史寧中：數學的抽象

希爾伯特非常敬佩前輩康德。在出版紀念高斯的文集時，希爾伯特把1898～1899年給學生授課時的講稿編寫成講義《幾何基礎》，把康德的這句話作為卷首題詞。

對于數學，抽象主要包括兩個方面的內容：數量與數量關系，圖形與圖形關系。這就意味著，數學的抽象不僅僅要抽象出數學所要研究的對象，還要抽象出這些研究對象之間的關系。與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關系更為本質。

人們把現實生活中的數量抽象為數，形成自然數，并且用十個符號和數位進行表示，得到了自然數集。在現實生活中，數量關系的核心是多與少，人們又把這種關系抽象到數學內部，這就是數的大與小。后來，人們又把大小關系推演為更一般的序關系。

由大小關系的度量產生了自然數的加法，由加法的逆運算產生了減法，由加法的簡便運算產生了乘法，由乘法的逆運算產生了除法。因此，數的運算本質是四則運算，這些運算都是基于加法的。通過運算的實踐以及對運算性質的研究，抽象出運算法則。為了保證運算結果的封閉性，就實現了數集的擴張。在本質上，數集的擴張是因為逆運算：為了減法運算的封閉，自然數集擴張為整數集；為了除法運算的封閉，整數集擴張為有理數集。

數學還有第五種運算——極限運算，涉及數以及數的運算的第二次抽象。為了很好地描述極限運算，需要解決實數的運算和連續；為了很好地定義實數，需要解決無理數的定義和運算；為了清晰定義無理數，需要重新認識有理數。于是，小數形式有理數的出現，完全背離了用分數形式表達有理數的初衷。這個初衷就是：有理數是可以用整數表示的數。它表述的現實背景是：部分與整體的關系，或者，線段長度之間的比例關系。

1872年，基于小數形式的有理數，康托用基本序列的方法，通過有理數列的極限定義了實數，解決了實數的運算問題；戴德金用分割的方法，通過對有理數的分割定義了實數，解決了實數的連續性問題。1889年，皮亞諾構建算術公理體系，重新定義了自然數。1908年，策梅洛給出了集合論公理體系。借助這一系列的工作，人們終于合理地解釋了數和數的運算，合理地解釋了微積分，構建了現代數學中關于數及其運算的理論基礎。

由此可見，雖然人們在很早以前就抽象出了數以及四則運算，抽象出了數與數之間的關系，甚至建立了基于極限運算的微積分，但到了20世紀初，人們才合理地解釋了什么是數，以及各種關于數的運算及其法則。

圖形與圖形關系的抽象，也經歷了同數量與數量關系相似的抽象過程。現實世界中的圖形都是三維的，幾何學家研究的對象，諸如點、線、面等都是抽象的產物。歐幾里得用揭示內涵的方法給出了點、線、面的定義，比如，點是沒有部分的那種東西。但是，凡是具體的陳述就必然會出現悖論：按照這樣的定義，應當如何解釋兩條直線相交必然交于一點呢？兩條直線怎么能交到沒有部分的那種東西上呢？此外，空氣是沒有部分的，空氣是不是點呢？即便如此，歐幾里得幾何仍然是數學抽象的典范，支撐了數學兩千多年的發展，并且成為近代物理學發展的基礎，主要表現在伽利略和牛頓的工作中。

隨著數學研究的深入，特別是非歐幾何以及實數理論的出現，人們需要更加嚴格地審視傳統的幾何學。1898年，希爾伯特在《幾何基礎》這本書中，重新給出了點、線、面的定義：用大寫字母A 表示點，用小寫字母a 表示直線，用希臘字母 表示平面，這完全是符號化的定義，沒有任何涉及內涵的話語。那么，完全沒有內涵的定義也能成為數學的研究對象嗎？事實上，希爾伯特更為重要的工作在于他給出的五組公理，這五組公理限定了點、線、面之間的關系，給出了集合研究的出發點，構建了幾何公理體系。希爾伯特集合公理體系的建立，完成了幾何學的第二次抽象。在形式上，幾何學的研究已經脫離了現實。

原文引自史寧中著《數學基本思想18講》，北京師范大學出版社2016年出版，有刪節。

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