【原】日本書店中的數學專業新書瀏覽記

日本數學家們在現代數學的發展過程中取得過一定的成就，與此同時，他們也比較重視現代數學知識的整理和傳播，及時地將抽象的現代數學知識整理成書，用本國的語言寫出了許多現代數學的教科書和學術著作，特別是寫了數量很多的數學闡釋性和數學文化方面的書籍，以及數學各個分支方向的入門科普書，這樣就可以對下一代的新手數學家、科學家和現代數學的愛好者們進行高質量的數學傳播與教育。

日本的大型書店的面積其實和我們國內大城市里大型書店的面積差不多一樣大，但是日本書店所銷售的圖書種類卻遠比國內書店的圖書多得多，其中的一個原因是：他們所有的新書（除了個別暢銷書）基本上在店堂內的書架上只放一本，這樣在有限的空間內就比國內的書店多放了許多書。當一本圖書被銷售后，工作人員會立即從庫房中調取與這本被讀者買走的書相同的圖書，及時地補充入店堂內原來的書架上（由此可以想象日本的大型書店應該都有自己的體量很大而且容易索取圖書的庫房）。還有一個細節是，筆者在日本的書店里沒有看到過任何一本新書有塑封的，并且所有的新書基本上都很嶄新，這說明日本的讀者在挑選新書時一般都為他人考慮，會比較小心地翻閱新的圖書。

本文介紹筆者在日本東京的一家大型書店里所看到的一部分數學專業類新書，這些新書都位于下面這張照片里的一個書架上：

圖1：日本書店里的數學專業類新書（一）

1．第一排書

在書店里的這個書架上，一共有四排書。上面的第一排書的內容基本上都屬于抽象代數的范圍。我們從左到右地看起，開始的七本書都是講線性代數的，它們依次是：《線性數學》、《線性代數學入門》、《線性代數》、《線性代數學基礎》、《線性代數概論》、《線性代數學概說》（雪江明彥）和《線性代數的世界》（齋藤毅），其中一本書的作者雪江明彥是一位很擅長寫書與講課的代數學家，而另一本書的作者齋藤毅則是一位專長于現代數論的著名數學家（他曾經寫了一部比較有名的專著《費馬大定理》），他們能夠抽出大量的時間來寫這么淺顯的書，這充分說明了線性代數對于整個數學學科的基本重要性。

接下來是一本黃顏色封面的《從線性空間開始學抽象代數的入門》。實際上在國外，經常將線性代數和抽象代數放在一起講（在歷史上線性代數曾經是抽象代數的一部分），這種講法可以很好地顯示線性代數其實是抽象代數的一個基本的思想來源，同時抽象代數也是線性代數發揮作用的主要場所之一。我們國內的機械工業出版社在2009年翻譯M. Artin寫的名著《代數》，就是這樣用線性代數來講解抽象代數的。

接著是一本很厚的《代數學》（第1卷），“代數學”在日語中就是指抽象代數學。日本的大學數學系一般都比較重視抽象代數的教學，這主要是因為抽象代數目前已經成為了當代大部分數學分支的通用語言。在《代數學》（第1卷）右邊的是一本《李代數入門》，李代數是一種不滿足運算結合律的代數系統，李代數與李群有著十分密切的對應關系，它們在數學和物理學中有不少重要的用處。再接下來的是一本屬于代數幾何的講義《代數簇理論》，其作者是著名的代數幾何學家川又雄二郎，該講義很受日本數學界的推崇，主要是因為它從初學者們的角度來考慮，只講復數域上的代數幾何，這樣就避免了許多涉及一般域的復雜的代數細節，從而就可以讓初學者從一開始就直接深入到代數幾何的中心內容中，例如像奇點解消、消失定理和代數曲面的分類這樣的十分艱深的課題。

在《代數簇理論》右邊的是一本《通向研究生院的代數學習題集》，它類似于我們的考研復習書，可以幫助學生進一步掌握抽象代數。日語中所說的“大學院”就相當于是我們國內大學里的研究生院。位于該習題集右邊的是一本《談談代數曲線》，代數曲線是一維的代數簇，它是代數幾何里最簡單的研究對象。在日本的大學里，往往將代數曲線課程作為代數幾何的入門課程，所以書店里關于代數曲線的講義和科普讀物比較多。在《談談代數曲線》右邊的是一本《容易理解的代數》。

接下來的一套比較流行的三卷書是雪江明彥寫的抽象代數三部曲：《代數學1：群論入門》、《代數學2：環、域和伽羅瓦理論》和《代數學3：更多的代數理論》。日語中的“體”就是域，從該套書的第1、2卷的書名中，我們就可以大致知道其中的內容，而第3卷“更多的代數理論”的內容則包含了：域論的進一步發展、交換環理論入門、賦值與完備化、張量代數與雙線性形式、表示論入門、同調代數入門等。由于現代數學的迅速發展，過去只講群、環、域的抽象代數課程已經遠不能適應教學的需要，而雪江明彥的這套抽象代數三卷書的內容則代表了21世紀抽象代數的一個比較完整的課程體系。

緊挨著抽象代數三部曲的是一本科普讀物《面心的代數幾何學》，它的內容大意是用面積來說明代數幾何的一些簡單思想。在此書的右邊，是范德瓦爾登的經典名著《代數學》的日譯本的第一冊，這部歷史名著系統總結了到1930年為止的抽象代數的基本理論，對現代數學的發展影響極大。在此日譯本的右邊是一本《代數學入門》，它同樣是講抽象代數中的群、環和域。

在《代數學入門》右邊，又是一套抽象代數的三部曲書，它們依次是《代數學I：群與環》、《代數學II：環上的模》和《代數學III：域與伽羅瓦理論》，這套寫得很仔細的書的作者是代數學家桂利行（他曾經寫過一本很受歡迎的《代數幾何入門》）。第二卷書名中的“加群”在日語中是指模。位于這套三部曲書右邊的書是《代數入門——群與?！?，而在其右邊的《理工基礎：代數系》也是一本講抽象代數的書。

在第一排書的最右端，陳列著四本專門講伽羅瓦理論的書，它們從左到右依次是《伽羅瓦與伽羅瓦理論》、《伽羅瓦的數學：域論入門》、《伽羅瓦理論》和《伽羅瓦理論入門》。伽羅瓦理論對20世紀現代數學的發展具有很重要的影響，這個理論起源于法國數學家伽羅瓦在研究一元代數方程的解是否有根式表示問題時，所作出的重要發現，即可以將復雜的擴域問題轉化為比較簡單的具有對稱性的置換群結構問題，從而徹底解決了5次以上的代數方程何時有根式解的經典問題。由于伽羅瓦理論后來直接導致了抽象代數學的誕生，所以只要懂得一點伽羅瓦理論的基本內容，就能夠初步領略抽象代數思想方法的精髓，因此日本數學界非常重視對于伽羅瓦理論的著述與傳播。筆者在東京的幾家大型書店里，總共看到了十幾種不同的講解和科普伽羅瓦理論的初級讀物。

2．第二排書

位于照片中第二排的書主要都與數論有關。我們同樣從左到右地看起，開頭三本書都是講初等數論的，它們依次是有著藍色封面的《數論入門》、以及《探險！數的密林與數論的迷宮》、和《初等數論》，數論在日語中也稱為“整數論”。在這三本數論書右邊的是一本關于邏輯學的練習冊。

接下來的一套三卷書是由雪江明彥寫的數論三部曲：《數論1：從初等數論到進數》、《數論2：代數數論基礎》和《數論3：解析數論的魅力》。該套書用流暢的文筆系統地介紹初等數論、代數數論、解析數論中最基本的內容，其目的是為初學者以后進一步學習20世紀的現代數論打好扎實的基礎?，F代數論充分運用了抽象代數、代數幾何、多復變函數、調和分析、表示論和自守形式等學科的成果，其發展觸發了現代數學中的許多重要進展。

緊挨著數論三部曲的是三本與大數學家黎曼有關的書，它們依次是《黎曼的數學與思想》（加藤文元）、《黎曼的夢想——zeta函數的探求》（黑川信重）和《黎曼猜想》（黑川信重），作者黑川信重是一位以研究黎曼猜想見長的數論專家。黎曼猜想可以說是整個數學中最著名的一個猜想，它對黎曼函數的無窮多個零點的位置作出了十分準確的預測，而試圖證明這個著名猜想的過程則觸發了現代數學的許多重要進展（例如Weil猜想的證明）。緊接著這些書的是一本《向高斯學習初等數論》，該書直接在歷史的框架中講授通常的初等數論課程的內容，用原汁原味的高斯同余方法來引入相關的主題。再接下來，是一本黃色封面的科普讀物《數論的概觀》，然后接著的是由黑川信重等人一起寫的《黎曼猜想會不會解決》一書。

在《黎曼猜想會不會解決》的右邊，是《極限的數論入門》、《數值文化論》和《平均曲率流》這三本書?！镀骄柿鳌芬粫@然是被讀者翻閱完后放錯了位置，它原本應該放在下面第四排的微分幾何類圖書中。平均曲率流是幾何分析中一個比較新的研究方向，它運用了偏微分方程的理論來研究光滑子流形隨著時間而演化的規律，從中得到了各種收斂性和幾何性質的結果。

在《平均曲率流》右邊的是一套由著名數學家西格爾（C. L. Siegel）撰寫的《解析數論I、II》的日譯本，西格爾對解析數論、代數群和自守形式等均有重大的貢獻。在《解析數論I、II》的右邊，是一套翻譯的《數理邏輯講義（上、下）》。接著是幾本跟函數有關的書，它們依次是：《從素數到 函數，再到混沌》、《歐拉的 函數》、《歐拉的 函數理論》、《歐拉的數論研究》（兩本）和《歐拉 函數論文集》（兩本）。在現代數論中，關于函數的研究占據著一個十分重要的位置，而黎曼的 函數則直接來源于歐拉的 函數（也就是著名的歐拉乘積公式），因此歐拉的數論思想實際上是非常深刻的。

在第二排書的右端，還放了另外一套西格爾的《解析數論I、II》，由此我們可以看到在日本的書店里，對個別銷路比較好的書可能會多放一本（套）。

3．第三、四排書的左邊部分

在上述照片1所拍的這個書架上，第三排主要擺放著與拓撲學和微分方程有關的新書。而第四排放的則是幾何類的新書。為了看起來更加清楚起見，筆者對第三、四排書按照左右兩個部分重新拍了照。先來看第三、四排書的左邊部分的書：

圖2：日本書店里的數學專業類新書（二）

我們從圖2這張照片上面一排書的左邊看起，開始的十幾本書主要都是講集合論初步和點集拓撲的，它們介紹了一些關于集合的運算、映射、可數集與不可數集、拓撲空間的基本概念、緊致性和連通性、商空間與閉曲面等最基本的知識。

開頭是兩本完全相同的黃白封面的《拓撲初步》，然后依次是《集合入門》、《拓撲入門》、《集合與拓撲》（內田伏一）、《集合與拓撲》（小森洋平）、《集合與拓撲》（齋藤毅）、《集合與拓撲欣賞》、《拓撲空間》、《希臘三大難題》、《集合與拓撲》、《集合、邏輯與拓撲》、《現代集合論的探索》（寺澤順）、《集合、映射與數系》、《交換環論入門》、《通過例題來學習集合與邏輯》、《集合入門》、《從 證明到拓撲學》和《通過例題來展開學習集合與邏輯》等。

這些書目中的《交換環論入門》，其實屬于抽象代數中的交換代數范圍，它譯自代數幾何學家M. Reid的《Undergraduate Commutative Algebra（本科交換代數）》，是一本寫得很平易的交換代數入門書。交換代數的重要性在于：它是代數幾何最基本的語言。

上述書目中還有一本《從證明到拓撲學》，它的作者是永田雅嗣。該書從讀者熟悉的數學分析中十分經典的 證明語言入手，來逐步引入點集拓撲中拓撲空間的基本概念，這對初學者們來說是比較自然和容易理解的。

接下來是六本書都與范疇理論有關。范疇理論是從數學的各個領域中概括出來的一種極為抽象的代數理論，這個理論（特別是其中的“函子”概念）已經被運用到了現代數學的許多分支中，例如拓撲學、微分幾何和代數幾何等。不僅如此，范疇理論甚至還被應用到了計算機科學和物理學中。范疇在日語中被稱為“圈”，因此這些書的書名中的“圈論”就是指范疇論。這六本講范疇理論的書（中間夾了一本編碼邏輯的書）從左到右依次是：《范疇與?！罚ㄇ逅露?、《范疇理論》（譯自Steve Awodey的《Category Theory》的第2版）、《范疇論的方法》（中岡宏行）、《基礎范疇論》（譯自Tom Leinster的《Basic Category Theory》）、《適用于量子計算模型與邏輯的范疇論》、《編碼邏輯入門》、《范疇理論的發展腳步》。

現在我們再來看圖2這張照片的下面一排書。

從左邊開始的六本書基本上都是在講微分方程：《Navier-Stokes方程的數學基礎》、《弄明白微分方程》、《熟練地使用極限》、《微分方程》、《適用于工科的偏微分方程》和《微分方程》。

接下來這部分的書都屬于幾何學或拓撲學。從左開始：首先是《拓撲學通俗講話》（橫田一郎），然后是著名微分幾何學家小林昭七寫的重要著作《聯絡的微分幾何與規范場理論》。規范場理論又稱為“楊（振寧）-米爾斯理論”，它是研究自然界四種相互作用力（電磁、弱、強、引力）的最基本的理論，這個理論對于20世紀數學與物理學的發展都極其重要。規范場理論的數學基礎主要就是纖維叢的微分幾何，而這個理論中的規范勢正好就是纖維叢上的聯絡。

在《聯絡的微分幾何與規范場理論》右邊的是一本內容非常全面的整體微分幾何著作：《微分幾何學》（今野宏），該書的內容主要包括了微分流形與向量叢、向量叢的聯絡、黎曼流形、黎曼流形上的幾何、流形上的微分算子、主叢、示性類、復流形、K?hler流形、辛流形，以及流形上的分析等，幾乎包含了所有的整體微分幾何基礎知識。

在《微分幾何學》右邊的是一本《快樂學習初等幾何》，緊接著的是“莫斯科數學廣場”叢書中的第2冊《幾何篇——面積、體積與拓撲學》。

然后是一本很經典的微分流形教科書《（微分）流形入門》（松島與三），日語中的“多樣體”一般就是指微分流形。這本書初版于1965年，后來在1972年被翻譯成了英語，書名是《Differentiable Manifolds（微分流形）》，其作者Y. Matsushima就是松島與三。在上世紀70年代，微分流形的教科書還非常少，而這本《Differentiable Manifolds》在當時是最流行的英文教材，幫助了世界范圍內的許多現代微分幾何的初學者。

在《（微分）流形入門》右邊的是《從具體例子學習（微分）流形》（藤岡敦）。在日本的書店里，有不少像《從具體例子學習（微分）流形》這樣的寫得很容易讀懂的初級讀物，它們的特點是充分運用大量具體的例子，來幫助學生理解非常抽象的現代數學最基本的概念和理論。

在《從具體例子學習（微分）流形》的右邊，是一部高水平的專著《計數幾何講義》（池田岳）。計數幾何（enumerative geometry）是代數幾何的一個重要分支，它主要研究多元代數方程組的解的個數問題，例如可以運用代數幾何中的相交理論來嚴格證明一個經典的定理：與5條已知圓錐曲線都相切的圓錐曲線一共有3264條。筆者認為這本最近新出版的《計數幾何講義》（池田岳）可能是世界范圍內第一部系統闡述計數幾何基本理論的專著（在此之前的成果都分散在大量的論文中）。

緊接著《計數幾何講義》的是一本初級讀物：《幾何學序論：徹底弄明白邏輯、集合、映射與拓撲》，在其右邊的是由幾何學家中島啟寫的《微分幾何學最前沿》，日本數學家們經常會寫一些關于現代數學前沿研究的介紹性讀物，以吸引和鼓勵年輕的學者能夠進入到數學的前沿研究中來。在《微分幾何學最前沿》的右邊，還有《幾何光學的正準理論》與《三角形與圓的幾何學：數學奧林匹克幾何問題完全攻略》這兩本書。

接下來是由幾何學家坪井俊寫的一套現代幾何學的入門教材：《幾何學I：（微分）流形入門》、《幾何學II：同調入門》和《幾何學III：微分形式》。從現在日本的大學幾何學教材中可以看到，在他們的大學數學系幾何類課程中，已經適當壓縮了經典的三維空間的曲線論與曲面論的內容，而增加了高維的微分流形理論，以及相關的同調與上同調等現代內容。

在上述這套幾何學教材的右邊，是一本《自旋（Spin）幾何學》，自旋幾何學是黎曼幾何學的一個現代分支，它主要研究自旋流形的幾何性質。在《自旋幾何學》的右邊，是小林昭七寫的《曲線與曲面的微分幾何》。

在《曲線與曲面的微分幾何》的右邊，是一本由難波誠寫的代數曲線初級入門讀物《代數曲線的幾何學》。這本《代數曲線的幾何學》著重于提供直觀的幾何背景知識和代數曲線理論的一些最基本想法，它運用豐富的例子和圖形通俗介紹了二次曲線的射影幾何、代數曲線的虧格、代數曲線的黎曼面等最簡單的內容。

緊挨著《代數曲線的幾何學》，依次是《慢慢地學曲線與曲面：微分幾何學初步》（中內伸光）、《雙曲幾何學》和《文藝復興的多面體百科》這三本書。

4．第三、四排書的右邊部分

我們接著再來看這個書架中第三、四排的右邊部分的新書：

圖3：日本書店里的數學專業類新書（三）

圖3這張照片上面的一排書基本上都是講微分方程的。從左邊看起，依次有《韋爾斯感染與常微分方程》、《變分法》、《變分法與變分原理》、《常微分方程與羅特加·沃態拉方程》、《常微分方程與微分代數方程的數值解法》、《常微分方程學習指導》、《常微分方程》、《常微分方程》、《面心的代數幾何學》、《微分方程入門》、《微分方程的邀請》、《微分方程》、《微分方程》、《通過自然（科學）現象來學習微分方程》、《簡單易學的微分方程》、《馬上就能懂的微分方程》、《微分方程》、《微分方程概論》、《微分方程教程》、《微分方程基礎》、《偏微分方程講義》、《微分方程（第2版）》、《應用微分方程》、《微分方程與數學模型》和《這就是微分方程》。

接下來，我們再來看圖3這張照片的下面一排書。

左邊的三本書在前面第三、四排書左邊部分的照片中已經介紹過，現在的第四本書是由幾何學家酒井隆等人編寫的《幾何分析》。幾何分析是微分方程、非線性分析、微分幾何與拓撲學的交叉學科，其目的是解決流形上的幾何與拓撲問題，從上世紀70年代開始，一批數學家開始用偏微分方程的理論來研究微分幾何中產生的偏微分方程，他們研究了流形上的函數論、流形的特征值、典則度量的存在性及極小曲面與極小子流形等問題，獲得了前所未有的巨大進展，并最終證明了著名的龐加萊猜想。《幾何分析》一書詳細總結了幾何分析理論中最基本的概念與方法，以及最新的主要成果，該書包括了相對論與正質量定理、Yamabe問題與Yamabe不變量、Dirac算子、Ricci流與3維流形、調和映射、K?hler流形的強剛性定理、以及復幾何中的K?hler-Ricci流等重要內容。

在《幾何分析》的右邊，是一本由難波誠寫的《平面圖形的幾何學》。接著依次是《初等幾何學》、《曲線與曲面》、《波面的傳播與奇異點》、《幾何教程（上）》和《幾何教程（下）》。

然后是由代數幾何學家R. Hartshorne寫的名著《Algebraic Geometry（代數幾何）》的日譯本：《代數幾何學1》、《代數幾何學2》和《代數幾何學3》。近幾十年來，R. Hartshorne的《Algebraic Geometry（代數幾何》》已經成為了人們學習現代代數幾何最常使用的教材。由于在該名著的日譯本的正文后面，還給出了由兩位譯者寫的一部分重要習題的詳細答案（這對于初學者來說是很有價值的），所以日譯本的篇幅就大幅增加了，因此分為了三冊出版。R. Hartshorne的《Algebraic Geometry（代數幾何）》實際上是代數幾何學大師格羅滕迪克所寫的巨著《代數幾何原理》（即著名的EGA）的一個簡寫本，它從歷史的角度出發，講解了經典代數幾何、概形的初步理論、概形的上同調理論、代數曲線和代數曲面等最基本的內容。

在這三冊《代數幾何學1、2、3》的右邊，也是一本翻譯的數學書，它譯自J. H. Silverman與J. Tate一起寫的本科教材《Rational Points on Elliptic Curves（橢圓曲線上的有理點）》，該書的日譯本的書名改為《橢圓曲線理論入門》。橢圓曲線并不是橢圓，而是一種非常特殊的來源于橢圓的三次代數曲線。橢圓曲線在現代數論中的地位極其重要，例如著名的費馬大定理就是通過運用橢圓曲線的基本理論而得到證明的?！稒E圓曲線理論入門》一書所包含的主要內容有：橢圓曲線上的有限階點、有理點群、有限域上的三次曲線、三次曲線上的整點、復乘。

在《橢圓曲線理論入門》右邊的書依次為（從左到右）：《拓撲學》（加藤十吉）、《談談幾何》、《Irisuna定理前編：歐氏幾何的考察》、《Irisuna定理后編：非歐幾何的考察》、《歐幾里得幾何原本》（日譯本）、《四元數》、《四元數的發現》、《構造與拓撲》、《張量》、《開心的射影平面》、《折紙數學的擴充》與《折紙數學教室》。

5．結語

本文只介紹了日本東京的一家大型書店中一個書架里的數學專業類新書（這家書店的數學專業書總共有三個書架，再加上一個書架的數學文化類書籍，而一般的大型書店都有十來個這樣的數學書架，因此這家書店的數學專業新書還算是比較少的）。在日本的大型綜合書店里，對于所有的數學專業類的新書，如果不是屬于成套系列的書，基本上都是按照象“集合與拓撲”、“代數學”、“幾何學”和“微分方程”這樣的領域劃分來分類放置的。走到日本大型書店里數學專業類新書的書架前，筆者的感覺像是到了一個收集完備的數學專業圖書館，其中的書目主題涵蓋了現代數學所有主要的分支學科，這對于初學者們自發地學習和掌握現代數學基本理論是極其有利的。

關于日本書店里銷售的其他數學專業新書的介紹，可以參閱筆者的另一篇文章“日本書店里的數學專業類新書”，其中按照現代數學各個分支學科的方向列出了詳細的數學新書目錄。

文稿|陳躍

編輯|朱善軍