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不過，要區(qū)分什么是“噪聲”，什么是“信號”，這更多是一門藝術(shù)，或者說是洞察力。你憑什么就認(rèn)為摩擦力是不重要的呢？空氣阻力就是不重要的呢？這是直覺。 經(jīng)過斜坡滾球測試，伽利略開心地發(fā)現(xiàn)了同樣時間段內(nèi)，滾球滾落的距離，呈現(xiàn)出1、3、5、7這樣的奇數(shù)比例關(guān)系，而滾落的總距離，則與花費(fèi)的總時間的平方成比例關(guān)系（1、4、9、16…）。速度雖然在變化，但卻有數(shù)學(xué)規(guī)律可循。 他繼續(xù)研究復(fù)雜的拋體運(yùn)動，天才地聯(lián)想到拋體運(yùn)動其實是水平直線運(yùn)動，與垂直的自由落體運(yùn)動相結(jié)合，由是發(fā)現(xiàn)兩個運(yùn)動的合成使得拋體的軌跡變成了拋物線！——不關(guān)心原因和結(jié)果，只看過程——而拋物線恰好是阿基米德斜切圓錐體的一邊所得到的圖形，變化的運(yùn)動軌跡，居然再次與數(shù)學(xué)巧合在一起。 伽利略最具影響力的還屬對鐘擺的研究，非常奇怪他怎么會注意到這些事物的細(xì)節(jié)，教堂里的吊燈的擺動，也能引起他的注意力，讓他用脈搏去測試，結(jié)果驚訝地發(fā)現(xiàn)不論擺動幅度多大，吊燈來回一次的時間都是不變的！ 用我們的價值觀來看，這是一個多么“閑的蛋疼”的人哪！他又去探索擺動的規(guī)律——擺線的長度之比等于時間平方之比。他沒有來得及繼續(xù)精細(xì)化這一規(guī)律，就去世了。 到后來微積分工具出現(xiàn)，擺動方程才完善出來。接著人們繼續(xù)發(fā)現(xiàn)，這個方程居然就像個萬能鑰匙一樣，可以適用到一切有類似擺動周期性的事物上去，所需要做的不過是變換一下符號，調(diào)整一下系數(shù)。 比如橋梁的震動、地震波、電路震蕩，人們后來干脆把發(fā)電機(jī)方程就叫擺動方程，一直到后來的GPS定位用銫原子鐘，還是一回事。大自然再次展現(xiàn)出了深刻的數(shù)學(xué)性。 3.微分開始。 微分起源于代數(shù)algebra。代數(shù)很早就已經(jīng)出現(xiàn)了，只不過很長一段時間內(nèi)，在中亞、印度和中國，都是以文字的方式出現(xiàn)，數(shù)字就是單詞，方程就是語句，結(jié)果就是段落。 一直到中世紀(jì)時期，才逐步出現(xiàn)了用特定符號替代文字的方式。16世紀(jì)，法國人開始使用字母，代數(shù)才大致成了今天我們看到的樣子。 1620年，費(fèi)馬和笛卡爾合作創(chuàng)立了一個神奇的組合——代數(shù)與幾何構(gòu)成的解析幾何。不但代數(shù)方程化了，甚至還可視化了！不僅是幾何的問題，一切可以用數(shù)字描述的關(guān)系，居然都可以用簡單的xy軸和在區(qū)間中的線段來表現(xiàn)。 今天的我們當(dāng)然認(rèn)為理所當(dāng)然，在四百年前，要理解到這個層面，需要好幾層的想象力突破，不然怎么是神奇的費(fèi)馬和笛卡爾才想到。（敝號去年隨筆的《費(fèi)馬大定理》很值得一看） 把微分學(xué)推動向前一大步的，還屬費(fèi)馬。發(fā)明了解析幾何之后，他遠(yuǎn)沒有停步，看到那些奇妙的圖形居然可以與代數(shù)方程聯(lián)系，他自然就想到了如何利用視圖的方式來解決代數(shù)問題，比如最大最小問題。 他發(fā)現(xiàn)通過方程的曲線圖，很容易可以看到用一條切線，與之相交于一點(diǎn)來確定方程的最大值或者最小值。 由是他發(fā)明了最優(yōu)化方法——怎樣利用代數(shù)方程來解決最優(yōu)化問題，比如給定一定條件下的最大容積、最小面積等等。
他反對笛卡爾關(guān)于光的折射原因，笛卡爾認(rèn)為是因為光在不同介質(zhì)里傳播速度不一樣，費(fèi)馬認(rèn)為不是，所以用了他的優(yōu)化代數(shù)方程進(jìn)行了模擬，也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了折射的正弦定理，由此費(fèi)馬大膽地提出了影響至今的科學(xué)原則——最短時間原理，即光總是按照能到達(dá)目標(biāo)的最短時間路徑行進(jìn)。 也就是說，通過對光的觀察，又發(fā)現(xiàn)了宇宙按照精確的數(shù)學(xué)運(yùn)轉(zhuǎn)的特點(diǎn)。 代數(shù)的迅猛發(fā)展，更多的學(xué)人開始用解析幾何研究曲線——其實也就是研究代數(shù)中的指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。正是對數(shù)的研究，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上繼π這個數(shù)字之后的第二個“幽靈”——自然對數(shù)底數(shù)e。 這兩個數(shù)字確乎詭異——它們都是無限不循環(huán)的數(shù)字，還偏偏就在自然界中極為普遍。最可怕的是，把這一對“幽靈”全部置換為二進(jìn)制數(shù)的話，發(fā)現(xiàn)e的小數(shù)部分前17位正好與π的小數(shù)部分第5-21位是倒序關(guān)系。長達(dá)17位的倒序關(guān)系，應(yīng)該不會是簡單的巧合，而是暗含了宇宙的玄機(jī)。玄機(jī)。 解析幾何+曲線函數(shù)，馬上激發(fā)了兩個天才頭腦的思考——牛頓和萊布尼茨。 22歲的牛頓就這么開始畫，在xy軸的圖上，距離和時間為兩軸，以恒定速度運(yùn)行的物體就是一條直的斜線，斜線的斜率slope就是距離s/時間t，也就是速度；那么如果是變速運(yùn)動物體，比如加速或減速運(yùn)動的物體呢，xy軸上的y軸就變成了v速度，速度此時就變成了一條曲線，已知量就從距離s和時間t變成了速度v和時間t。 那么在這個新的xy軸圖上，距離是什么？距離就是速度v乘以時間t，體現(xiàn)在圖形上，就是曲線以下的面積！ 就像當(dāng)年鐘表匠哈里森，把經(jīng)度測算的天文學(xué)問題，轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾卧O(shè)計一座精確運(yùn)轉(zhuǎn)不受海浪、溫度、鹽度影響的航海鐘的機(jī)械問題一樣，牛頓在處理變速計算問題時，無意中把此前糾纏了人類兩千余年的曲線和曲面面積計算問題給轉(zhuǎn)變了過來。 曲面面積其實就是變速運(yùn)動物體在一定時間內(nèi)行駛過的距離，而這個距離是可以用瞬時速度（微分）來累加（積分）實現(xiàn)的！反過來，一切關(guān)于以不斷變化的速率發(fā)展的事物的問題，都可以看作解析幾何里的曲線面積求解問題。 怎么計算曲線下面的面積？先沿用阿基米德和費(fèi)馬們的方法，把曲線下x軸，也就是時間軸細(xì)分出一個細(xì)條出來，小到可以把它看作一個矩形，這個很小很小的時間段可以寫成dx，d就是differential微分的意思，那么這個細(xì)條的面積dA就等于dx乘以高y，就是dA=ydx，把方程的兩邊同時除以dx，就得到了dA/dx=y。意思是說，這個無限小的時間段里的面積，其實就等于速度y。 于是，牛頓就把曲線的面積A(x)與曲線本身y(x)也就是速度變化的軌跡，以及曲線上每一點(diǎn)的速度dy/dx也就是曲線各處的斜率，聯(lián)系了起來——這些斜率，也就是曲線函數(shù)y(x)的導(dǎo)數(shù)。微分就是無窮小的變化，導(dǎo)數(shù)就是兩個微分量的比值，關(guān)系簡述如下： A(x)面積變化函數(shù)?導(dǎo)數(shù)?曲線函數(shù)y(x)?導(dǎo)數(shù)?dy/dx斜率。核心是導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)的英文來看很明顯：differential coefficient——微分系數(shù)，用于微分的聯(lián)系量；另一個單詞是derivative，衍生物，從面積（存量）的變化，衍生出曲線的變化，衍生出曲線上每一點(diǎn)（流量）的變化。 放大了看，求解曲線面積問題，以及知道斜率求解曲線的問題，不僅僅是解決曲面面積或者速度問題的方法，它可以用于解決所有以不斷變化的速率變化發(fā)展的事物，隨時間行進(jìn)，而累積起來的變化量之間關(guān)系的問題——知道了隨時間變化的量，可以求解變化的速率，反之亦然。 牛頓把這稱之為fluxion流數(shù)術(shù)，用于解決兩個問題：其一，已知流量，怎樣知道流數(shù)？就是已知曲線（速度的變化曲線），求解曲線的斜率——瞬時速度，或者說，曲線下面積的變化率問題，也就是微分。 其二，已知流數(shù)，怎樣求流量？就是反過來，知道了斜率，面積的變化率，或者每個點(diǎn)的瞬時速度，如何倒推出曲線方程？也就是如何知道曲線函數(shù)？也就是積分，求曲線下曲面的面積問題。 一個關(guān)鍵是牛頓手頭已經(jīng)可以使用冪級數(shù)作為微分和積分的工具了，級數(shù)這個工具最早來源于15世紀(jì)的印度，后來被牛頓同時期的劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯拓展為《無窮計算》。 牛頓仔細(xì)鉆研了沃利斯對級數(shù)的使用，接著就把級數(shù)運(yùn)用到曲線面積問題上來——也就是說，牛頓同樣也是在做綜合前人所有研究的工作——阿基米德的無窮切割，笛卡爾的解析幾何，費(fèi)馬的切線和斜率，沃利斯的級數(shù)。微分分解用的就是切線和斜率法則，積分則是用的無窮級數(shù)技術(shù)。
作者仔細(xì)地展現(xiàn)了牛頓處理微分的過程——這是非常典型的微積分思維，也可以稱之為中庸之道，既不過細(xì)深究，又不完全放過細(xì)節(jié)——這個細(xì)節(jié)也解開了我一直以來的疑問，牛頓和萊布尼茨確定的微分求導(dǎo)的法則表是怎么來的，也就是，憑什么說對曲線y=x^3求導(dǎo)，dy=d(x^3)=3dx^2？ 所謂微分，就是指Δy和Δx，即xy軸上一個小變動，如果把兩者的變動無限縮小，就變成了dy和dx。那么y+dy=(x+dx)^3，把方程右邊展開：y+dy=x^3+3x^2dx+3x(dx)^2+(dx)^3。 由于dx極小，所以，右邊的展開式中，其實最后兩項3x(dx)^2+(dx)^3可以視為零；那為什么不把3x^2dx也視為零呢？它也很小，只不過沒有后面兩項更小。 這就是微積分的中庸之道——既重視那微小的增長3x^2dx，又不能過度，該忽略的還是要忽略，比如更小的3x(dx)^2+(dx)^3。所以，在牛頓看來，y+dy=x^3+3x^2dx。 有因為y=x^3，所以，方程兩邊都化簡，去掉一個y，就剩下dy=3x^2dx，此時兩邊再同時除以dx，就得到了y=x^3的微分結(jié)果dy/dx=3x^2。 由是，牛頓繼續(xù)算冪函數(shù)y=x^4，顯然，結(jié)果就是dy/dx=4x^3。這樣就推導(dǎo)出了微分法則——x^n的微分導(dǎo)數(shù)就是d(x^n)=nx^(n-1)。其實就是近似哈，說到底，微分求導(dǎo)就是一個簡化計算。 |
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