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極點(diǎn)極線，是高等幾何中一個(gè)基本概念，一直以來，也是我想寫又沒寫成的東西。想寫，是因?yàn)樵趫A錐曲線中，它確實(shí)太重要了。而沒寫成，當(dāng)然是害怕自己寫的東西，不能讓中學(xué)生看得明白，并想的清楚。
因此，這個(gè)內(nèi)容也就一直拖到了現(xiàn)在。因?yàn)椋浴皹O點(diǎn)極線”為背景的試題，經(jīng)常會(huì)在高考和各級(jí)競賽之中出現(xiàn)，而且相信很多同學(xué)也都是感興趣的。所以，還是要好好的寫一篇，以自己認(rèn)為最好的視角，去向廣大中學(xué)生作一推介。其實(shí)，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)本身，同學(xué)都是不陌生的。畢竟，圓錐曲線中的切線、切點(diǎn)弦、圓錐曲線內(nèi)接四邊形、定點(diǎn)定值等，這些圓錐曲線中最常見的問題，大多都和“極點(diǎn)極線”有一定的關(guān)聯(lián)。所以，熟悉“極點(diǎn)極線”以及與其相關(guān)的知識(shí)，更能抓住相關(guān)問題的本質(zhì)，從而更高效地整理思路，甚至解決問題。這篇推文就以中學(xué)生的視角，來相對系統(tǒng)地介紹交比、調(diào)和點(diǎn)列、內(nèi)接四邊形、Apollonius 圓、極點(diǎn)和極線等的重要概念及性質(zhì)，力求溯本求源，用最樸素的文字，去揭示相關(guān)問題的本質(zhì)。第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)然就是“極點(diǎn)極線”本身的知識(shí)了。為了快速滿足好奇心，還是直接先上結(jié)論吧。如果解析幾何的基礎(chǔ)尚好，這個(gè)東西，是不是有很熟悉的感覺呢？當(dāng)然，至于上面的“點(diǎn)”與“直線方程”，是我們首先要重點(diǎn)交待的東西。
“三線”，其實(shí)也就是按照點(diǎn)與曲線的三種不同位置關(guān)系，而對方程意義的三種不同解讀。
關(guān)于點(diǎn)在曲線內(nèi)，其實(shí)，下面這個(gè)才是它最一般的狀態(tài)， 那么，你能用文字語言說出它的特征嗎？
而“一方程”，是指一種特殊情況下的直線，也是我們最喜歡的“中點(diǎn)弦”。 嗯，關(guān)于“中點(diǎn)弦”，記得以前經(jīng)常用“點(diǎn)差法”求得。那種計(jì)算過程的簡潔，相信你也和我一樣，往往還會(huì)忍不住的沾沾自喜過吧。但其實(shí)，它也只是“極點(diǎn)極線”的一種特例而已。當(dāng)然，對于初次接觸的同鞋來說，還是應(yīng)該友好一點(diǎn)，給個(gè)例子，才能覺得更加的清楚直白。
其實(shí)，三種情況下的極線的證明過程，因?yàn)橹饕玫搅?strong>同構(gòu)的思想，計(jì)算量還是比較小的。但還是一定要提醒，對于上面的證明過程，希望同學(xué)都能認(rèn)真的推敲一下。因?yàn)椋绻墙獯痤}，這個(gè)過程可能是要表達(dá)出來的。畢竟，總不能一上來，寫個(gè)結(jié)論就OK了吧。而且，從上面的幾個(gè)圖中，也不難看出一個(gè)非常重要的現(xiàn)象，就是極點(diǎn)、極線與曲線的位置關(guān)系，好象正好是相反的。極點(diǎn)在橢圓內(nèi)，極線與橢圓相離；顯然，從這個(gè)過程上來看，凡是直線與曲線位置關(guān)系的判斷，應(yīng)該都是可以用類似思路去分析的。當(dāng)然，要首先將直線方程稍微改造一下，寫成極點(diǎn)的模樣。關(guān)于這個(gè)極線方程的寫法，最后再談一下記憶的問題。或者，就象下面這樣，來一個(gè)“保一換一”也可以。?????定比分點(diǎn)的盡頭：調(diào)和點(diǎn)列 ?????關(guān)于“極點(diǎn)極線”，其實(shí)上面的這個(gè)方程，我認(rèn)為只是一道開胃小菜，還遠(yuǎn)沒有觸及到它的根本。記得以前的舊版教材里，有一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)——定比分點(diǎn)。如果點(diǎn)P在線段AB上，則滿足的點(diǎn)P是唯一存在的。而且，如果從向量的角度去思考，還可以得到一個(gè)很重要的結(jié)論。這個(gè)結(jié)論，以前教材里稱為“定比分點(diǎn)”的坐標(biāo)公式。其實(shí)用起來還是挺方便的。比如中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，便是它的特例。
可惜現(xiàn)在教材里都刪除了，真要用時(shí)，還需要用向量共線作簡單的推導(dǎo)。對這個(gè)作進(jìn)行一步的思考：如果將線段AB改為直線AB呢？此時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P就應(yīng)該有兩個(gè)了。我們不妨設(shè)另一個(gè)滿足條件的為點(diǎn)Q，即。這個(gè)時(shí)候，我們就稱點(diǎn)A,P,B,Q為調(diào)和點(diǎn)列。也稱P,Q調(diào)和分割A(yù),B，點(diǎn)P,Q分別稱為線段AB的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)。而且，如果點(diǎn)A,P,B,Q為調(diào)和點(diǎn)列，即，也能得到：。那么自然的，點(diǎn)Q,B,P,A也為調(diào)和點(diǎn)列。當(dāng)然，這個(gè)說起來，還是有點(diǎn)抽象和啰嗦的。所以，對于調(diào)和點(diǎn)列，除了了解這個(gè)概念，我認(rèn)為最重要的，要知曉下面兩個(gè)很直觀的性質(zhì)：文字語言可以這樣表述：對于任意兩個(gè)正數(shù)，它們的
如果進(jìn)一步的話，調(diào)和點(diǎn)列的這個(gè)性質(zhì)，也可以寫成這樣：這樣，式子右邊，是不是就是一個(gè)“調(diào)和平均數(shù)”了呢？也許，“調(diào)和點(diǎn)列”的名稱，正是由此而來的吧。當(dāng)然，因?yàn)辄c(diǎn)A,P,B,Q為調(diào)和點(diǎn)列時(shí)，Q,B,P,A也為調(diào)和點(diǎn)列。想起來有點(diǎn)玄乎，但其實(shí)看起來，也就是四個(gè)點(diǎn)的順序和逆序都是調(diào)和點(diǎn)列而已。其實(shí)，除了這兩個(gè)，還有好幾個(gè)類似的性質(zhì)。只是我覺得在中學(xué)階段，都不太常見，就忽略了。但是，拋開這兩個(gè)性質(zhì)不談，調(diào)和點(diǎn)列最核心的，還是兩個(gè)分點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離之比為定值，也就是它的定義。是不是也能想起，大家耳熟能詳?shù)?strong>隱圓——“阿波羅尼斯圓”呢。原來，阿波羅尼斯圓，也還有一個(gè)前輩，那就是——“調(diào)和點(diǎn)列”！其實(shí)說白了，阿波羅尼斯圓，也僅僅只是圓的一個(gè)性質(zhì)而已。至于其它的曲線，一定也會(huì)有類似的一些性質(zhì)。我們依然以橢圓為例，來研究一下類似的性質(zhì)。其實(shí)也就是想研究一下調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線的關(guān)系。對于上面這個(gè)給定的橢圓和直線，我們過點(diǎn)P任作橢圓的一條割線，交橢圓于A,B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)Q在直線AB上，則點(diǎn)Q也在直線l上的充要條件是:點(diǎn)P,A,Q,B構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列當(dāng)然，說點(diǎn)B,Q,A,P是調(diào)和點(diǎn)列也是可以的。
而且，不論點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，還是在橢圓外，這個(gè)充要條件，也都是成立的。
其實(shí)，對于這個(gè)證明過程，相信大家應(yīng)該都不陌生的。不錯(cuò)，除了三點(diǎn)共線的處理，就是“定比點(diǎn)差法”。
所以對于點(diǎn)差法，除了常見的以外，要知道還有定比點(diǎn)差法，甚至還有一個(gè)常見的，叫截距點(diǎn)差法。唉，我只能說，學(xué)無止境，學(xué)習(xí)真的要戒驕戒燥，活到老，學(xué)到老。從這個(gè)充分條件和必要條件的證明過程來看，其中起主要作用的有兩個(gè)：關(guān)于這個(gè)定比點(diǎn)差法，如果有些不理解，可以參考下“素人素言”里的推文《比“點(diǎn)差法”更高級(jí)的“定比點(diǎn)差法”》這篇推文。而且從上面的證明過程中，我們還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的結(jié)論：點(diǎn)Q所在直線，其實(shí)就是點(diǎn)P的極線。也就是說，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是滿足點(diǎn)P的極線方程的，那么就有：而這個(gè)有趣的結(jié)論，又被人們稱為“配極原理“。而這個(gè)原理，也可以為后面的“自極三角形”做個(gè)小鋪墊了。上面說的是過點(diǎn)P作曲線的一條割線，得到了兩個(gè)比值的相等，有時(shí)又簡稱為交比問題。因此，如果以后遇到交比問題時(shí)，我們都是可以考慮是否是極點(diǎn)極線問題的。第二問涉及到線段的乘積關(guān)系，直接按長度處理，當(dāng)然也是yuchun的。當(dāng)然，熟悉極點(diǎn)極線的同學(xué)，一定會(huì)先確定好線段起始點(diǎn)和兩個(gè)分點(diǎn)，考慮適當(dāng)?shù)木€段組合。但要特別注意的是，雖然我們知道，因?yàn)橛斜戎迪嗟龋梢钥紤]點(diǎn)Q應(yīng)該在點(diǎn)P的極線上。但是，整個(gè)的證明過程，還是要注意它的規(guī)范性。所以，前面的理論證明，真的還是很重要。為了保證解題速度，記住它也很重要。但其實(shí)想明白了，也沒那么復(fù)雜，就是定比分點(diǎn)坐標(biāo)和定比點(diǎn)差法了。上面說的，是過定點(diǎn)作曲線的一條割線，產(chǎn)生了調(diào)和點(diǎn)列。那么，過定點(diǎn)作曲線的兩條割線，又會(huì)產(chǎn)生什么呢？其實(shí)，如果真的作兩條，確實(shí)還能產(chǎn)生一個(gè)很特殊的圖形——自極三角形。其實(shí)簡潔一點(diǎn)，定義說的就是，在自極三角形PMN中：我們都知道，兩條割線與橢圓共有四個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)內(nèi)接四邊形。因此，說的簡單一點(diǎn)，對于橢圓的內(nèi)接四邊形來說，所謂的自極三角形，其實(shí)就是四邊形對角線交點(diǎn)和兩對邊交點(diǎn)構(gòu)成的三角形。
而內(nèi)接四邊形，在平面幾何中，恰恰是極其常見的。因此，這個(gè)自極三角形，也就成為了圓錐曲線命題的一個(gè)重背景。但是，作為本題核心的第二問，總不能就這樣子完結(jié)了吧？畢竟，作為高考題，必要的嚴(yán)肅和嚴(yán)謹(jǐn)性，還是要有的。所以，在中學(xué)階段，這個(gè)過程，也不能直接用“自極三角形”作為核心的說理依據(jù)。因此，熟悉自極三角形雖然很重要，但其證明過程，一定是不容忽視的。其實(shí)，因?yàn)橛?span style="color: rgb(0, 0, 0);letter-spacing: 0.578px;text-align: left;text-wrap: wrap;">了對自極三角形的了解，這個(gè)過程是相當(dāng)于先猜后證的了。對于不熟悉這個(gè)三角形的同學(xué)來說，過程可能顯得有些玄幻，但是不能否認(rèn)的，是這個(gè)證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性。從上面的例題中可以看出，如果是兩條割線與曲線相交，以后也可以將背景設(shè)置為曲線的內(nèi)接四邊形的。
因此，在處理這類問題時(shí)，敏銳的觀察就顯得尤為重要。
證明MN的斜率為定值，當(dāng)然最好的狀態(tài)就是求出它的方程了。
當(dāng)然，證明過程還是要把極點(diǎn)極線方程的寫法走個(gè)過場。
為了試著對自極三角形進(jìn)行證明，很認(rèn)真的解了一遍這個(gè)題。 而且用了是最常見的代數(shù)法。 也只有真正做過的才知道，按部就班的過程，真的是太煩瑣了。
和例4的過程相比較，有天堂到地獄的感覺吧。
寫在最后：
適逢五一假期，花了一些時(shí)間寫了這篇推文。美中不足的，因身體原因，也不能太過完善。
但對一般同學(xué)來說，了解極點(diǎn)極線，估計(jì)這篇是已經(jīng)夠了的。 更希望對學(xué)習(xí)解析幾何的同學(xué)，有一絲啟迪。
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