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這期推送可能稍微數(shù)學味濃一點，不過別擔心我們會一步一步地開始，先把我們的目的給出來，我們是想要得到傅里葉變換的表達式，更精細一點地說，我們想要得到下面這個表達式： 
等式1
傅里葉變換是一種將現(xiàn)實世界信號分解為不同頻率和振幅的正弦波的工具。因為它能夠廣泛地應用于信號處理（如了解聲音信號中低音頻率和高音頻率的強度）、圖像處理、雷達等，所以我們對它的興趣其實還挺濃的。從數(shù)學技術上講，傅里葉變換可以將時域信號轉換為頻域信號。
圖1.
下面讓我們從最基本的東西開始。我們假設有一個物體沿圓形路徑移動，距離圓心的距離為A米，如下所示。
圖2.
由基本的圓周運動知識我們知道如果物體在t秒的時間內發(fā)生θ弧度的角位移，則其角速度ω可以寫成：
等式2。
物體完成一個完整圓周（2*π 弧度）或到達其出發(fā)點所花費的時間稱為時間周期。在我們的分析中，我們將時間周期視為T。
圖3.
所以現(xiàn)在角速度ω現(xiàn)在可以寫成
公式3
這里我們認為時間段只是T，但通常做法是將時間段設置為2T ，盡管這會影響我們得到的最終結果，但無論是T還是2T ，在本質都是一樣的。
圖4.
現(xiàn)在，該圓上的任意一點都可以用x和y坐標表示，我們的物體以T秒的時間段完成整個圓周運動時，我們繪制出不同時間的y值。該軌跡的圖形如下所示。
圖5.
該圖是沿y軸的一維運動。它遵循正弦曲線，從圖4中可以知道：
等式4。
接下來讓我們綜合一下到目前為止我們了解的信息：
等式5。
在圓周運動中，Omega ω 表示角速度，現(xiàn)在當我們沿y軸（一維）追蹤運動時，ω 表示角頻率，我們將在其余的分析中使用這種表示形式。上面的表達式僅給出了正弦波的特定形狀。我們可以通過下面的表達式概括任意振幅和角頻率的正弦波。
等式6。
接下來，如果我們繪制整個時間段T內不同時間的x值，我們將看到如下所示的圖。
圖6.
該圖是余弦曲線圖，再次利用圖4可以寫成
等式7。
我們可以像對y進行同樣的替換，得到
等式8。
上面是余弦的表達式，我們可以用一下誘導公式，將上述方程以正弦形式寫成如下形式
等式9。
現(xiàn)在，當我們看到圖5和圖6時，我們會看到在時間0時，y從0開始，而x從A或最大值開始。x和y的相位差為π/2。值得注意的一點，x和y仍然表示物體在圓上的位置，但我們已經(jīng)將它們隔離開來，并試圖將它們隨時間的進展獨立地表示為時間函數(shù)。
這樣做的原因是我們現(xiàn)在可以將x或y隨時間的進展與任何現(xiàn)實世界的時間變化信號（例如電信號或聲音信號（壓力波）等）相關聯(lián)。
接下來我們可以討論一下傅里葉級數(shù)，可能與我們迄今為止討論的內容略有不同，但我們將反向進行并嘗試與迄今為止討論的內容聯(lián)系起來。因此，傅里葉級數(shù)背后的想法是，任何由f(t)定義的信號都可以用正弦和余弦的無窮和來表示，數(shù)學上寫為
等式10。
這也稱為合成方程，該方程適用于時間周期為T的信號f(t)，我們可以將方程分為兩個項，并檢查每個項的圖形是什么樣子，然后我們就可以對整個方程有一個了解。讓我們首先考慮余弦項，展開如下所示，為了繪制圖形，時間周期T被視為1，并且振幅a_n選擇0.1為增量。
等式11。圖形表示如下。
圖7.現(xiàn)在來看第二項正弦項及其對應的圖形，參數(shù)的設置與余弦項是一致的
等式12。
圖8.
這些圖是該級數(shù)中前幾個項的近似值。正弦級數(shù)的圖始終從0開始，而余弦級數(shù)的圖始終從最大值開始，這意味著它們的相位差為π/2。如果信號始終從0開始，那么我們只能使用正弦項，但使用余弦項可以讓我們獲得相位范圍從0到π/2的信號。當我們將兩者結合起來時，我們就可以看到圖形。
圖9.
我們的下一個里程碑將是推導出這些系數(shù)的方程。即將進行的推導需要對微積分有所了解，讓我們對f(t)在時間段T內的積分進行求導，以找到系數(shù)。
公式13。
對于n從0到無窮大∞的所有值，正弦積分的結果為0。積分很容易計算。對于n > 0 的余弦積分，積分減小到0。但對于n=0
公式14。
我們可以看到a_0是一個常數(shù)（在電信號的背景下也稱為直流偏移），它是函數(shù)f(t)在T上的平均值，現(xiàn)在知道a_0 ，我們可以將傅里葉級數(shù)表達式重寫如下。
公式15
現(xiàn)在我們將cos(2*m*π*t/T)乘以f(t)，并在時間段 T 上對其進行積分。
公式16
讓我們逐一簡化右邊的項。第一項涉及a_0，a_0為常數(shù)，積分結果為 0。
這里有一點積分的計算技巧，大家可以在分析課上學到，我們這里就不再詳細說明，現(xiàn)在整理一下我們的結果：
公式17。現(xiàn)在，我們已經(jīng)推導出a_n的方程。對于b_n，我們將f(t)乘以sin(2*m*π*t/T)，然后在周期T上積分，然后執(zhí)行與a_n相同的步驟，得到b_n ，如下所示。
公式18。
如果需要的話，我們可以就此打住，我們可以將其稱為三角形式的傅里葉變換。給定任何性質的周期信號，我們都可以使用上述結果完成傅里葉變換應該做的所有事情。但我們將繼續(xù)推導文章開頭提到的復指數(shù)形式。在我們繼續(xù)之前，讓我們簡單提一下偶函數(shù)和奇函數(shù)。
上面已經(jīng)證明a_n是n的偶函數(shù)，b_n是輸入n的奇函數(shù)，接下來我們將在公式用歐拉恒等式代替余弦和正弦。
我們在上一個推導中做了很多簡化，但大多數(shù)只是簡單的代數(shù)運算。現(xiàn)在我們將利用a_n是n的偶函數(shù)，而b_n是n的奇函數(shù)這一事實。
現(xiàn)在我們可以猜測下一步該怎么做了。
公式19。
這樣我們就得到了指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的綜合表達式。我們將利用c_n中a_n和b_n的結果來簡化c_n。
公式20。
因此，我們簡化了c_n 。這可以視為任何周期信號T 的傅里葉變換，但傅里葉變換最初是針對非周期信號的，我們將繼續(xù)尋找教科書上的傅里葉變換。讓我們首先總結一下我們最近的發(fā)現(xiàn)。
到目前為止，本文中得出最新結果所涉及的步驟似乎很簡單，現(xiàn)在要解決非周期信號，接下來的步驟可能會讓人有點不舒服，但我們會嘗試用適當?shù)睦碛芍С炙鼈儭Ｒ虼耍瑢τ谌魏畏侵芷谛盘枺覀兛梢哉f它的時間周期是無窮大 (∞)。我們需要將這個想法代入上述方程中以得出傅里葉變換。讓我們看一下周期信號的c_n是什么樣子。
圖10.
請注意，這些值是離散的，即c_n 的值是n= -2、-1、0、1、2、3，并且沒有介于兩者之間的值。用f(t)中的c_n的完整表達式代入。
公式21。
引入頻率。角頻率與頻率的關系為。
現(xiàn)在我們有兩種方式來表達傅里葉變換，要么用角頻率 ω，要么只用頻率 f，我們將使用角頻率ω。現(xiàn)在我們將考慮時間段T趨于∞。
當T接近∞ 時， Δ ω接近0，nΔω變?yōu)檫B續(xù)變量ω
圖11.
求和變成積分，我們可以將 Δω 重寫為 dω。
當認為函數(shù)f(t) 的周期為T 時，它被限定在0 和 T之間。讓我們將函數(shù)移動到-T/2和+T/2之間，并且不會發(fā)生任何變化，因為周期仍然為相同的T。我們這樣做是因為我們可以平滑地將極限從-∞ 過渡到 +∞ 。
讓我們用∞替換T并定義f(ω)
最后一個表達式是逆傅里葉變換的表達式，最后我們得到了傅里葉變換的表達式，即
這就是傅里葉變換。
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