什么是傅里葉分析（中）——傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式

傅里葉級(jí)數(shù)的圖形

我們已經(jīng)知道任意周期為T的函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)形式如下，即我們可以用一連串的正弦波（或余弦波）去表示任意周期函數(shù)。

比如有一個(gè)如下的方波信號(hào)或函數(shù)

其傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為

于是便得到角頻率ω為1、3、5……的正弦函數(shù)（實(shí)際上要完整表述該函數(shù)，還需要考慮其相位角，本文均按下不表），以頻率為橫坐標(biāo)，幅值為縱坐標(biāo)，此時(shí)便可將時(shí)域上的原方波信號(hào)轉(zhuǎn)換成頻域上的信號(hào)，如下

將該方波函數(shù)的原時(shí)域圖像及其頻域圖像畫在一個(gè)圖中，如下，可以更加清晰的看到原函數(shù)是如何轉(zhuǎn)換或分解為不同頻率、不同振幅的正弦函數(shù)的。

類似的，如下周期性的鋸齒波函數(shù)

其傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為

該鋸齒波函數(shù)及其傅里葉級(jí)數(shù)的圖形如下，可以看到，隨著傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加，傅里葉級(jí)數(shù)的圖形將會(huì)無限趨近于原函數(shù)。

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  傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式

實(shí)際上，可以看出，在傅里葉級(jí)數(shù)中，既有正弦函數(shù)，也包含余弦函數(shù)，畫頻域圖時(shí)也不方便，而通過歐拉公式，可以將傅里葉級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)形式。

根據(jù)歐拉公式

有

將以上兩式代入傅里葉級(jí)數(shù)，可得

上式第三項(xiàng)中，令n=-m，則有

令

其中

將傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)a₀、a_n、b_n代入到上式，可知n=0時(shí)

n>0時(shí)

n<0時(shí)

因此，綜合以上，可知周期為T的函數(shù)，其復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

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  疊加！疊加！

從我們之前介紹過的歐拉公式可以知道，歐拉公式中_e^it實(shí)際上表示復(fù)數(shù)平面上沿著單位圓的旋轉(zhuǎn)。

顯然，正弦函數(shù)sin為該復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分，而余弦函數(shù)cos為該復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分，如下圖所示。結(jié)合圖形可知，傅里葉級(jí)數(shù)中的正弦、余弦函數(shù)實(shí)際上也可以理解為一種“旋轉(zhuǎn)”。

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因此通俗地理解，可以把傅立葉級(jí)數(shù)視作圓周運(yùn)動(dòng)的組合，比如上面的方波函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)中正弦函數(shù)的疊加可以表示成如下形式。

實(shí)際上，任意函數(shù)都可以表示成不同正弦或余弦函數(shù)的疊加（以上都是針對(duì)周期函數(shù)的傅里葉分析，針對(duì)非周期函數(shù)的傅里葉變換將在后面介紹）。比如如下類似“心電圖”的函數(shù)，可由11個(gè)正弦波疊加而來。

再比如從地球上觀察到的火星運(yùn)行的軌跡如下

該曲線也可以通過兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)來疊加模擬

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傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用

前面對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)以及圖形做了較多的展示，那將一個(gè)函數(shù)做傅里葉級(jí)數(shù)展開到底有什么用處呢？比如在我們之前提到收音機(jī)的檢波功能，實(shí)際上就是在原函數(shù)信號(hào)的基礎(chǔ)上乘以三角正交基函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的正交性，提取出相應(yīng)的正、余弦函數(shù)，并對(duì)這些函數(shù)展開相關(guān)分析或研究。

也可以借助傅里葉級(jí)數(shù)的方式對(duì)某些信號(hào)進(jìn)行“濾波”，比如有一個(gè)函數(shù)（信號(hào)）通過傅里葉級(jí)數(shù)展開后函數(shù)形式為cosx+0.1cos10x+0.1cos100x，其圖形如下

可以看出，由于函數(shù)中存在第2、3項(xiàng)，其頻率較高，因此在圖形中就存在“毛刺”，為了過濾或消除掉這些“毛刺”的影響，只考慮該函數(shù)的主要特征，可以首先對(duì)該函數(shù)積分得到函數(shù)sinx+0.01sin10x+0.001sin100x，該函數(shù)圖形如下

從上圖中可以看出，當(dāng)原函數(shù)信號(hào)經(jīng)過一次積分后，由于第2、3項(xiàng)高頻信號(hào)的系數(shù)也即振幅被大大縮小，因此原信號(hào)中存在的“毛刺”幾乎被過濾掉。如果進(jìn)一步對(duì)上述函數(shù)積分，則可得-cosx-0.001cos10x-0.00001cos100x，其圖形為

可以看到，由于積分的特性使得高頻信號(hào)的振幅被進(jìn)一步縮小，也就是說信號(hào)的“毛刺”被進(jìn)一步抹平，最終就可以得到原始信號(hào)的最主體特征，這也是“低通濾波”的數(shù)學(xué)原理——通過積分的方式縮小高頻信號(hào)的幅值，最終只留下低頻信號(hào)。

不知道看到這里大家有沒有感覺到，傅里葉分析中的濾波和檢波實(shí)際上就是一個(gè)“過濾”和“挑選”的過程，我們每個(gè)人像是被挑選著來到這個(gè)世界，我們的一生都在被挑剔、被賦予使命。每一次考試，每一次插科打諢，每追一部劇，每逛一次街，每談一次戀愛……，實(shí)際上都是我們?cè)谮ぺぶ袥Q定了自己的幸福、歡喜與悲傷，猶如一次次傅里葉分析，我們被篩選到了截然不同的軌跡上。

世界就像一臺(tái)皮影戲里的大幕布，傅里葉級(jí)數(shù)里那些疊加、旋轉(zhuǎn)的圓，猶如戲臺(tái)上幕布后無數(shù)永不停歇的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的齒輪。最外面的小齒輪上仿佛牽引著一根線，線的另一端就是我們，我們被牽引著往前走。我們的腳步會(huì)走出一條條曲線，會(huì)經(jīng)歷許許多多低谷與波峰，有時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)眼前一片坦途，有時(shí)候又覺得雜亂無序。然而我們每個(gè)人都被牽引著走向同一個(gè)終點(diǎn)，而牽引我們往前走的東西，也許就是宿命罷。

-未完待續(xù)-