【原】萊布尼茨微積分——萊布尼茨是如何推導(dǎo)出著名的分部積分公式的？

現(xiàn)代微積分，可以被定義為“對(duì)連續(xù)變化的數(shù)學(xué)研究”，是由17世紀(jì)和18世紀(jì)的兩位偉大思想家，艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨獨(dú)立發(fā)展起來(lái)的。

在這篇文章中，我的重點(diǎn)將是萊布尼茨的工作，展示他是如何推導(dǎo)出著名的分部積分公式的。

• 圖1：萊布尼茨的肖像和雕像

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨是典型的博學(xué)家。他對(duì)哲學(xué)、數(shù)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、神學(xué)、工程學(xué)、法理學(xué)、法律、計(jì)算機(jī)科學(xué)和地質(zhì)學(xué)等廣泛的領(lǐng)域做出了基礎(chǔ)性的貢獻(xiàn)。萊布尼茨曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，他經(jīng)常需要用一周中的相當(dāng)一部分時(shí)間來(lái)記錄一個(gè)早晨的想法。

下面，左邊是他在漢諾威最后的住所的工作空間。右邊是他旅行時(shí)隨身攜帶的折疊椅。

• 圖2：左邊是萊布尼茨在漢諾威最后的住處的工作室。右邊是他旅行時(shí)隨身攜帶的折疊椅

萊布尼茨在歐洲第一個(gè)德語(yǔ)科學(xué)雜志《博學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表的關(guān)于微積分的三篇最著名的文章的標(biāo)題是：

• 求極大值、極小值和切線的一種新方法，不會(huì)受到小數(shù)或無(wú)理數(shù)的阻礙，這是一種奇異的微積分。

• 關(guān)于不可分與無(wú)限的幾何與分析。

• 測(cè)量幾何的補(bǔ)充，或由一個(gè)運(yùn)動(dòng)所影響的最一般的求積，以及由一個(gè)給定的切線條件所形成的曲線的各種構(gòu)造。

標(biāo)題頁(yè)如下圖3所示

• 圖3：萊布尼茨在《博學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表的關(guān)于微積分最著名的三篇文章
  

萊布尼茨定理

本文的目的是證明萊布尼茨定理的一個(gè)特殊情況給出了著名的分部積分公式。

萊布尼茨定理是關(guān)于求曲線之間的面積的。為了理解萊布尼茨的理論基礎(chǔ)，考慮圖4和圖5，讓我們根據(jù)萊布尼茨的方法來(lái)計(jì)算曲線AB下面的面積（或者等價(jià)地，曲線y=0和曲線AB之間的面積）。

萊布尼茨認(rèn)為總面積為底為無(wú)窮小的面積的和：

• 萊布尼茨認(rèn)為曲線AB下面的面積是無(wú)限小底dx的無(wú)限小矩形的和。

• 圖4：一個(gè)有無(wú)窮小底dx和變化高y(x)的矩形。

現(xiàn)在考慮下面的圖5和以dx為底的無(wú)窮小矩形（注意圖中的dx是不按比例縮放的）)。它的面積是ydx。由于曲線下的面積是所有矩形面積之和，萊布尼茨選擇了下面的符號(hào)來(lái)表示總面積：

• 式2：萊布尼茨“S”符號(hào)表示曲線之間的面積

是一個(gè)拉長(zhǎng)的S，代表求和。

• 圖5

從圖5中萊布尼茨的構(gòu)造來(lái)看，有以下關(guān)系：

• 式3：z的表達(dá)式如圖5所示。

圖6是圖5的一部分。從中我們可以看出，角WOT是α，這使得三角形ΔOTW和無(wú)窮小三角形相似。因此我們得到：

• 式4：三角形ΔOTW與無(wú)窮小三角形相似所隱含的關(guān)系。

• 圖6：圖5的左側(cè)，曲線AB的切線與z軸相交。

由于三角形ΔOPQ（見(jiàn)圖5）的底和高分別為ds和h，則其面積根據(jù)式4為：

• 式5：由式4得到底高h(yuǎn)為無(wú)窮小的三角形ΔOPQ的面積。

因此，從A到B楔形的總面積由下面的積分給出：

• 式6：楔形的面積等于無(wú)窮小底三角形的面積之和。

最后一步是找到曲線AB下的面積和楔形面積之間的關(guān)系。如圖5所示：

• 式7：曲線AB下面的面積被“轉(zhuǎn)化”為楔形面積和差值y(b)b/2 - y(a)a/2的兩部分之和。

因此，曲線AB下面的面積“轉(zhuǎn)化”為兩部分的和：

• 式8：三角形ΔObB和ΔOaA的面積之差。

使用式3和式7（并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算），我們得到：

• 式9：式3和式7放在一起。

現(xiàn)在考慮圖6。我們可以看到：

1. 式9中的第一項(xiàng)是包含垂直線的區(qū)域的面積。

2. 式9右邊的第二項(xiàng)是包含水平線的區(qū)域的面積。

3. 把式9右邊的第二項(xiàng)移到等式左邊我們看到上面兩個(gè)面積的和等于以b為底的矩形和以a為底的矩形的差。

• 圖7：式9對(duì)應(yīng)的圖。

如果我們現(xiàn)在做出以下選擇：

• 式10：g(x)和y的萊布尼茨選擇。

這意味著：

• 式11：式10中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

將這些定義代入式9，得到：

• 式12：分部積分公式。

出乎意料的是，我們看到，圖5中復(fù)雜的構(gòu)造給了我們微積分中最常用的公式之一，分部積分！