蘇聯數學三巨頭之蓋爾范德

俄羅斯數學一直是數學界中強大的存在，孕育出了許多偉大的數學家。在蘇聯時期，這一地區的數學水平更是達到了相對的頂峰，誕生了許多數學最高獎菲爾茲獎和沃爾夫數學獎得主。在這一時期，具有領袖作用的便是被稱為蘇聯數學三巨頭的柯爾莫哥洛夫，蓋爾范德和沙法列維奇。實際上，他們三人剛好是具有師徒關系的三代數學家，年齡也巧合地成為了差為10的等差數列。而今天我們所介紹的正是其中的蓋爾范德。

對于蓋爾范德在數學界的崇高地位，1990年沃爾夫數學獎得主，俄羅斯數學家沙皮羅說到：

蘇聯數學界有三位泰斗，他們就是柯爾莫哥洛夫、沙法列維奇和蓋爾范德，其中蓋爾范德是最偉大的。他既具有沙法列維奇那樣極深的數學造詣，又具有柯爾莫哥洛夫那樣廣博的知識。此外，蓋爾范德還有一個特別的才能：他能夠同時從事幾個基本領域的研究而并不感到增加工作的困難。在這些這方面，蓋爾范德是無與倫比的。

在整個20世紀的數學家中，蓋爾范德也絕對是最耀眼的之一，堪稱數學'發動機'。

蓋爾范德

伊斯雷爾·蓋爾范德(Izrail Moiseevich Gelfand,1913~2009)是蘇聯著名數學家，1978年首屆沃爾夫數學獎得主。蓋爾范德出生于一個烏克蘭的猶太人家庭，家境十分貧寒，溫飽都是很大的問題(有一種說法是，蓋爾范德的父親原先是工廠經理，屬于被打壓的資產階級分子，因而變得貧窮)。迫于貧困的壓力，蓋爾范德沒有完成中學學業就輟學務工。蓋爾范德自幼就迷戀數學，上中學的時候常常想象更高級的數學是如何的有趣，但貧困的父母卻負擔不起哪怕僅僅一本高等數學書。但15歲的時候，他獲得了這個機會。蓋爾范德不幸患上闌尾炎，需要到敖德薩動手術，于是他威脅父母如果不給他買高等數學的書，那他就不去動手術。盡管一貧如洗，但愛他的父親還是咬牙買了一套高等數學書的第一冊給他，他的父親也只負擔得起一冊的費用。

帶著這本講述平面解析幾何和初等微積分的書，蓋爾范德興高采烈地去了敖德薩的醫院。在住院的幾天時間里，蓋爾范德就輕松讀完并掌握了書里的知識。但殘酷的現實幾乎使得蓋爾范德的理想破滅，貧困交加的生活逼迫了他的父親帶著他前往莫斯科討生活。他們只能做些零零散散的雜活過日子，總是飽一頓饑一頓。這時的蓋爾范德才17歲。我們很難想象在這樣艱難的環境下長大的蓋爾范德居然日后將成為整個20世紀最偉大的數學家之一，但他確實做到了，這樣堅韌不拔的品質是這個奇跡的關鍵所在。

繁重的工作之余，蓋爾范德要么在列寧圖書館研讀數學，要么去莫斯科大學的課堂和討論班聽講，幸運的是，無論是圖書館亦或大學，都沒有拒絕這位“一無所有”，甚至有些“蓬頭垢面”的年輕人。在圖書館和大學里，蓋爾范德結識了不少數學方面的學生和老師，通過和他們的交流討論，加之本身過人的天賦，自己的數學水平飛速提升，沒過多久就達到了甚至超過了一名數學本科生的水平。有了這樣的能力，蓋爾范德開始在夜校里教課，剛開始還只能教初等數學，后來完全可以教大學數學了。盡管是“草根”出身，但憑借高超的數學能力和天賦，蓋爾范德的名聲還是逐漸流傳開來。

蓋爾范德學習數學絕不僅僅滿足于書本知識和做題，他非常喜歡思考知識背后更深層次的內涵。據他自己說，中學時候通過獨立思考便已能推導出微積分中的泰勒公式等內容了。

最終在1932年，在蓋爾范德不到20歲的時候，莫斯科大學破格錄取他為研究生，并且當時正“如日中天”的柯爾莫哥洛夫成為了他的導師。這對于連中學文憑都沒有的蓋爾范德來說，確確實實是一個奇跡，也是命運的轉折點，這是他個人的幸運，更是數學的幸運。

泛函分析自巴拿赫創立以來，日益顯示出它的巨大潛力，而30年代的泛函分析正方興未艾，它也理所當然地進入了莫斯科數學學派的“領地”里。在柯爾莫哥洛夫的指導下，蓋爾范德一頭扎進了泛函分析的汪洋大海之中，可能蓋爾范德自己也沒想到，他將成為20世紀泛函分析史上最重要的幾個數學家之一。

數學成就

蓋爾范德的數學貢獻十分廣泛，主要集中在泛函分析，廣義函數，調和分析，群表示論，積分幾何，自守函數，李代數，橢圓偏微分方程上，還包括超幾何函數，譜分析，示性類等等，他在應用數學上也成果豐富，將自己的數學成果成功運用到了物理，經濟學，生物學上，解決了許多實際問題。在數學中，以蓋爾范德命名的數學概念和定理多達上百個。

1935年，蓋爾范德以論文《抽象代數和線性算子》副博士學位，而1938年的博士論文則表明，他已經躋身一流數學家之列。正是在他的著名博士論文中，蓋爾范德創立了今天我們所稱的賦范環論這門數學分支學科，奠定了巴拿赫代數的基礎。創立這樣影響深遠的數學之時，蓋爾范德才不過25歲！

巴拿赫空間是泛函分析中最重要的數學概念之一，但之前的研究基本都只關心它的分析和幾何結構，而蓋爾范德創造性地賦予了這些函數空間合適的代數結構，從而開創了交換賦范環論的研究。著名數學家維納(Wiener)曾用復雜的分析方法證明過：

如果一個函數f(x)恒不為0，且傅里葉級數絕對收斂，則1/f(x)的傅里葉級數也絕對收斂。

但蓋爾范德運用賦范環論，十分簡潔而優美地證明了這個結論，這充分顯示了巴拿赫代數的巨大威力，之后迅速引發了研究相關問題的熱潮，使得巴拿赫代數成為了一門重要的數學分支學科。后來蓋爾范德還與他人合作共同開創了C*代數的研究，這也成為了當今泛函分析的重要內容之一。

總之，蓋爾范德不僅開創了泛函分析的許多領域，并且從源頭上深刻改變了學科面貌，取得了一系列重要成就，而且在蓋爾范德的帶領下，蘇聯形成了強大的泛函分析學派，引領了研究潮流。

除去泛函分析外，蓋爾范德的主要成還有廣義函數論。泛函分析的迅速發展催生了廣義函數論的嚴格化，法國數學家施瓦茲成功運用泛函分析奠定了廣義函數論的嚴格基礎，并且憑借在廣義函數上的貢獻榮獲1954年菲爾茲獎。作為泛函分析巨擘，蓋爾范德對廣義函數也相當有興趣。盡管廣義函數有了嚴格的基礎，但還僅僅只是理論，而蓋爾范德的貢獻在于將它的威力充分發揮了出來，在蓋爾范德的研究下，廣義函數論成功運用到了微分流形，群表示論上，尤其是在現代偏微分方程理論上發揮了重要作用。蓋爾范德及其學生也著有《廣義函數論》一書，曾經在我國流傳得十分廣泛，影響深遠。

特別要提到的是，我們都知道阿蒂亞-辛格指標定理是20世紀最偉大的數學成就之一，但實際上，在阿蒂亞和辛格證明這個定理之前，它最早的形式是由蓋爾范德首先提出來的。由此看來，我們不得不驚嘆蓋爾范德強大的數學思維和直覺。

蓋爾范德其他的數學貢獻還有很多，但難以再一一敘述。

泛函分析討論班

提到蓋爾范德就不得不說他組織的著名的泛函分析討論班。作為莫斯科泛函分析學派領袖，1943年起，他開始在莫斯科大學組織泛函分析討論班，成員既有本科生，也包括著名學者，并且延續了幾十年之久。在討論班上，蓋爾范德總會提出一系列深刻的問題，而且只有當參與人員領會問題的實質后討論才會結束，這意味著一旦一次討論班結束，那么新的數學成果就出來了。在這樣的討論班上，無數新的理論和結果被提出，極大地促進了相關學科的發展，可以說，這樣具有世界影響力的討論班是數學史上十分罕見的。

數學大師

蓋爾范德的數學研究領域十分廣泛，，幾乎涉及數學所有重要的方面，這樣的數學全才在20世紀的數學史也是不多見的。同時，蓋爾范德不僅自身成就卓著，他還影響了一大批數學家的成長。在蓋爾范德的數學生涯中，以個人名義發表的論文只有33篇，只占他所有發表論文總數的大約7%，其余論文全部是和他人合作完成的，據不完全統計，這些合作者至少有206位。在合作者們看來蓋爾范德不僅是研究過程中的“催化劑”，更是遭遇困難是的“救火隊長”，在他深刻的數學見解下，困難的問題總是能夠得到解決。

蓋爾范德也非常注重教學，盡管已經是公認的國際數學大師，但蓋爾范德總是喜歡親臨一線，給學生上重要的基礎課，這些基礎課和他的討論班相得益彰，孕育了許多數學人才。

2009年10月5日，蓋爾范德以96歲的高齡辭世，一個偉大而輝煌的數學時代也就此謝幕。