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最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點，但也是高分的必須突破點，需要牢記絕對值中的最值情況規(guī)律，解題時能達(dá)到事半功倍的效果。我們通過一道例題，得到兩個絕對值和的最值問題規(guī)律。
例題1：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物．有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點直觀地表示實數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系．在數(shù)軸上，若點A，B分別表示數(shù)a，b，則A，B兩點之間的距離為AB=|a-b|．反之，可以理解式子|x-3|的幾何意義是數(shù)軸上表示實數(shù)x與實數(shù)3兩點之間的距離．則當(dāng)|x+2|+|x-5|有最小值時，x的取值范圍是（ ） 方法一：代數(shù)法（借助零點分類討論） 解：當(dāng)-2≤x≤5時，|x+2|+|x-5|有最小值，最小值是7； 當(dāng)x＞5時，x+2+x-5=2x-3＞7， 當(dāng)-2≤x≤5時，x+2+5-x=7， 當(dāng)x＜-2時，-2-x+5-x=3-2x＞7， 故當(dāng)-2≤x≤5時，|x+2|+|x-5|有最小值，最小值是7。 方法二：（根據(jù)絕對值的幾何意義） |x+2|+|x-5|可以理解為數(shù)軸上表示實數(shù)x與實數(shù)-2的距離，實數(shù)x與實數(shù)5的距離，兩者的和。結(jié)合數(shù)軸，當(dāng)-2≤x≤5時，|x+2|+|x-5|有最小值，最小值是7。
例題2：同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負(fù)整數(shù)是_____________．（3）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由． 解：（1）|5-（-3）|=|5+3|=8，故答案為：8； （2）當(dāng)x＞2時，|x+5|+|x-2|=x+5+x-2=7，解得，x=2與x＞2矛盾，故此種情況不存在， 當(dāng)-5≤x≤2時，|x+5|+|x-2|=x+5+2-x=7， 故-5≤x≤2時，使得|x+5|+|x-2|=7，故使得|x+5|+|x-2|=7的整數(shù)是-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2， 當(dāng)x＜-5時，|x+5|+|x-2|=-x-5+2-x=-2x+3=7，得x=-5與x＜-5矛盾， 故此種情況不存在，故答案為：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2； （3）|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3， 理由：當(dāng)x＞6時，|x-3|+|x-6|=x-3+x-6=2x-9＞3， 當(dāng)3≤x≤6時，|x-3|+|x-6|=x-3+6-x=3， 當(dāng)x＜3時，|x-3|+|x-6|=3-x+6-x=9-2x＞3， 故|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3． 結(jié)論：當(dāng)a≤x≤b時，|x-a|+|x-b|有最小值，最小值是|a-b|. |
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