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編輯&校正&插圖：楊夕歌
小編友情提示 本文的讀者若對下面的概念不陌生（不需要深入了解），這篇文章對您而言將會非常通俗易懂：
向量場 李群和李代數 流形（高維曲面）和切空間（切向量構成的線性空間） 泛函或算子 電磁場（傳送門） 拉格朗日動力學
沒有這些基礎的讀者也不用擔心，因為文中含有海量的注釋幫助讀者們理解這些概念的實質意義。但要完全理解則需花一些功夫進行消化。
前言 本文是筆者與小編合作推出“大自然的基本力”為主題的一系列文章的第六篇，繼本系列第五篇文章“帶你認識高大上的規范場——從電磁場說起”之后，本文開始具體介紹強、弱相互作用的規范場理論。關于強、弱相互作用我們重點介紹下面兩點： 非阿貝爾規范場理論（即把上文中的U(1)群變為SU(2)與SU(3)規范場），即強，弱相互作用的規范場理論。這是楊振寧和米爾斯的主要貢獻之一，也是二十世紀下半葉物理學最輝煌的成就之一。 規范表示不變性原理（Principle of Representation Invariance ，簡稱PRI），該原理由四川大學馬天教授和美國印第安納大學汪守宏教授在2014 年提出。盡管該原理還需得到時間的檢驗，但相信該原理的提出能拓寬并加深我們對強，弱相互作用的理解。
本文重點介紹非阿貝爾規范場理論，下一篇文章則會介紹規范表示不變性原理。歡迎有興趣的讀者關注我們的公眾號“科普最前線”，并參與和我們的討論！ “非阿貝爾場”是什么東東？ 在本系列的上一篇文章（帶你認識高大上的規范場——從電磁場說起）中，我們認識了電磁場，也就是U(1)規范場。從數學的角度來看，U(1)是一階酉矩陣，矩陣中的元素可以表示為 （也就是一個圓圈，我們把圓圈上的每個點都看作是群里的元素——小編注），它們構成的變換群（也就是規范變換群）是可交換的，在數學上把這種變換群稱為阿貝爾群（Abel Group），于是它所對應的規范場 （就是電磁場）就被稱為阿貝爾規范場，它們的規范變換（“旋轉”）是: 
其中波函數ψ是單個波函數，它只刻畫了參與電磁相互作用的一個費米子。
筆者注 在微觀的物理世界中構成物質的基本粒子分為兩種類型：費米子和玻色子。費米子包括夸克，質子，中子等，它們是構成物質的基本材料，而玻色子則是將這些費米子粘合在一起的“粘合劑”，玻色子包括光子，膠子，W±玻色子，Z玻色子等，它們是相互作用（就是四種基本力）的傳遞者，通過玻色子傳遞相互作用使得費米子得以凝聚在一起構成基本物質。讀者可以想象費米子是構建大樓的不同類型的磚塊，而玻色子則是這些磚塊之間的水泥鋼筋，它們在組成大自然的物質中發揮了各自不同的作用。
玻色子的自旋都是整數，費米子的自旋都是奇數的一半。圖片來自http://blog./quantum/article.php?entryid=574521
上述的規范變換顯然可以推廣到更一般的情況，即存在N 個費米子（或者是一種費米子的幾種不同的態，例如夸克的三種色態）參與相互作用，物理上用N 個旋量場（spinor，也就是刻畫粒子運動的波函數，它包含四個分量）來刻畫這N個費米子，即 ，而 是一個旋量場。
筆者注
在量子力學中我們用波函數ψ來刻畫一個微觀粒子的運動狀態及其性質。上訴介紹的旋量場就是用來刻畫微觀粒子的波函數，考慮到微觀粒子具有比薛定諤方程所描述的粒子具有更加精細的結構，所以這種波函數需要四個分量，且每個分量都是復數。 
于是上述單個波函數的規范變換可以推廣到這種N粒子的形式，就是我們所要討論的SU(N)規范變換與非阿貝爾規范場（這種情況下規范場對應的矩陣群，也就是SU(N)的群表示是非交換的，數學上稱之為非阿貝爾群）。在標準模型中，當N=3時所刻畫的相互作用模型就是強相互作用（數字N=3對應夸克的三種“色態”），即強相互作用的SU(3)規范場，當N=2時的SU(2)規范場與U(1)規范場的耦合規范場刻畫了電，弱相互作用，即U(1)×SU(2)電弱統一模型。 在上個世紀上半葉物理學家就意識到，在自然界中經常出現粒子的不同的幾種態（或者是不同的幾種粒子）在某一物理觀測中表現出不可分辨的性質（即單純從物理實驗無法區分這些不同的粒子態），例如質子和中子在原子核中的強作用力方面就體現出了這樣的性質，夸克的三種色態也表現出這樣的性質，更一般的，我們稱這是N 個不可區分的粒子態。 
就像《風云》中的“絕世好劍”一樣，粒子太多，沒辦法從物理實驗中區分出來——小編注
這種“不可區分性”看起來有點讓人摸不著頭腦，那么怎么用物理語言來描述它呢？事實上就是刻畫這個粒子的運動方程（狄拉克方程）在特定的變換下是形式不變的，例如，這N 個粒子態的不可區分性用數學的語言來表達就是這N個粒子態的波函數（N個旋量場） 在如下SU(N)的規范變換（也就是李群SU(N)的群作用）下 
關于這些ψ（波函數）的運動方程，即狄拉克方程  是形式不變的。
狄拉克方程就是考慮了狹義相對論和費米子自旋的薛定諤方程，它被用于描述費米子的運動——小編注
筆者注
SU(N)是一個李群，群中每個元素都可以看作N×N埃爾米特矩陣（Hermite Matrix）。所謂N×N階埃爾米特矩陣Ω就是: ，其中 是Ω轉置再取復共軛。由此我們便看出了上述SU(N)規范變換實際上就是旋量場ψ的保范變換，即 ，變換前后旋量場ψ的模長（范數）保持不變。
數學補充——李群和李代數是什么？ 在數學家看來，SU(N)作為李群，它可不僅僅是矩陣群那么簡單——它同時也是一個維的彎曲的流形（就是一個高維的曲面）！筆者在這里簡單陳列一些SU(N)的數學性質，這些都是來自數學的結論，讀者無需關注細節，只需要知道如何在物理問題中應用這些結論即可。
李群、李代數也可以長得像曲面、切向量一樣——小編注
我們現在將SU(N)視為高維的曲面，那么對于任意 ，用表示SU(N)在處的切空間。在數學上我們稱這個切空間為李代數（Lie Algebra），它是一個維的線性空間，其基底是 個線性無關的埃爾米特矩陣，即
在物理中，我們稱這些李代數的基底是規范場的表示元，原因在于它們確實可以被用來表示規范場[1,2]，是規范場中最基本的物理量，就如同我們中學時所學的向量需要通過坐標系來表達一樣。當N=2的時候，這一組基底在標準模型中取用3 個泡利矩陣表示；當N=3的時候，這一組基底在標準模型中取用8 個蓋爾曼矩陣表示。這兩種矩陣是我們討論強，弱相互作用時要使用的，它們如下圖所示：
筆者注 表示元基底的選取方法并不唯一，實際上可以構造出無窮多組可以使用的表示元基底，物理學上直接使用泡利矩陣和蓋爾曼矩陣作為表示元基底純粹是出于應用的方便，因為這兩種基底具有非常簡單的形式，但絕不能認為只能選用這兩種基底。
在數學上，李代數具有代數結構，也就是說李代數中任何兩個元素的李括號運算。直接計算上述基底可有：，其中被稱為結構常數，它依賴于基底的選擇。 李群和李代數有了上述數學理論作為基礎，我們可以繼續介紹相互作用的規范場理論了。 規范場——從交換到非交換 我們已經知道，SU(N)規范場是由N個波函數和個四維向量場（以下記為）構成，這些波函數滿足如下狄拉克方程（如前文所說，狄拉克方程就是考慮了狹義相對論和費米子自旋的薛定諤方程）：
其中是協變導數（在數學上又叫聯絡），而就是上述所介紹的李代數的基底。為了確保上述方程在SU(N)規范變換
下保持協變（方程形式不變），也必須得發生相應的變化，如下所示：
這就是SU(N)規范變換，就是SU(N)規范場！它是我們一開始介紹的電磁場規范變換的推廣，推廣后的規范場既可以被用來研究強，弱相互作用。我們可以把電磁場規范變換和上述變換進行對比：
讀者可以自己驗證上述簡單的計算，上述變換只是為了確保了Dirac方程的形式保持不變，即 當波函數發生變換時，的變換保證了狄拉克方程的形式保持不變:
波函數：就算我帶上了“帽子”，滿足的方程依然不變！ 其中。這種方程形式的不變性在數學上被稱為“協變性”或者“對稱性”，在這里也可以被叫做規范對稱性。 怎樣描述強／弱相互作用？ 現在我們已經知道了了SU(N)的規范場理論，實際上強／弱相互作用只是SU(N)規范場理論的特例而已！ 從數學來看，SU(N)規范變換所對應的規范場有個，當N=2時就是弱相互作用所包含的規范場一共有3個，當N=3時就是強相互作用所包含的規范場一共有8個，它們都是SU(N)規范場的特殊情況。在1954年，楊振寧和Mills嘗試用兩個波函數分別刻畫兩個核子（質子和中子），并使用這兩個波函數的規范變換產生的規范場來研究相互作用，由此他們為SU(2)規范場建立了數學理論[6]。二十世紀下半葉物理學的發展證實規范場理論是探索相互作用理論的重要研究工具，規范場理論也被稱作Yang-Mills 規范場理論。 在物理學中，同量子電動力學（QED）一樣，從SU(N)規范變換也可以給出拉格朗日作用量（從數學來看就是關于的泛函），為如下形式（它是在規范變換下保持不變的形式最簡單的作用量）
筆者在這里再重新強調一下規相互作用的媒介子理論，因為這與規范場理論息息相關。媒介子（Meson）是參與相互作用的一些粒子，例如光子，膠子，W±玻色子，Z玻色子等。它們被認為在相互作用的過程中傳遞相應的相互作用，是兩個費米子發生相互作用的“媒介”。媒介子都是玻色子（Boson），并且： 媒介子是相互作用場的輻射粒子，它是場能量的攜帶者。 四種基本相互作用都會輻射場粒子，這種在發生相互作用的過程中被輻射出來的場粒子就是媒介子。結合規范場理論我們可以發現，媒介子就是由規范場來刻畫的基本粒子——在電磁相互作用中，媒介子是光子，規范場就是被用來刻畫光子的場；在強相互作用中的媒介子有8種膠子，正好由SU(3)的8種規范場來刻畫；而弱相互作用中的媒介子有3 種（W ，W-，Z三種玻色子），而SU(2)的規范場正好有3 種，滿足了物理背景的需要。筆者在本文中已經介紹了費米子和媒介子是組建大自然各種物質的基本材料（也可參考《大自然的基本力系列（一）——四種基本相互作用簡介》一文），這兩種粒子的性質在 SU(N)得以統一體現在： 下期預告 相信讀過這篇文章，讀者們已經對楊-米爾斯，這個在20世紀下半葉對物理學具有巨大影響的理論有了一個大概認識。值得一提的是，盡管楊振寧和米爾斯在1954年發表的文章[6]中對強相互作用的理解被證明是錯誤的，但它建立了一個正確的理論框架，并導致了70年代標準模型的建立（可參考《大自然的基本力（二）》一文）。 通過SU(2)與SU(3)的規范變換，我們也能分別為強,弱相互作用建立作用量（數學上稱之為“泛函”），我們將在下一篇更加仔細地介紹強，弱相互作用的規范場理論。 除此之外，我們還將介紹規范表示不變性原理（Principle of Representation Invariance ，簡稱PRI，按耐不住好奇的讀者們可以參考文獻[1,2,5]），該原理由四川大學馬天教授和美國印第安納大學汪守宏教授在2014 年提出。簡要說來，表示不變性是規范場所具有的一種內在的對稱性。盡管該理論還需要得到時間的檢驗，但相信該原理的提出能在很大程度上拓寬我們對規范場及強，弱相互作用的理解。
參考文獻 [1] Tian Ma, Shouhong Wang: Mathematical Principles of Theoretical Physics, Science Press, August 2015, 524pp.免費下載地址：http://www./~fluid/MPTP.pdf. [2] 馬天：《從數學觀點看物理世界--基本粒子與統一場理論》，科學出版社，2014. [3] Tian Ma , Shouhong Wang, Duality of Strong Interaction, EJTP, 11:31(2014), 101-124; see also IU Institute for Scientific Computing and Applied Mathematics Preprint Series, 1301. 下載地址：http://www./~fluid/paper/strongrevised.pdf [4] Tian Ma , Shouhong Wang, Duality Theory of Weak Interaction, IU Institute for Scientific Computing and Applied Mathematics Preprint Series, 1302. 下載地址：http://www./~fluid/paper/weak-revised.pdf [5] Tian Ma , Shouhong Wang, Unified Field Theory and Principle of Representation Invariance, Applied Mathematics and Optimization,Volume 69:3 (2014), pp 359-392; arxiv:1212.4893. [6] C. N. Yang and R. L. Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Phys. Rev. 96, 191a. [7] Griffiths, D.: Introduction to Elementary Particles. Wiley-VCH, New York, 2008.
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