【原】攻克高維版本球堆積問題——烏克蘭女數(shù)學家獲得2022菲爾茲獎

返樸 2022-07-06 發(fā)布于北京

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2022年7月5日，國際數(shù)學聯(lián)盟（IMU）公布了新一屆素有“數(shù)學諾貝爾”之稱的菲爾茲獎。頒獎儀式在位于赫爾辛基的阿爾托大學(Aalto University)線下舉行。法國數(shù)學家雨果·迪米尼-科潘（Hugo Duminil-Copin，36歲）、美籍韓裔數(shù)學家許埈珥（June Huh，39歲）、英國數(shù)學家詹姆斯·梅納德（James Maynard，35歲）和烏克蘭數(shù)學家馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska，37歲）獲此殊榮。

其中，維亞佐夫斯卡是該獎歷史上第二位女性得主，也是烏克蘭首位獲得該獎的數(shù)學家，獲獎理由是“表彰其利用E8格證明了8維空間中的等體球體最密堆積問題，以及對相關極值問題和傅里葉分析中插值問題的進一步貢獻。”本文講述了其非凡驚人的工作。

7月3日，《返樸》曾刊發(fā)普林斯頓大學倪憶教授的文章《2022年菲爾茲獎，呼之欲出？》，該文預測到了新晉四位得主中的三人，對他們的成就都有簡要介紹，也提到了有著傳奇經(jīng)歷的許埈珥，他的故事可詳見今日微信二條。

撰文 | 埃莉卡·克拉賴希（Erica Klarreich）

翻譯 | 張旭成

馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska），37歲。

在2016年在線發(fā)布的兩篇論文中，一位烏克蘭數(shù)學家解決了有數(shù)百年歷史的“球堆積”問題的兩個高維版本。她證明，在8維和24維（后一情形與其他研究人員合作完成）的情形下，兩種高度對稱的排列能夠以盡可能最密集的方式將球體堆積在一起。

數(shù)學家最晚從1611年就開始研究球堆積了。當時，約翰內(nèi)斯·開普勒推測（Johannes Kepler），在空間中把相同大小的球體堆在一起的最密集的方式，就是雜貨店里常見的用來擺放橙子的金字塔形。盡管這個問題看起來簡單，但它直到1998年才得以解決——托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）以250頁的數(shù)學論證結(jié)合龐大的計算機計算，最終證明了開普勒的猜想。^[1]

高維的球堆積很難想象，但非常實用：球體密堆積與手機、空間探測器和互聯(lián)網(wǎng)通過噪聲信道發(fā)送信號時使用的糾錯碼密切相關。高維球體很容易定義——它只是高維空間中與給定的中心點有固定距離的點的集合。

在高維空間中尋找相同大小球體的最密堆積應該比黑爾斯解決的三維情形更復雜，因為每增加一個維度就意味著有更多可能的堆積方式要考慮。然而數(shù)學家們早就知道有兩個維數(shù)是特殊的：8維和24維，這兩個維數(shù)中分別存在著被稱為E₈ 和利奇格（Leech lattice）的對稱球堆積，這兩種令人眼花繚亂的球堆積要好于在其他維數(shù)上已知的最密球堆積的候選者。

“不知怎么的，一切都剛好完美地融合在了一起，這簡直是個奇跡。”馬薩諸塞州劍橋市微軟新英格蘭研究院的數(shù)學家亨利·科恩（Henry Cohn）說，“我想不出一個簡單且直觀的方法來解釋它是什么。”

出于數(shù)學家們尚未完全理解的一些原因，E₈ 和利奇格與包括數(shù)論、組合和雙曲幾何在內(nèi)的許多數(shù)學學科有關，甚至與弦論等物理領域也有關。科恩說，它們形成了“一種紐帶，讓許多不同的數(shù)學領域相交匯”。

“這其中發(fā)生了一些奇妙的事情，我想知道它是什么。”

數(shù)學家們已經(jīng)積累了令人信服的數(shù)值證據(jù)，表明 E₈ 和利奇格分別是各自維度上的最密堆積。但這些證據(jù)還不足以形成嚴格的證明。早在十多年前，研究人員就知道證明中缺少的應該是一個“輔助”函數(shù)，它可以計算最大容許的球體密度，但他們尚未找到這個正確的函數(shù)。

2016年3月14日，馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在線發(fā)布了一篇論文，給出了8維情形缺少的函數(shù)。^[2]她的工作使用了模形式的理論，模形式是一種強大的數(shù)學函數(shù)，當它被應用于某個問題時，似乎可以解鎖大量的信息。在8維情形下，當時還是柏林數(shù)學學院和柏林洪堡大學博士后研究員的維亞佐夫斯卡找到正確的模形式，只用23頁紙就證明了 E₈ 是最密的8維堆積。

普林斯頓大學和高等研究院的彼得·薩爾納克（Peter Sarnak）說：“就像所有偉大的事情一樣，這個證明非常簡單。剛開始讀論文時，你就知道它是對的。”

一周之內(nèi)，維亞佐夫斯卡、科恩和其他三位數(shù)學家成功地將她的方法推廣到了利奇格。“我想我們中一些人已經(jīng)對此期待了很長時間。”黑爾斯說。

圖片來源：Daniil Yevtushynsky

填充空隙

我們可以在每個維數(shù)構(gòu)造一個類似于金字塔狀的橙子堆，但隨著維數(shù)增加，高維橙子之間的空隙也會增大。到8 維時，這些空隙已經(jīng)大到足以容納新的橙子，并且只有在8維情況下，新添加的橙子才被緊緊固定在空隙中。由此產(chǎn)生的8維球堆積就是E₈，雖然它是通過兩步構(gòu)造出來的，但它的結(jié)構(gòu)比預想的要均勻得多。“一部分神秘之處在于，這個對象比聽上去要漂亮和對稱得多。”科恩說，“它有很多額外的對稱性。”

類似地，利奇格也是通過在密度較低的堆積中添加球體來構(gòu)建的，這一點幾乎是在事后才被發(fā)現(xiàn)的。20世紀60年代，英國數(shù)學家約翰·利奇（John Leech）研究了一種24維堆積，它可以通過“戈萊碼”（Golay code）構(gòu)造。戈萊碼是一種糾錯碼，后來被用于傳輸旅行者號探測器拍攝到的有歷史意義的木星和土星照片。在利奇關于這種堆積的文章發(fā)表后不久，他注意到，這種堆積所產(chǎn)生的空隙有足夠的空間，可以放入更多的球，并且這樣做會使堆積的密度增加一倍。^[3]

利奇格由此產(chǎn)生。在利奇格中，每個球體都被其他196 560個球體包圍。普林斯頓大學數(shù)學家約翰·康威（John Conway）通過探測格的結(jié)構(gòu)，在這種獨特的排列中發(fā)現(xiàn)了三種全新的對稱類型。^[4]耶路撒冷希伯來大學的數(shù)學家吉爾·卡拉伊（Gil Kalai）說，利奇格是“少數(shù)幾個最令人興奮的數(shù)學對象之一”。

2003 年，科恩和哈佛大學的諾姆·埃爾基斯（Noam Elkies）發(fā)明了一種方法，來比較 E₈ 和利奇格在各自維數(shù)上與其他球堆積方式的表現(xiàn)。^[5]科恩和埃爾基斯的工作表明，在每個維數(shù)中都存在一個無窮的“輔助” 函數(shù)序列，它可以用來計算該維數(shù)中容許的球體堆積密度的上限。

在大多數(shù)維數(shù)中，迄今為止發(fā)現(xiàn)的最密球堆積甚至無法接近這種方法產(chǎn)生的密度極限。但科恩和埃爾基斯發(fā)現(xiàn)，在8維和24維中，最密堆積—— E₈ 和利奇格——好像幾乎撞到了上限的天花板。科恩和石溪大學的阿比納夫·庫馬爾（Abhinav Kumar）對輔助函數(shù)序列進行大量的數(shù)值計算后發(fā)現(xiàn)，在8維和24維中，可能的最密堆積的密度比 E₈ 和利奇格高至多0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 1%。^[6]

鑒于這種非常接近的估計，似乎很明顯 E₈ 和利奇格一定是各自維數(shù)中的最密堆積。科恩和埃爾基斯猜測，對于這兩個維數(shù)中的每一個，都應該有一些輔助函數(shù)來給出與 E₈ 和利奇格的密度相匹配的精確答案。埃爾基斯在一封郵件中寫道：“我們做了很多次報告，甚至召開了一兩次會議來宣傳這個問題，希望這樣一個（函數(shù)）是已知的，或者只要我們知道了它在哪個數(shù)學領域就能很容易找到它，但一無所獲。”

黑爾斯說，多年來他一直認為正確的函數(shù)應該存在，但不知道如何找到它。“我覺得我們可能需要拉馬努金轉(zhuǎn)世才能找到它。”他說。拉馬努金指的是20世紀初的數(shù)學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan），他以似乎能憑空找到深刻的數(shù)學思想而聞名。

后來，維亞佐夫斯卡使用了拉馬努金也廣泛研究過的一種數(shù)學對象：模形式（Modular forms），發(fā)現(xiàn)了 E₈ 和利奇格難以捉摸的輔助函數(shù)。黑爾斯說：“她拉來了一個拉馬努金。”

開采黃金

模形式是具有特殊對稱性的函數(shù)，就像埃舍爾的版畫中天使和魔鬼的圓形鑲嵌圖案一樣。這些函數(shù)具有啟發(fā)不同數(shù)學領域的驚人能力——例如，它們在1994年費馬大定理的證明中就發(fā)揮了重要作用。盡管模形式已經(jīng)被研究了幾個世紀，但數(shù)學家們?nèi)栽诮议_隱藏在其系數(shù)中的深層秘密。薩爾納克稱模形式為金礦。“我等著某天有人寫一篇題為'模形式不合理的有效性’的文章。”他說。

托馬斯·黑爾斯(Thomas Hales)于1998年用計算機證明了一個著名的猜想，即如何用最密集的方式堆疊球體。丨圖片來源：Michigan Photography

然而不幸的是，模形式的數(shù)量十分有限，并且它們是高度受約束的對象。“你不能只寫下一個模形式，就讓它做你需要的任何事。”科恩說，“所以問題在于，是否真的存在一個模形式能做你需要它做的事。”

維亞佐夫斯卡2013年的博士論文是關于模形式的，而且她在離散優(yōu)化方面也有專長。離散優(yōu)化是球堆積問題的核心領域之一。因此，5年前，當維亞佐夫斯卡的朋友、挪威科技大學的安德里·邦達連科（Andrii Bondarenko）建議他們一起研究8維球堆積問題時，維亞佐夫斯卡同意了。

他們與德國馬克斯·普朗克數(shù)學所的達尼洛·拉琴科（Danylo Radchenko）一起斷斷續(xù)續(xù)地研究這個問題。最終，邦達連科和拉琴科轉(zhuǎn)向了其他問題，但維亞佐夫斯卡仍繼續(xù)獨自持燈前行。她說：“我覺得這是屬于我的問題。”

經(jīng)過兩年的努力，維亞佐夫斯卡成功為 E₈ 找到了正確的輔助函數(shù)，并證明它是正確的。維亞佐夫斯卡表示，她很難解釋自己是如何知道該使用哪種模形式的，她目前正在寫一篇文章，試圖描述引領自己找到模形式的“哲學原因”。她說：“這背后有一個全新的數(shù)學故事。”

2016 年3 月14 日，維亞佐夫斯卡發(fā)表了她的論文。之后，她被這篇論文在球堆積研究人員中引發(fā)的興奮情緒所震驚。“我認為人們會對這個結(jié)果感興趣，但我不知道會有這么多關注。”維亞佐夫斯卡說。

那天晚上，科恩發(fā)郵件向她表示祝賀，在兩人郵件交流時，他問維亞佐夫斯卡是否有可能將自己的方法推廣到利奇格。“我當時覺得，'我已經(jīng)累了，應該休息一下。’”維亞佐夫斯卡說，“但我還是想試著發(fā)揮作用。”

他們兩人開始與庫馬爾、拉琴科以及羅格斯大學的斯蒂芬·米勒（Stephen Miller）合作。得益于維亞佐夫斯卡早期的研究成果，他們很快為利奇格找到了一種構(gòu)造正確輔助函數(shù)的方法。在維亞佐夫斯卡發(fā)布她第一篇論文后僅一周，該團隊就在網(wǎng)上發(fā)布了一篇12頁的論文。^[7]

這些結(jié)果對糾錯碼沒有任何實際意義，因為已知 E₈ 和利奇格接近完美就足以滿足所有現(xiàn)實世界的應用。但這兩個證明卻給數(shù)學家們提供了一種完結(jié)感和一個強大的新工具。科恩說，接下來一個自然的問題是，這些方法是否可以用來證明 E₈ 和利奇格具有“泛最優(yōu)性”。這意味著它們不僅提供了最密堆積，而且如果將這些球體的中心視為互斥的電子的話，它還提供了能量最低的堆積。

斯坦福大學的阿克沙伊·文卡特什（Akshay Venkatesh）表示，由于 E₈ 和利奇格與數(shù)學和物理學的許多領域有關，維亞佐夫斯卡的方法最終很可能帶來更多的發(fā)現(xiàn)。“在我看來，這個函數(shù)很可能也是某個更豐富的故事的一部分。”

參考文獻

[1] https:///10.4007/annals.2005.162.1065

[2] https:///10.4007/annals.2017.185.3.7

[3] https:///10.4153/CJM-1964-065-1

[4] https:///10.1112/blms/1.1.79

[5] https:///10.4007/annals.2003.157.689

[6] https:///10.4007/annals.2009.170.1003

[7] https:///10.4007/annals.2017.185.3.8

本文經(jīng)授權(quán)摘自《素數(shù)的陰謀》（中信出版社·鸚鵡螺，2020.2），原標題為《數(shù)學家攻克高維版本的球堆積問題》。