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作者：Thomas Lin、Erica Klarreich 2022-7-5 譯者：zzllrr小樂 2022-7-5
在今天的菲爾茲獎頒布儀式上，IMU 引用了維亞佐夫斯卡的許多數學成就，特別是她證明了一種稱為E?晶格的排列是八維球體中最密集的排列。她只是菲爾茲獎章 86 年歷史上第二位獲得此榮譽的女性。（瑪麗安·米爾札哈尼Maryam Mirzakhani是第一個女菲爾茲獎得主，2014 年。但已故，伊朗裔美國人，zzllrr小樂譯注） 與其他菲爾茲獎得主一樣，維亞佐夫斯卡“設法完成了許多人嘗試過但未能做到的完全不明顯的事情，”數學家亨利·科恩說，與其他人不同的是，“她通過揭示非常簡單、自然、深刻的結構來完成這些工作，這些結構是沒有人預料到的，也沒有其他人能夠找到的。” 二階導數 在一個下雨的五月下午，在EPFL瑞士洛桑聯邦理工學院（被稱為數學、物理和工程領域的領先研究型大學——它有時被稱為歐洲的麻省理工學院）。在一個自行車和行人兩用車道的盡頭的一條小高速公路下，校園生活的田園般的標志映入眼簾：裝滿自行車的巨大兩層架子，適合科幻城市景觀的模塊化（此處也是雙關語，數學名詞——模，zzllrr小樂譯注）建筑，以及中央廣場兩旁是教室、餐館和樂觀的學生海報。廣場之外是一個現代化的圖書館和學生中心，它以三維曲線上升和下降，讓學生們在里面和外面走來走去。從下方可以通過圓柱形軸看到天空，這些軸像瑞士奶酪一樣穿過拓撲結構。不遠處，在其中一個模塊化結構內，一位持有安全門禁卡的教授打開了通往數學系內部密室的橙色雙門。經過諾特、高斯、克萊因、狄利克雷、龐加萊、科瓦列夫斯基和希爾伯特的肖像，矗立著一扇綠色的門，上面簡單地標著“瑪麗娜·維亞佐夫斯卡教授，數學主席。”
辦公室里面是閑置的和實用的：只有一臺電腦、打印機、黑板、文件和書籍，幾乎沒有個人物品。魔法發生的地方與其說是時空中的物理位置，不如說是維亞佐夫斯卡腦海中一個更高維度的抽象世界。 在她辦公室的小桌子對面，這位世界杰出的裝球數論家開始以她慣常的實事求是的方式講述她的故事。漸漸地，她打破了形式，微笑了，她的眼睛亮了起來，向上抬起，她在喚起過去的記憶的同時變得更加活躍。 最早的記憶是 3 歲時和祖母一起從她家廉價公寓樓（以前蘇聯領導人尼基塔·赫魯曉夫命名）沿著一條寬闊的林蔭大道走到地球化學家弗拉基米爾·維爾納德斯基的紀念碑，她的祖母在那里舉起她起身，將她拋向空中。現年 37 歲的維亞佐夫斯卡說，1980 年代后期對蘇聯來說是一段艱難的時期。“人們花了很多很多時間來購買基本的東西。” 當一家商店的黃油或肉類等商品供不應求時，她的母親會為她的三個孩子多帶一些而感到難過，并擔心排長隊的其他人會生她的氣。她的家人幾乎一無所有，但她的父母確保她和她的姐妹們永遠不會挨餓或沒有暖氣。沒有商店出售漂亮的衣服，但有時工人們有機會贏得一雙捷克斯洛伐克制造的時尚鞋，作為他們做好工作的激勵。她的母親向她解釋說，這雙鞋可能不合腳，但如果你中了一雙，可以與贏得你尺碼的人交易。 “我 6 歲時，蘇聯解體了，”維亞佐夫斯卡說。她的家人很高興能生活在一個自由獨立的烏克蘭，但惡性通貨膨脹只會加劇他們的經濟困境。在蘇聯，有錢卻沒有東西可以花。烏克蘭獨立初期，有貨，但沒錢買。她的母親一直擔任工程師直到 1995 年，在工作的最后一年，她告訴女兒，她的月薪無法支付地鐵票。 維亞佐夫斯卡將她的父親描述為一位“精力充沛”并具有“創業精神”的前化學家，回憶起他是如何辭去工作并通過一家又一家地創辦一家小企業來接受新現實的。她說，新的現實是混亂和不可預測的。“有一天，你沒有多少。然后還有另一個機會，你有很多。”
盡管如此，維亞佐夫斯卡和她的丈夫、EPFL 的物理學家丹尼爾·埃夫圖辛斯基（Daniil Evtushinsky）仍然記得，烏克蘭人對經濟增長前景充滿希望。“在經濟中，重要的是衍生品，而不是絕對價值，”Evtushinsky 說，他指的是增長率對一個人的流動資產的重要性。 考慮到這個絕對值有時有多低，維亞佐夫斯卡笑著回答說：“也許是二階導數。” 幾乎無限 一年級時，維亞佐夫斯卡意識到她更喜歡數學而不是語言藝術：“在閱讀方面，我太慢了。在寫作中，我太亂了。但在數學方面，我有點快。” 并不是她不喜歡讀書。她閱讀了大仲馬、儒勒·凡爾納和她父母給她的各種海盜冒險書籍。后來，她發現了科幻小說并愛上了這一類型。阿爾杰農的鮮花，雨果獎獲獎短篇小說，講述了一個智障男子和一只實驗室老鼠通過實驗程序來提高他們的智力，特別令人難忘，她說，因為它“實際上是關于我們”——人類的狀況，而不是夢幻般的技術。她還閱讀了俄羅斯兄弟阿爾卡季和鮑里斯·斯特魯加茨基寫的科幻小說。她說，雖然他們早期的作品過于樂觀和幼稚，但他們的作品變得越來越黑暗，“更加聰明和深刻”。 Evtushinsky 回憶起第一次見到維亞佐夫斯卡是在他們 12 歲左右的時候，他們是在課后物理圈。即便如此，她還是以自己的方式解決數學問題。他記得，一個問題涉及一個包含七個元素的物理系統。“瑪麗娜猜想七幾乎是無窮大，”他說。他說，這種非凡的近似“效果很好，大大簡化了問題”。“沒有其他人可以提出這個建議。” 維亞佐夫斯卡的妹妹娜塔莉（Natalie）和泰蒂亞娜（Tetiana）回憶起她在孩提時代的才華和奉獻精神。“當每個人都睡覺時，她會拿著記事本，畫一些公式，”娜塔莉說，并補充說，他們的父母擔心她學習太多，而不是像其他孩子一樣玩耍。 娜塔莉并不期待得到和姐姐一樣的數學老師。“她的數學老師成了我的數學老師，”娜塔莉說。“我經常聽說瑪麗娜是個出色的學生。” 維亞佐夫斯卡就讀于一所專門學校（相當于美國的高中），在那里她被高級數學和物理課程以及那些真正熱衷于解釋困難概念并讓學生投入工作以掌握它們的杰出教師所鼓舞. 在那里，她更深入地進入了她多年來熱愛的競爭激烈的數學奧林匹克世界。 它并不總是愛她。“它教你如何輸，如何贏，”維亞佐夫斯卡說。“就我而言，我并沒有想象中的那么成功。” 在中學的最后一年，她的夢想是代表烏克蘭參加國際數學奧林匹克。在全國比賽中，只有前12名的選手被邀請參加一個訓練營，其中6名國家隊隊員被選拔出來。維亞佐夫斯卡排名第 13。她說，她學習很努力，但“顯然還不夠努力”。 烏克蘭數學奧林匹克項目負責人、基輔大學數學教授波格丹·魯布廖夫（Bogdan Rublyov）記得那年與維亞佐夫斯卡會面。他稱她成為如此杰出的數學家是一個“巨大的驚喜”，但他“對此感到非常高興”，他說，“因為她是一個非常好的人。” 她繼續贏得了許多大學數學競賽，并且，他說，在裁判委員會中幫助為基輔的奧林匹克競賽評分。
5 月，在菲爾茲獎宣布前幾周，魯布廖夫確信，鑒于俄羅斯在世界舞臺上的影響力，像維亞佐夫斯卡這樣的烏克蘭人無法獲得數學最高獎項。“很遺憾她沒有獲得菲爾茲獎，”他當時這樣感嘆道，“而她是應該得到的。” 做對了 維亞佐夫斯卡作為數學家的第一個重要時刻是在 2005 年，當時她在基輔大學大四時與人合作完成了她的第一個原創研究成果。雖然這不是一個主要的未解決問題，但她意識到這是她可以解決的問題。她說，快樂來自于“感覺一場爭論走到了一起，而且確實奏效了”。結果讓她信心倍增。 基輔大學的數學教授Igor Shevchuk 鼓勵維亞佐夫斯卡去研究他的一個問題，他幫助組織了一些她參加過的大學數學競賽。她說，Shevchuk 與幾個人討論了這個問題，其中包括她和一名碩士生，名叫安德烈·邦達連科（Andrii Bondarenko）。她和 Bondarenko 共同制作的論文開啟了兩人之間富有成果的合作時期。后來，當邦達連科在基輔大學任教時，他開始與一位名叫丹尼洛·拉德琴科（Danylo Radchenko）的優秀學生一起工作。三位年輕的烏克蘭數學家聯手合作。 2011 年，Viazovska 與 Bondarenko 和 Radchenko 一起向《數學年鑒》雜志提交了一篇名為球形設計的論文。正如維亞佐夫斯卡和拉德琴科當時的博導唐·扎吉爾所說，正如數學家所說，“年鑒”可能是數學界最負盛名的期刊——“巔峰之作” 。當 Radchenko 告訴 Zagier 三人組的目標時，Zagier 心想：“做夢吧……你是初學者。” 但這篇論文被接受了，很快數學家們就組織了整個會議來討論它。“哇，多么棒的論文，”微軟研究院和麻省理工學院的科恩在讀到它時想。
這篇論文通過查看函數在一些點上的值來研究分析函數行為的經典問題。在三人組處理的版本中，該函數是一個多項式——例如，4 xy2z?+ 3 x?——我們可以將多項式的每個可能輸入視為一個位于空間中的點，其維數匹配變量個數（因此對于上述多項式，每個輸入將是三維空間中的一個點，分別是x-、y - 和z-軸）。在維亞佐夫斯卡和她的合作者研究的問題中，我們對球面上多項式的平均值感興趣。我們可以通過在球體上選擇幾個點并對這些點處的多項式值進行平均來近似這個平均值。如果我們真的很幸運——或者如果我們仔細選擇點——我們甚至可能得到準確的答案而不是近似值。 數學家早就知道，對于每個多項式，你都可以選擇一些有限的點集來給出準確的答案。更重要的是，你可以選擇一組點，這些點將適用于所有多項式，直到某個給定的“度”（任何多項式項中的最高指數總和）。例如，如果你在三維空間中工作，你可以在球體中嵌入一個正二十面體，并使用它的 12 個角作為你的采樣點，并且你可以保證得到所有多項式的準確答案5. 像這 12 個點這樣的集合稱為球面設計。 自 1970 年代以來，數學家們一直在想：當你查看次數越來越高的多項式時，球形設計中的點數如何增長？這就是維亞佐夫斯卡、邦達連科和拉德琴科回答的問題。 “這需要很多人思考了很長時間的事情，經過一連串次優的構建，這篇論文出現并說，'好吧，哎呀，你為什么不這樣做，然后你會得到完全正確的界限，QED（證明完畢），'”科恩說。“他們并不是為了得到這個而跳過各種精心設計的箍——他們只是做對了。” 魔術函數 作為一名本科生，維亞佐夫斯卡過著她所謂的“雙重生活”，將她的研究劃分為看似完全不同的代數和分析領域（微積分的推廣）。但后來她去波恩攻讀博士學位，開始研究模形式，具有特殊對稱性的函數，與藝術家M.C.Escher埃舍爾的圓形瓷磚中出現的函數相關。模形式涉及大量的分析，但它們的對稱性也將代數帶入了畫面。“我意識到這是我的兩種激情相遇的地方，”她說。 與 Bondarenko 和 Radchenko 一起，她開始探索模形式是否可以闡明三個人一直試圖解決的一個數百年的問題：如何以最密集的方式將球體打包在一起。數學家們已經知道，在平面上最密集的圓形填充方式是蜂窩狀，而在三維空間中填充球體的最密集方式是你在雜貨店看到的常見的金字塔形堆垛方式。但是這個問題也可以在更高的維度上提出，它對糾錯碼有重要的應用。 沒有人知道高于3維的最密集的球形堆積是什么。但是兩個特殊維度——8 和 24——有很強的候選者。在這兩個維度中存在高度對稱的排列，分別稱為E?和 Leech 晶格，比數學家能找到的任何其他排列都密集得多。 哈佛大學的Cohn 和Noam Elkies開發了一種方法，該方法使用某些函數來計算球體堆積密度的上限。在 8 維和 24 維中，這些上限與E?和 Leech 晶格的密度幾乎完美匹配。數學家確信在這兩個維度中的每一個維度中，都必須有一個“神奇”函數，其邊界與E?或 Leech 晶格完美匹配，從而證明它們是最密集的堆積。但研究人員不知道在哪里可以找到這些神奇的函數。
Bondarenko、Viazovska 和 Radchenko 尋求模形式來嘗試構建一個神奇的函數，但很長一段時間他們都沒有取得什么進展。最終，Bondarenko 和 Radchenko 將注意力轉向了其他問題。不過，Viazovska 無法停止思考球形堆積。不知何故，這個問題感覺好像是屬于她的，她后來告訴量子雜志。 沉思了幾年這個問題，2016年，她終于找到了八維的魔法函數。她發現，答案不是模形式，而是某種“準模”形式（quasimodular form），在對稱性方面存在誤差。高級研究所的彼得·薩納克說，她發表了一篇“絕對令人驚嘆”的論文。它屬于那種論文：“你拿起這些論文之一，[并且]在你讀完所有論文之前你不會放下。” 在論文出現后的幾個小時內，她的結果的消息就傳開了。那天晚上，高等研究院的數學家Akshay Venkatesh （他本人是2018 年菲爾茲獎得主）通過電子郵件向科恩發送了該論文的鏈接，并附上“哇！” 在主題行中。科恩如饑似渴地閱讀證明。“我最初的反應是，'這到底是什么？看起來沒有人試圖為構建這些函數做任何事情，'”他說。 對 Cohn 來說，Viazovska 使用的準模形式似乎總是“只是模形式的一個有缺陷的版本，”他說。但是“表面之下隱藏著整個非凡的豐富理論。” 他確信維亞佐夫斯卡的方法也應該適用于 24 維度，于是他給她發了電子郵件，提議合作。 維亞佐夫斯卡只想休息一下。但她同意深入研究 24 維問題，并且在一個緊張的一周內，她和科恩，以及 Radchenko 和其他兩位數學家，設法證明了Leech晶格是最密集的 24 維球體堆積。（ https:///abs/1603.06518 ）拉德琴科回憶說，那“可能是我一生中最瘋狂的一周”。 一個大膽的猜想 Viazovska 和她的合作者從堆積球體的工作中脫穎而出，抱負更高。長期以來，數學家一直懷疑E?和 Leech 晶格不僅僅是堆積球體的最佳方式。數學家假設，這兩個晶格是“普遍最優的”（universally optimal），這意味著它們是根據許多標準的最佳排列——例如，在空間中定位相互排斥的電子或在溶液中定位扭曲聚合物的最低能量方式。 為了證明E?和 Leech 晶格在所有這些不同的環境中最小化能量，團隊必須為每種不同的能量概念提出魔法函數——無限多的魔法函數。但他們只有關于這樣一個神奇的函數必須如何表現（如果它存在的話）的部分信息。他們知道函數在某些點上的值，在其他點上他們知道傅里葉變換的值，它測量函數的固有頻率。他們還知道函數及其傅里葉變換在特定點變化的速度有多快。問題是：這些信息是否足以重構函數？ 維亞佐夫斯卡做了一個大膽的猜想：團隊掌握的這些信息正好可以確定魔法函數。再少一點，就會有很多適合的函數。再多的話，該函數就會受到限制而無法存在。 科恩對此表示懷疑。維亞佐夫斯卡的提議是如此簡單和根本，以至于“如果這是真的，人類肯定已經知道了，”他當時想。他也知道維亞佐夫斯卡沒有輕率地猜測。“我仍然想，'這有點在碰她的運氣。'” Viazovska 和 Radchenko 首先設法證明了她猜想的簡化版本，其中信息僅限于函數的值及其傅里葉變換，而不是它們變化的速度。然后，與他們的球堆積合作者一起，他們想出了如何證明完整的猜想——這正是證明E?和 Leech 晶格是普遍最優的所需要的。科恩說，似乎在試圖理解這些晶格的過程中，“瑪麗娜也在推動傅里葉分析的最新技術。”
紐約大學的Sylvia Serfaty說，由此產生的論文（https://annals.math./articles/17703）與 19 世紀的重大突破不相上下，當時數學家解決了許多困擾他們前輩幾個世紀的問題。“這篇論文確實是科學的一大進步，”她當時告訴量子雜志。“要知道人腦能夠產生類似的證明，對我來說這是一個非常了不起的事實。” 戰爭與和平 如果維亞佐夫斯卡在做數學時有時似乎居住在另一個平面或不同的維度，那可能是因為，正如她十幾歲的兒子邁克爾所了解的那樣，她在自己的世界里。“有時我媽媽耳朵里有回路，當你和她說話時沒有反應，”他說。他記得當家人住在柏林時，他是幼兒園班上最后一個被接走的孩子（Viazovska 正在研究E?證明）。他知道他的母親贏得了很多數學獎項，但聽到菲爾茲獎的消息感到很驚訝，他說：“現在我明白她為什么這么努力了。” 5 月初，在他們位于洛桑的公寓里，距離 EPFL 校園有 20 分鐘的步行路程，起居區的壁龕里加塞了一張床，以容納 Natalie 和 Tetiana，以及 Tetiana 的女兒 Oleksandra 和兒子 Maksym。今年春天，Oleksandra 不是在基輔的家中慶祝她的 10 歲生日，而是在她姨媽瑪麗娜在洛桑的家中慶祝。 公寓的一面墻上掛著一幅大畫《維亞佐夫斯卡》，畫的是附近日內瓦湖的景色。在數學之外，藝術一直是她從小到大的主要逃避方式。她最喜歡的一些畫作，比如她用一個裝有埃舍爾式魚圖案的克萊因瓶制作的畫作，融合了數學和科學的主題。（她解釋說，如果不對克萊因瓶和 M.C. Escher 感興趣，就很難學習數學。）她有時會在工作中畫圖來幫助形象化幾何概念，但她敏銳地意識到，在處理更高維度時，“我們的兩維和三維的直覺往往會產生誤導。”
維亞佐夫斯卡走路去上班，既是為了鍛煉，也是因為她和她的丈夫都不開車——這對夫婦深情地互相嘲笑。“Maryna 有駕照，但在我們的三維世界中，[她] 很難開車，”Evtushinsky 開玩笑說。“哈哈，”維亞佐夫斯卡面無表情。當 Evtushinsky 解釋他如何獲得駕照時，她將其描述為“一個漫長而緩慢的過程”。 “我們可能是唯一沒有車的父母，”Evtushinsky 說。“我不知道為什么這對我們來說如此困難。” 原文鏈接： https://www./ukrainian-mathematician-maryna-viazovska-wins-fields-medal-20220705/ |
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