1 1=2 也算一個偉大的發現嗎？| 今日有書

| 假如我們不會數數

1+1=2 也算一個偉大的發現嗎？這個問題在不同的人群中必然會得出不同的答案。讓我們姑且把答案分為“否定”和“肯定”兩種類型好了。

如果去問問已經接受過啟蒙教育的小朋友們，這個問題看起來就會十分“愚蠢”了。 因為小朋友們很可能會回答，他知道1+1=2，也知道怎么從1 數到10，他甚至能數到 100，  老師剛剛在課堂上講過，十分簡單，他肯定不會把這個公式當成“偉大發現”。

但如果是去問數學家呢？

數學家一定會告訴你，這個公式十分偉大，因為它代表人類已經掌握了計數的本領。

可以說，讓我們在數學考試中十分頭疼的一切難題，都是從人類掌握數數技能之后才開始的。

我們現在無法想象，如果沒有計數的能力，數學中一切抽象而復雜的內容要通過什么方式去表達。

等等，或許我們可以做一些嘗試，嘗試一下如果人類沒有計數能力，會出現什么樣的事情吧！

讓我們從伸出自己的雙手開始好了，你一定在猜測我想問什么：你的手總共有幾根手指？

或許你蒙對了，真的在不知道“雙”的概念時就伸出了兩只手，那么你能回答“你的手總共有幾根手指”這個問題嗎？

還是不能，因為你不會計數啊！

我們可以大膽想象，如果不會計數，那么“數量詞”這種東西，也不應該存在于世。如此一來，“幾根手指”中的“根”，就只能代表“植物莖干下部長在土里的部分”，或者“事物的本源”之類的意思，并不能作為描述“長條狀物體的數量”的量詞出現。

至于說“幾根手指”中的“幾”也會被削減很多意思了。畢竟你并不擁有計數能力，那么“幾”這個字里“詢問數量多少的疑問詞”的意義，也會消失不見了。

這實在是太可怕了，如果沒有計數能力，別說是數學不會有什么發展，就連語言文字都會變得一塌糊涂。

| 我們如何掌握計數？

提到這個問題，剛剛可能還對1+1=2的重要性講得眉飛色舞的數學家們，就無法給出一個令人滿意的答案了。因為到現在為止，我們無法考證人類是從何時開始第一次使用計數能力的。

正因為如此，我們也很難知道人類真正掌握計數能力的原因。或許可以這樣理解：數字并不是人類發明創造出來的，而是如同原子、引力這類東西一樣，原本就存在于自然界當中，我們不是創造了它，只是在運用它罷了。

之所以會有這樣的想法，是因為不光人類掌握著計數能力，很多動物也有著類似的本領。

先從靈長類動物開始說起好了。2010 年的一項研究指出，經過訓練的獼猴，可以在屏幕上把不同的數點結合起來做加法運算，并能得出正確的和數。這些獼猴的計算準確 率高達76%，遠遠高于靠瞎蒙亂猜得出答案的準確率。另外，黑猩猩在經過訓練之后，也能認識和運用數學符號——這種能力在之前一直被認為只有人類才具有。

如果說動物經過訓練掌握了計數能力，還是在人類的干涉之下完成的，那么有些動物天生具備的計數能力，就令人十分驚嘆了。

比如蜜蜂，它們能夠數出4種包含不同元素的圖案，幫助它們順利記住食物的來源，在復雜的環境當中生存下去。

也難怪 19 世紀德國數學家利奧波德·克羅內克會說：“上帝創造了整數，其余都是人做的工作。”

| 人類為了掌握計數都做了啥？

雖然我們現在無法判斷，人類是從什么時候開始掌握了計數能力，不過依然有一些考古發現，可以幫助我們去理解遠古人類對“數數”的認知。

典型的案例之一，就是“伊尚戈骨骸”。

1960 年，比利時的地質學家在剛果民主共和國境內，發現了一些刻著線的骨頭。這些骨頭來自狒狒，上面的刻痕數量繁多，一開始被認為是當時的人們用來簡單記事的，但數學 家們認為，這些有22000 年歷史的骨骸所擁有的豐富的數學意義，遠遠不是用來記事這么單純。

以其中一根骸骨上的刻痕為例。上面的刻痕從三變成了六，從四變成了八，從十變成了五，這很可能說明當時的人們不僅有了計數的概念，同時也有了加倍、減半的想法。

換句話說，如果有人能帶著一副撲克牌穿越回那個時代，同樣能和當時的人一起玩斗地主，因為當時的人類已經能喊加倍搶地主了！

更令人驚訝的是，除了加倍和減半的概念之外，當時的人們很有可能對奇偶數以及質數有了一定的認識。比如，在某一根骨骸上面， 刻痕是9、11、13、17 之類奇數， 而有的骸骨上包含了10 ～ 20 之間所有的質數。

除了伊尚戈骨骸之外，考古研究中還發現過更早的計數棒，骨頭 上有29 道刻痕。雖然學者們還無法真正搞明白這類骨骸到底有什么作用，不過有人猜測說，這是用來記錄陰歷的工具。

| 奈何姓萬啊！

有了刻痕計數，距離人類真正掌握計數本領還有一段距離。為何這么說呢？讓我們從很多人都在兒時聽過的《奈何姓萬》的故事開始說起。

這則故事中說，有個有錢的財主，他家的人世世代代都不識字。財主覺得這樣不好，就聘請老師給自己的兒子上課，這個老師就從簡單的字開始教起。在紙上寫了一劃，教他說：這個字念“一”；在紙上寫了兩劃，教他說：這個字念“二”；在紙上寫了三劃，教他說：這個字念“三”。

這時，財主兒子感到很高興，原來寫字這么簡單啊！于是就把筆一丟，對他的父親 說 :“我已經學會了。”他的父親也很開心，依著兒子把老師辭退了。

不久以后，財主準備找他的一個姓萬的朋友來吃飯，讓他的兒子早上起床寫個請貼。過了很久還沒有寫成，財主就去催促兒子，沒想到兒子生氣地說：“天下的姓氏那么多，干嘛非要姓萬不可。我從一大早開始寫到現在，才寫完五百畫！”

這則故事來自明朝著名教育家劉元卿的《應諧錄》，教育我們不要偶然學會一點點東西就自以為了不起，更不要淺嘗輒止。

除去這個意義之外，我們還可以從這個故事里發現一些數學上的意義。財主的兒子掌握了“一”，就如同幾萬年前的人類掌握了用一道刻痕來計數一樣。我們有十根手指——好的，現在你有計數的本領了，終于可以數清楚你有幾根手指了——數到十也沒什么問題。可是，當數字達到“萬”的時候，無論是刻痕還是手指，就不那么方便了。

從一到萬，數字怎樣才能有更好的表達方式呢？

| 換個位置，換個意義

我們先來看看古巴比倫人是怎么應對的。

為了表達更大的數字，古巴比倫人創造性的將數字列成排，讓數字的位置和數字的符號本身擁有了同樣重要的意義。

和我們現在習慣使用的十進制不同，古巴比倫人用的是60 進制。當時他們通過楔 形文字來表達數字，一個縱向的細楔形表示1，好幾個這樣的楔形組合起來，可以表示 2 ～ 9，接下來，他們又創造了一個橫向的粗楔形來表示10，多個 10 的楔形符號組合起 來，可以表示 20、30、40 和 50。通過這些符號，數字 1 ～ 59 就可以書寫下來了。

這聽起來似乎沒什么大不了的？真正有趣的事情，是發生在古巴比倫人記錄60的時候。

當表示60 這個數字的時候，他們并沒有再用6 個 10 的符號進行組合，而是在左邊 開始寫出新的一列，寫入數字 1 的符號來表示。

這和我們今天用來表示“10”的方法非常類似。我們并沒有用新的符號去表達“10”， 而是把“1”放在了左邊，賦予了它新的意義——10個1。

這就是所謂的位置計數法，它通過讓數字待在不同的位置，用來表達出更加復雜、龐大的數值。

當古巴比倫人用60 進制來計數的時候，古印度人用10 進制作為通用的數字系統——和我們今天一樣。換句話說，這個系統的數字以 10 位進制，逢10進 1。

順便要告訴大家，古印度人不僅是使用10 進制的先驅，也是我們現在常用的阿拉伯數字的發明者。

這聽起來似乎有些名不副實，但事實上，這套數字早是由古印度人發明的，后來由阿拉伯人帶入歐洲。它與羅馬數字共存于歐洲長達數個世紀之久，因為書寫簡便等原因，逐漸成為主流。 直到15、16 世紀，隨著印刷技術的逐漸發展，識字的人越來越多，書寫也越來越標準化，這套數字才定格成我們現在看到的模樣。

本期話題：假如不會數數會怎樣？比如說，女人的年齡就永遠是個秘密了！還會發生什么事情？請粉絲們在留言區寫下你們的腦洞吧！

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圖書簡介：

本書將用有趣的手繪方式，把人類歷史上具有影響力的10 個數學公式介紹給讀者。我們將從每個數學公式出現的歷史說起，用簡單易懂的語言帶著每一個閱讀本書的讀者一起，跟著人類發展留下的腳印， 探尋公式背后的哲思。想拿走的小伙伴們，趕緊評論區走起！