng)的研究（運(yùn)用了拓?fù)鋵W(xué)和測(cè)度論），著重考察了一族軌線之間的整體相互關(guān)系，從而形成了以結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論為代表的一大批研究成果，其中就有數(shù)學(xué)家Smale在20世紀(jì)60年代所發(fā)現(xiàn)的具有無(wú)限多周期軌線的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的“馬蹄”動(dòng)力系統(tǒng)。 十二、偏微分方程在鳥(niǎo)瞰圖中“力學(xué)系”大山背后的是“偏微分方程”大山。偏微分方程理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的分支學(xué)科，它同時(shí)也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多分支學(xué)科和自然科學(xué)各個(gè)學(xué)科之間的一個(gè)橋梁。大學(xué)數(shù)學(xué)中的“偏微分方程”課有時(shí)也稱為“數(shù)學(xué)物理方程”課。這門課程主要講授三種典型的二階偏微分方程（波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程）和一階偏微分方程組的理論。 在大學(xué)數(shù)學(xué)系的各門課程中，偏微分方程似乎是一門比較難的課程，它可以簡(jiǎn)單地看成是常微分方程理論的進(jìn)一步深化與拓廣。可以這樣說(shuō)：微積分和數(shù)學(xué)分析課程中幾乎所有的內(nèi)容其實(shí)主要就是在為偏微分方程作準(zhǔn)備的（當(dāng)然也在為其他一些課程作準(zhǔn)備），例如看上去比較奇怪的用三角函數(shù)級(jí)數(shù)來(lái)表示任意函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的理論，基本上就是為偏微分方程課程量身定做的，還有多元微積分中比較復(fù)雜的聯(lián)系曲線積分與曲面積分的高斯公式（或散度定理），更是成為了研究偏微分方程解的性質(zhì)的常用工具。 十三、概率論位于大學(xué)數(shù)學(xué)鳥(niǎo)瞰圖左上角的是“確率論”大山，而日語(yǔ)中的“確率論”就是我們所說(shuō)的概率論。概率論是研究各種隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，它在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，概率論不僅影響了數(shù)學(xué)本身的一些分支學(xué)科的發(fā)展，它還是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)。 目前大學(xué)概率論課程的主要內(nèi)容有：隨機(jī)事件和古典概型、隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理。在概率論的學(xué)習(xí)過(guò)程中，比較困難的內(nèi)容是隨機(jī)變量的引入和各種統(tǒng)計(jì)量分布函數(shù)的推導(dǎo)。微積分正是通過(guò)連續(xù)隨機(jī)變量這一重要途徑而進(jìn)入了統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域，從而在根本上改變了早期概率論只討論古典概型的狀況。由于在歷史上概率論的各個(gè)基本概念和理論主要都是因?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)的需要而自然產(chǎn)生的，因此在學(xué)習(xí)概率論時(shí)，應(yīng)該著重學(xué)習(xí)分布函數(shù)的思想方法，特別是要注意概率論的各個(gè)基本概念和理論是怎樣實(shí)際運(yùn)用到數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的。 十四、數(shù)理統(tǒng)計(jì)在上述“確率論”大山的前面，還有一座山是“統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)”大山，日語(yǔ)里的“統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)”實(shí)際上就是我們所說(shuō)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法可以應(yīng)用在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各種專門領(lǐng)域中，例如人工智能、物理、化學(xué)、工程、生物、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)學(xué)等。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中，我們將學(xué)習(xí)怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問(wèn)題作出統(tǒng)計(jì)推斷和預(yù)測(cè)，從而為決策提供依據(jù)和建議。統(tǒng)計(jì)推斷的具體方法包括了抽樣、建立統(tǒng)計(jì)模型、估計(jì)相關(guān)分布函數(shù)的參數(shù)、假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析等。 圖3：大學(xué)數(shù)學(xué)鳥(niǎo)瞰圖的右邊部分 十五、抽象代數(shù)與表示論我們通常所說(shuō)的抽象代數(shù)課程，在日語(yǔ)中一般被稱為“代數(shù)學(xué)”課程。在這幅大學(xué)數(shù)學(xué)鳥(niǎo)瞰圖的右邊部分，位于中間的四個(gè)小花園的內(nèi)容都屬于抽象代數(shù)，它們分別是“群的庭院”、“環(huán)的庭院”、“域的庭院”和“伽羅瓦理論的庭院”。群論、環(huán)論、域論以及伽羅瓦理論，再加上模論，這五大理論通常就構(gòu)成了大學(xué)抽象代數(shù)課程的最基本的內(nèi)容。 在“群的庭院”中，作者畫(huà)了一個(gè)八面體，用以顯示三維空間旋轉(zhuǎn)群的一個(gè)子群──八面體群，另外還畫(huà)了一個(gè)小伙子正在揮舞著一把寫(xiě)著“部分群”的斧子，日語(yǔ)中的“部分群”就是我們所說(shuō)的子群。通過(guò)研究一個(gè)群的所有子群，我們對(duì)該群的整體結(jié)構(gòu)可以有比較透徹的了解。 在“環(huán)的庭院”中，作者畫(huà)了一個(gè)鑲有珠寶的指環(huán)。在英文中，環(huán)與指環(huán)用的是同一個(gè)單詞ring，所以指環(huán)在這里是代表數(shù)學(xué)中的環(huán)。在歷史上，人們?cè)谘芯繑?shù)論（特別是證明費(fèi)馬大定理）的過(guò)程中，以戴德金為代表的一些數(shù)學(xué)家逐步建立了環(huán)的理想理論。 而在“域的庭院”里，作者只寫(xiě)了一個(gè)很簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)包含關(guān)系式，即 進(jìn)數(shù)域 包含了它的 進(jìn)整數(shù)環(huán) （這個(gè)關(guān)系式有點(diǎn)類似于說(shuō)有理數(shù)域 包含了它的整數(shù)環(huán) ）。 進(jìn)數(shù)域在代數(shù)數(shù)論中有基本的作用。 在“伽羅瓦理論的庭院”的旁邊，作者還畫(huà)了一個(gè)“伽羅瓦對(duì)應(yīng)的天線”圖，以此接收來(lái)自代數(shù)學(xué)方面的信號(hào)。群論和域論最早實(shí)際上起源于數(shù)學(xué)家伽羅瓦在研究一元代數(shù)方程的解是否有根式表示式問(wèn)題時(shí)所作出的重要發(fā)現(xiàn)，這個(gè)經(jīng)典問(wèn)題是這樣產(chǎn)生的：盡管一元二次方程解的求根公式表明它的解總是可以寫(xiě)成根式解的形式，但是一般的一元 次方程的解不一定能寫(xiě)成根式解的形式，因此在什么情況下有根式解就是一個(gè)很基本的問(wèn)題。簡(jiǎn)單地來(lái)說(shuō)，伽羅瓦先將代數(shù)方程是否有根式解的問(wèn)題表示成了含有方程根的域的擴(kuò)張問(wèn)題，然后他發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)一步將復(fù)雜的域的擴(kuò)張問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的具有對(duì)稱性的置換群結(jié)構(gòu)問(wèn)題，也就是域之間的擴(kuò)張關(guān)系依次準(zhǔn)確地對(duì)應(yīng)了相關(guān)伽羅瓦群中子群的反序擴(kuò)大關(guān)系，從而徹底解決了五次以上的代數(shù)方程何時(shí)有根式解的問(wèn)題。在這個(gè)“伽羅瓦對(duì)應(yīng)的天線”圖中，左邊的三個(gè)域之間的擴(kuò)張關(guān)系（即從下到上地將 擴(kuò)張到 ，再?gòu)?span style="cursor: pointer;"> 擴(kuò)張到 ）依次對(duì)應(yīng)了右邊的三個(gè)子群的反序擴(kuò)大關(guān)系（即從上到下地看，{1}是 的子群，而 又是的子群，其中的 是從 到 這個(gè)擴(kuò)張的伽羅瓦群）。如果知道了一個(gè)代數(shù)方程的伽羅瓦群是可解群時(shí)（例如這里的 是 的正規(guī)子群時(shí)），那么這個(gè)代數(shù)方程就一定有根式解。 抽象代數(shù)課已經(jīng)成為了大學(xué)數(shù)學(xué)中一門很重要的基礎(chǔ)課程，這是因?yàn)樵诂F(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科中，或多或少都會(huì)有些代數(shù)結(jié)構(gòu)，因此抽象代數(shù)就滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科中，甚至還被運(yùn)用到了物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等學(xué)科中。 在鳥(niǎo)瞰圖里和抽象代數(shù)有關(guān)的幾個(gè)庭院的上方，我們看到有一朵“表現(xiàn)論的云”。日語(yǔ)中的“表現(xiàn)論”就是我們通常所說(shuō)的表示論。表示論是抽象代數(shù)的一個(gè)分支，而群表示論又是其中最基本的內(nèi)容。簡(jiǎn)單地來(lái)說(shuō)，群表示論是把一個(gè)抽象的群與比較具體的矩陣聯(lián)系起來(lái)，使得群中的運(yùn)算對(duì)應(yīng)到矩陣的乘法（此時(shí)稱這種聯(lián)系為群在有限維線性空間上的表示），這樣就能夠?qū)⑷赫撝械膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的線性代數(shù)問(wèn)題。此外，群還可以表示在無(wú)限維線性空間上，這時(shí)就可以運(yùn)用分析學(xué)的方法來(lái)解決群論的問(wèn)題。 十六、數(shù)論在大學(xué)數(shù)學(xué)鳥(niǎo)瞰圖的右邊部分中，有一片“整數(shù)論的山脈”特別醒目。在日語(yǔ)中，“整數(shù)論”就是數(shù)論。在大學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)論課程里，除了初等數(shù)論外，還要學(xué)習(xí)一些代數(shù)數(shù)論和解析數(shù)論方面的最基本知識(shí)。 雖然初等數(shù)論在18世紀(jì)的時(shí)候就已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)完善了，但是經(jīng)過(guò)高斯、庫(kù)默爾、狄利克雷、黎曼、戴德金和希爾伯特等許多數(shù)學(xué)家們的努力，19世紀(jì)的數(shù)論就已經(jīng)突破了初等數(shù)論的范圍，而產(chǎn)生了代數(shù)數(shù)論和解析數(shù)論的基本理論。到了20世紀(jì)，數(shù)論與抽象代數(shù)、代數(shù)幾何、多復(fù)變函數(shù)論、調(diào)和分析、表示論和自守形式等學(xué)科相互促進(jìn)，發(fā)展成了蔚為大觀的現(xiàn)代數(shù)論。在自身得到發(fā)展的同時(shí)，數(shù)論也促進(jìn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多分支學(xué)科的重要發(fā)展。現(xiàn)代數(shù)論包括了類域論、局部域理論、函數(shù)域理論、韋依定理、模形式理論、代數(shù)簇的算術(shù)理論、近代分圓域理論、費(fèi)馬大定理、朗蘭茲綱領(lǐng)、以及Arakelov幾何等理論。 十七、代數(shù)拓?fù)?/span>在鳥(niǎo)瞰圖的右邊部分的左上角，有一座“位相幾何學(xué)”大山，“位相幾何學(xué)”譯成中文就是拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué)主要研究的是在連續(xù)變形下，幾何流形的不變性質(zhì)，因此拓?fù)鋵W(xué)是一種很抽象的幾何學(xué)。拓?fù)鋵W(xué)曾被數(shù)學(xué)家J. Dieudonné譽(yù)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“女王”。這主要是因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)的思想方法已經(jīng)滲透到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科中，無(wú)論是數(shù)論、抽象代數(shù)和代數(shù)幾何，還是微分方程與幾何分析，都運(yùn)用了很多的拓?fù)鋵W(xué)理論與方法，這主要是由于研究高維抽象幾何空間整體問(wèn)題的需要。 除了點(diǎn)集拓?fù)渫猓負(fù)鋵W(xué)的內(nèi)容還包括了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)洌诖髮W(xué)拓?fù)鋵W(xué)課程中，代數(shù)拓?fù)渫加兄饕牟糠帧Ｔ诖鷶?shù)拓?fù)淅铮匀赫撟鳛橹饕墓ぞ邅?lái)研究和刻畫(huà)拓?fù)淞餍蔚膸缀尾蛔兞俊４鷶?shù)拓?fù)湔n程的內(nèi)容主要有：組合拓?fù)鋵W(xué)的基本概念（如邊緣、閉鏈和同調(diào)群）、歐拉-龐加萊公式、單純同調(diào)與奇異同調(diào)、同倫與基本群、復(fù)疊空間、映射度與不動(dòng)點(diǎn)等。 十八、代數(shù)幾何在大學(xué)數(shù)學(xué)鳥(niǎo)瞰圖右邊部分的上方，是一大片雄偉的“代數(shù)幾何連山”。代數(shù)幾何所研究的主要對(duì)象是代數(shù)簇，即用一組多元多項(xiàng)式的零點(diǎn)集來(lái)確定的流形，其中一維和二維的代數(shù)簇分別被稱為代數(shù)曲線和代數(shù)曲面。我們可以說(shuō)在20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，代數(shù)幾何所起的推動(dòng)作用是非常大的，這主要是因?yàn)槌橄蟠鷶?shù)、代數(shù)拓?fù)渑c微分拓?fù)洹⒄w微分幾何以及分析學(xué)中不少重要的理論都是因?yàn)檠芯看鷶?shù)幾何的需要而提出的，并且代數(shù)幾何的研究成果深刻影響了許多分支學(xué)科的發(fā)展。 代數(shù)幾何最早起源于在17和18世紀(jì)牛頓和Bezout等數(shù)學(xué)家們關(guān)于平面代數(shù)曲線的研究工作。到了19世紀(jì)上半葉才開(kāi)始出現(xiàn)關(guān)于代數(shù)曲線和代數(shù)曲面的初步理論。然后黎曼在研究阿貝爾積分理論的過(guò)程中，提出了內(nèi)蘊(yùn)的黎曼面概念和代數(shù)函數(shù)的理論，從而打開(kāi)了通向現(xiàn)代代數(shù)幾何的大門。在這之后，有一批數(shù)學(xué)家們分別用他們各自的語(yǔ)言進(jìn)一步發(fā)展了這門不同尋常的學(xué)科，然而一直要等到20世紀(jì)的中葉，當(dāng)整體微分幾何、多復(fù)變函數(shù)論、抽象代數(shù)、以及拓?fù)鋵W(xué)得到了充分的發(fā)展后，數(shù)學(xué)家格羅滕迪克才有可能用更精確的抽象代數(shù)語(yǔ)言與更先進(jìn)的幾何思想，將經(jīng)典的代數(shù)簇理論推廣成了適用面更廣的“概形”理論，從而極大地促進(jìn)了20世紀(jì)下半葉代數(shù)幾何與現(xiàn)代數(shù)論的大發(fā)展。 十九、數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在鳥(niǎo)瞰圖右邊部分的中間，有一個(gè)“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論的庭院”，并且作者在其上方畫(huà)了一朵“數(shù)理論理學(xué)的云”，日語(yǔ)中的“數(shù)理論理學(xué)”譯成中文就是數(shù)理邏輯。數(shù)理邏輯也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一門分支學(xué)科，它主要運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)研究形式邏輯的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，這門學(xué)科大致可以由模型論、證明論、集合論和遞歸論等內(nèi)容所組成。數(shù)理邏輯與計(jì)算機(jī)科學(xué)有著極為密切的聯(lián)系，在計(jì)算機(jī)科學(xué)的研究中包含著大量的數(shù)理邏輯問(wèn)題。 二十、離散數(shù)學(xué)、信息科學(xué)和計(jì)算量理論位于大學(xué)數(shù)學(xué)鳥(niǎo)瞰圖右邊部分的下方，還有一大片“離散數(shù)學(xué)的草原”，其中畫(huà)了一個(gè)正五邊形和一幅國(guó)際象棋圖。在這片草原的旁邊，矗立著“情報(bào)科學(xué)”和“計(jì)算量理論”這兩座大山，這里的“情報(bào)科學(xué)”就是我們通常所說(shuō)的信息科學(xué)。 離散數(shù)學(xué)是研究離散結(jié)構(gòu)性質(zhì)的一門很大的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，它的研究?jī)?nèi)容十分廣泛，包括了排列、整數(shù)分拆、集合劃分、偏序集、圖論、擬陣、區(qū)組設(shè)計(jì)、編碼、凸多胞形、計(jì)數(shù)組合學(xué)、拉姆齊理論、組合優(yōu)化、幾何組合學(xué)等多方面內(nèi)容。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，往往對(duì)應(yīng)著不少研究連續(xù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象的分支學(xué)科，都有相應(yīng)的離散數(shù)學(xué)對(duì)象的分支學(xué)科，例如有許多像“離散代數(shù)拓?fù)洹焙汀敖M合交換代數(shù)”這樣的交叉分支學(xué)科。 信息科學(xué)主要研究的范圍是：在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，不同信息的取得、度量、存儲(chǔ)、傳遞、分析、處理、利用和控制的普遍規(guī)律。具體而言，信息科學(xué)又可以分為香農(nóng)信息論（用于編碼）、維納信息論（用于研究信號(hào)在噪聲中的預(yù)測(cè)、濾波、檢測(cè)及調(diào)制）和廣義信息論（用于研究計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、心理和生物中的信息處理）這三大部分。 計(jì)算量理論（又稱計(jì)算復(fù)雜性理論）主要研究的問(wèn)題有：計(jì)算的形式模型、有效性的量度、 問(wèn)題、 完備性、證明的復(fù)雜性、隨機(jī)化的計(jì)算、偽隨機(jī)性、概率證明系統(tǒng)和密碼學(xué)等，其中的“問(wèn)題”是理論計(jì)算機(jī)領(lǐng)域里最大的未解難題，非常通俗地來(lái)說(shuō)， 代表一組相對(duì)容易的問(wèn)題，而 則代表看起來(lái)非常難的問(wèn)題，因此 將意味著明顯困難的問(wèn)題其實(shí)有比較容易的解決方案。 圖4：日本的大型書(shū)店里銷售的大學(xué)數(shù)學(xué)教材 文稿|陳躍 編輯|朱善軍 |
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