理解微積分真諦：積分——降維投影

精要復習

前兩課我們首先講了導數/微分：

導數的“導”，理解為“方向”。

方向決定了函數的運行，所以“導數”是函數的原因，函數是“導數”的結果。

進一步，借助泰勒展開公式加深了對導數“原因”作用的認識。

泰勒展開公式，是對展開點附近的函數，進行的一個“誤差可控多項式仿真”。

導數（原因），把結果和現狀聯系在了一起

不定積分

函數 F(x) 的導函數為 F'(x)，如果定義 F'(x)=f(x)，則：

f(x) 是 F(x) 的導函數；

F(x) 是 f(x) 的原函數。

這里注意，F(x) +C 的導數也是 f(x)，所以

f(x) 有一族原函數—— F(x) +C

（C在數學里表示常數，常數的導數為0）

表示為：

等號左邊那堆，叫做 f(x) 的“不定積分”。

為啥“不定”呢？

主要是為了相對于下面要講的“定積分”，而且不定積分有“一族”而不是“一個”（下面會講）。

重要的微積分維度意義

思考一個問題，為什么從原函數 F 到 導函數 f ，沒有常數C的出現；而從導函數 f 到原函數 F 就突然多出來一個 常數 C 呢？

因為，原函數與導函數不在一個維度上！

原函數比導函數低一個維度！

為什么這么說？

舉個例子，一個燈下的三維物體，比如如一個橄欖球，向墻面上的投影可能是一個橢圓，但是換一個角度再去投影，影子完全可能是另一個大小/形狀，有可能變成一個圓形！

即，三維物體有無窮多個二維的投影。

正如，導函數有無窮多個原函數！

低維的原函數 是 高維的導函數 的投影。

常數 C ，就是代表燈與物所成的一系列角度罷了。

原因在高維 結果在低維

原因（導函數）在高維，比如小車的速度 v，這是本身一個高維的信息，因為它：

1. 決定了低維信息位移 s；
2. “不直觀”，如果不投影低維的位移信息，我們甚至不易理解；
3. 表達簡單，“高維的表達反而簡單”。

第三條詳細解釋一下，這個原理叫：

高維低階

舉個例子，位移 s=x^2 +x+1，則速度v=2x+1。

發現什么了？v比s的階低，v是1次多項式，s是2次多項式。

高維下的表達，往往就比低維下簡單！

學過工程制圖的同學深有體會，一個復雜結構，如果畫在平面圖中，需要有：正視圖/左視圖/上視圖/甚至斜視圖/剖面圖等等，特別復雜，但如果在三維作圖軟件中作三維模型，一個模型就足夠了。

就是這個道理。

物理學發展史中，這樣的故事層出不窮。最開始探索的物理學家的理解比較淺也比較局限，提出的理念往往很復雜，后來的物理學家在他們基礎上，統一整合了一類理論，提出新的理論反而是形式簡潔美妙，這就是升維思維的奇功。

MATLAB求不定積分

不定積分，在數學上最大的意義就是求原函數，手算方法很多：

換元積分法 分部積分法 等

教材上都一樣，咱們直接用MATLAB解決問題：

SO EASY!

定積分

提問，如何求一個曲線 f(x) 下包圍的面積？

我們采用分割法，把曲線下分割成許多小矩形，如圖：

當分割得越來越小，面積就越來越接近真實值。

然后把它們加起來，這就是“定積分”。

這就是定積分在書本上的定義，從中也能看出，積分其實就是求和，你看積分號長得就像一個拉長的 S 啊，S就是 sum 唄！