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說微積分是圍繞著“極限”展開的。 這種說法不準確。 微積分真正的核心思想，當然也是數學的核心思想，是：
而這一切，跟一個叫作“極限”的東西有關。 什么是極限？ 首先我們想一想函數曲線在某點處切線的斜率問題。這個在中學里是做不來的。我們會的是，找到過兩個點的直線的斜率，而切線只過一個點。 微積分里是這樣解決這個問題的。 我們仍然看過兩個點的直線斜率，要求其中一點是切線過的那個點，第二點則放在曲線上，只是，要和第一個點很近。 這樣，起碼我們得到了一個切線斜率的近似值。 這里的指導思想，是將做不到的事情，變成可以做的事，即使不那么完美。 但是，如果故事僅止步于此，那就沒有必要開設微積分了，在中學就會了。 接下來，我們要做的事情，就是去追求“完美”。 我們讓兩個點不斷接近，直至成為一個點，可以想象，原先過兩個點的割線，最終會變成那個我們要找的切線。  割線變切線 同時，割線斜率的表達式在兩個點最終合攏成一個點之后，將最終達到一個值——切線的斜率。用數學的語言描述，設函數為f(x)，兩個點的距離是h，則切線在點x處的斜率可以寫成一個極限： 如果這個極限可以計算的話，我們就可以求切線斜率了！ 答案是：可以計算。 目前為止，我們把不能計算的，變成了可以計算的。 但故事到這里才剛剛開始。因為，這樣的計算一般來說，非常復雜。 不過，我們的指導思想還有一條：可以想辦法把復雜的事情，化成簡單的事情來做。 所以，微積分接下來的事，就是怎么去簡便的計算極限了。 更準確地講，就是我們如何用極限去算微分，算積分等等。  微分，定積分，泰勒級數 對于微分（導數）和積分，我們須找出計算的簡便而系統的方法，不然其極限將非常難以計算。尤其是定積分的計算，我們發現一個巧妙的方法，使得其關鍵步驟是微分的逆運算，這讓我們對于定積分的計算問題，解決了大半。而對于級數，主要是判斷其收斂性的方法。（級數不需要算極限，只是需要算導數。） 最后，要理解微積分，你要知道微分，積分，級數都是干嘛的： 微分是計算函數值的瞬時變化率；積分可以算面積，體積，曲線長度等等；級數則是把函數寫成一個無限項數的“多項式”或“三角函數”的組合形式，以便于函數的近似或分析。 如果這些你都理解了，可以說，你基本搞懂了微積分。 最后補充一下，微積分的工具，還可以從一個自變量的函數擴展到多個自變量的函數。比較類似，但內容更加的豐富。（多元函數的微積分需要一個學期甚至以上的時間來探討。） |
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