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三年前，瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院的Maryna Viazovska一鳴驚人，找出了在8維和24維空間中大小相等球體的最密堆積法。如今，她和合作者提出了一項更出彩的證明：解決上述問題的構(gòu)型，還可以用來解決無數(shù)個不重合點的最佳排列問題。 撰文 | Erica Klarreich 翻譯 | 馬一瑗 編輯 | 吳非 這些點可以是無限多個相互排斥的電子的集合，它們需要達到最低能量構(gòu)型；還可以代表溶液中具有聚合物長鏈的中心，它們需要避免與其他聚合物碰撞。相似的問題還有很多，但是否存在通用的解決方法呢？數(shù)學(xué)家認為，在大多數(shù)維度中，這都是不太可能的。 但是，8維和24維是例外。它們各自包含一個特殊的高度對稱的點構(gòu)型，能同時解決所有問題。用數(shù)學(xué)語言來說，這兩種構(gòu)型是“普遍最優(yōu)的”。 這一新發(fā)現(xiàn)涵蓋了Viazovska及其合作者以前大部分的工作。“但靈感的火花并未止步于此。”匹茲堡大學(xué)的數(shù)學(xué)家Thomas Hales評價道，他于1998年證明了在三維空間中，球體的最密堆積法是金字塔型。 如今，8維、24維與1維一同成為了已知具有普遍最優(yōu)構(gòu)型的維度。數(shù)學(xué)家懷疑二維平面上的等邊三角形晶格也是一個普遍最優(yōu)構(gòu)型，但是沒有證據(jù)。三維空間則復(fù)雜得多：不同情形中存在不同的最優(yōu)點構(gòu)型，而對于某些問題，數(shù)學(xué)家對它們的最優(yōu)構(gòu)型甚至毫無頭緒。 “改變維度或是稍微改變問題，一切就可能完全無法預(yù)測了，”布朗大學(xué)的數(shù)學(xué)家Richard Schwartz說，“我不知道為何數(shù)學(xué)宇宙會這樣古怪。” 證明普遍最優(yōu)性要比解決球體堆積問題困難得多。這是因為普遍最優(yōu)性同時包含無數(shù)不同問題，而這些問題本身也很難解決。在球體堆積問題中，只用考慮每個球體附近球的位置；但是對于分散在空間中的電子，不管相距多遠，每個電子還會與所有其他電子相互作用。Hales說：“即使有早期的工作支持，我也從沒想過普遍最優(yōu)性的證明會是可行的。” “他們的工作令我印象深刻，”紐約大學(xué)的數(shù)學(xué)家Sylvia Serfaty說，“它的意義相當于19世紀的數(shù)學(xué)大突破。” 制作：DVDP for Quanta Magazine 一個魔法證明 8和24維的表現(xiàn)會與7、18或25維不同，這聽起來也許很奇怪，但數(shù)學(xué)家們早已知道，在不同的維度里，物體的堆積方式是不同的。例如，考慮一個更高維度的球體，將它定義為與某一中心點等距的點的集合。如果比較球體與能裝下它的最小立方體的體積，當維度增加時，球體占據(jù)立方體的體積比越小。如果你想把一個8維的足球裝進最小的立方體盒子，那么這個球只占盒子體積的不到2%，剩下的空間全部被浪費了。 在所有高于3的維度中，構(gòu)建一個類似于金字塔堆積的結(jié)構(gòu)都是可能的，并且隨著維度的增加，球體之間的空隙會增大。當達到8維時，空隙突然增大到足以將新的球體放入。這就產(chǎn)生了一種被稱為E8晶格的高度對稱構(gòu)型。同樣，在24維中，會產(chǎn)生Leech晶格，可以將額外的球體放入另一個已被研究透徹的球體堆積空隙中。 出于某種數(shù)學(xué)家們沒有完全理解的原因，這兩種晶格出現(xiàn)在從數(shù)論到數(shù)學(xué)物理等各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。十多年來，一直有強有力的計算證據(jù)暗示，E8和Leech晶格在各自的維度上是普遍最優(yōu)的，但數(shù)學(xué)家還不知道如何證明這一點。 直到2016年，Viazovska邁出了第一步，她證明了這兩種晶格是最優(yōu)的球體堆積法。（她與Cohn、羅格斯大學(xué)的Abhinav Kumar、Stephen Millerrof，以及德國馬克斯普朗克數(shù)學(xué)研究所的Danylo Radchenko一起得出了Leech晶格的證明） Hales的三維球體堆積證明足足寫了數(shù)百頁紙，還需要大量的計算機計算，而Viazovska的E8證明只有短短23頁。她的論證核心是找出一個“魔法”函數(shù)，以證明E8是球體堆積的最優(yōu)方式。這一函數(shù)可能很難找，但一旦找到，就能使證明問題豁然開朗。舉例來說，如果有人問你是否存在實數(shù)x使多項式x2–6x+9為負，你第一時間可能很難回答。但是，當你意識到這個多項式等于（x-3）2時，你立刻就會知道答案是否定的，因為平方數(shù)永不為負。 Viazovska的魔法函數(shù)很強大，甚至超乎預(yù)期。球體堆積問題只關(guān)心附近點之間的相互作用，但是Viazovska的方法似乎也適用于遠程相互作用，例如電子之間的相互作用。 高維不確定性 要證明空間中某種點的構(gòu)型是普遍最優(yōu)的，必須先指定所討論的問題體系。不存在對所有目標都是最優(yōu)的點的構(gòu)型，例如，當引力作用于點上時，最低能量的構(gòu)型不是任何一種晶格，而是所有點都位于同一個點上的大規(guī)模堆積。 Viazovska、Cohn和他們的合作者關(guān)注的是斥力體系。準確地說，他們考慮的條件是完全單調(diào)的，即點之間的距離越近，斥力越強。這一體系包括物理世界的眾多常見力，例如電荷的庫侖平方反比定律。球體堆積問題屬于這一體系的邊緣問題，只要把球體不重疊的條件轉(zhuǎn)換為當兩球中心距小于直徑時，會出現(xiàn)無窮大的斥力就可以了。 對于這些完全單調(diào)的力，問題就變成：對于無限多的粒子集合，其最低能量構(gòu)型，或者說“基態(tài)”是什么。2006年，Cohn和Kumar通過比較能量函數(shù)與具有良好性質(zhì)的較小“輔助”函數(shù)，開發(fā)了一種求基態(tài)能量下限的方法。他們發(fā)現(xiàn)每個維度都存在無限多的輔助函數(shù)，但無法確定哪個是最好的。 在8和24維中證明普遍最優(yōu)性的五位論文作者：從左上順時針分別為Henry Cohn, Abhinav Kumar, Maryna Viazovska, Stephen Miller和Danylo Radchenko。 Cohn和Kumar發(fā)現(xiàn)在大多數(shù)維度中，他們找到的數(shù)值邊界與最廣為人知的構(gòu)型的能量大相徑庭。但是在8和24維中，Cohn和Kumar嘗試模擬了所有的斥力，其數(shù)值邊界與E8和Leech晶格的能量都驚人地相似。自然，接下來的疑問就是，對于任何給定的斥力，是否存在一個完美的輔助函數(shù)，其給出的邊界與E8或Leech晶格能量完全匹配。對于球體堆積問題，這正是Viazovska三年前的工作：她在模函數(shù)中找到了完美的“魔法”輔助函數(shù)，模函數(shù)的特殊對稱性使它們數(shù)世紀以來一直是數(shù)學(xué)家的研究對象。 當涉及到其他排斥點問題，例如電子問題時，每個魔法函數(shù)需要滿足的特性是已知的：其必須在特定點上具有特殊值，而其傅立葉變換（用于量化函數(shù)的固有頻率）則需要在其他點上具有特殊值。研究人員只是不知道這樣的函數(shù)是否存在。 通常，構(gòu)造一個在某些點上有期望效果的函數(shù)很簡單，但是同時控制函數(shù)及其傅立葉變換是非常困難的。Cohn說：“當你強行調(diào)整它們中的一個時，另一個總會與你的期望背道而馳。” 事實上，這一特性屬于物理中著名的不確定原理。海森堡不確定原理就是這樣一個特例，因為一個粒子的動量波是其位置波的傅立葉變換。 對于8或24維中的斥力，Viazovska大膽地推測：研究團隊想要在他們的魔法函數(shù)上施加的邊界限制，及其傅立葉變換都恰好落在可能和不可能之間的界線上。她懷疑，再多一點限制，就不可能存在這樣的函數(shù)；再少一點限制，則可能存在太多函數(shù)。而在團隊所研究的條件下，恰好只有一個函數(shù)完全合適。 “我認為這是Viazovska的一大優(yōu)點，” Cohn 說，“她既有洞察力，又很大膽。” 而Cohn對此持懷疑態(tài)度——Viazovska的猜測太理想了，很難相信是真的。但最終團隊證明了她是對的。他們不僅證明了每個斥力都正好對應(yīng)一個魔法函數(shù)，還給出了其構(gòu)造方法。與球體堆積一樣，這種結(jié)構(gòu)直截了當?shù)刈C明了E8和Leech晶格的最優(yōu)性。“這個結(jié)果意義重大。” Schwartz說。 三角形晶格 除了解決普遍最優(yōu)性問題外，新的證明還解答了許多自三年前Viazovska解決球體堆積問題以來一直存在的疑問：她的魔法函數(shù)是怎么得出的？ “我想很多人都很困惑，” Viazovska說，“他們不斷問，‘這里是什么意思？’” 在這篇新的論文中，Viazovska和她的合作者證明了球體堆積魔法函數(shù)只是一系列模函數(shù)中的首例，這些模函數(shù)可以被用來構(gòu)造針對各種斥力的魔法函數(shù)。“現(xiàn)在它有很多兄弟姐妹了。” Viazovska說。 這一切如此巧妙，仍然讓Cohn覺得有些不可思議。“在數(shù)學(xué)中，有些事你必須通過堅持和蠻力來完成，”他說，“而有時候，就像這次一樣，像是數(shù)學(xué)希望巧合發(fā)生。” 下一個問題自然變成，這些方法是否適用于證明另一位候選者：二維平面中的等邊三角形晶格的普遍最優(yōu)性。 與E8和Leech晶格不同，二維三角形晶格在自然界中無處不在，從蜂窩結(jié)構(gòu)到超導(dǎo)體中的漩渦狀排列均在此列。在大量的實驗和模擬基礎(chǔ)上，物理學(xué)家們提出假設(shè)，這一晶格在廣泛的范圍中都是最佳的。但是，沒有人能給出三角形晶格普遍最優(yōu)的概念解釋，而這有望由數(shù)學(xué)證明解答。 除8和24維之外，二維是唯一一個Cohn和Kumar的數(shù)值下界可以良好運作的維度。這強烈暗示了二維中應(yīng)該也存在魔法函數(shù)。但是同樣的構(gòu)建魔法函數(shù)的方法不太能在這個新領(lǐng)域中延伸。它很大程度上依賴于E8與Leech晶格中，點距恰到好處，而在二維中則不是這樣。Cohn認為，這一維度“目前似乎超越了人力”。 當前，數(shù)學(xué)家們還在慶祝他們對古怪的8維和24維空間的新了解。Schwartz表示：“這是我有生之年能見到的最好的事之一。” 原文鏈接： https://www./universal-math-solutions-in-dimensions-8-and-24-20190513/ |
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