 最偉大的數(shù)學家往往會因為他們所在領(lǐng)域中完成的許多發(fā)現(xiàn)而獲得功勞。但也有一些數(shù)學家，他們沒有得到應有的認可，甚至在那些大名鼎鼎的人物之間被忽略了。 第一位：勒讓德（Adrien-Marie Legendre）  勒讓德涉獵廣泛，研究過分析學、幾何學和數(shù)論。他研究了如今以他名字命名的勒讓德多項式（Legendre polynomials），  并在橢圓積分方面做出了大量工作，這些成果后來被數(shù)學家阿貝爾（Abel）和雅可比（Jacobi）加以完善并超越。  當然，他有很多工作，但他最著名的貢獻是在 1805 年提出了最小二乘法準則（least squares criterion），用于曲線擬合，這一方法是在計算彗星軌道的背景下發(fā)展出來的。 假設有一些點：(1, 2)、(4, 4)、(7, 4)、(8, 5)，并想用一條直線去預測它們的走勢。  試試直線 y=x+1。殘差分別是 0、-1、-4 和 -4。把這些殘差平方后加起來，結(jié)果是 33，這就是殘差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）。  再試試  殘差分別是 0、1/2、-1 和 ?1/2。這次的殘差平方和是 3/2。  因為 3/2小于 33，所以按照勒讓德的準則，第二條直線擬合效果更好。  這個例子只是最小二乘法原理的一個數(shù)值演示，展示了勒讓德準則如何從所有可能的模型中選出最佳擬合曲線。當然，我們這里使用的是線性模型，但這一原理完全可以推廣到指數(shù)、對數(shù)以及振蕩模型中。 雖然勒讓德最先明確提出了這個準則，但幾年后，高斯（Gauss）在研究谷神星（Ceres）的橢圓軌道時，結(jié)合概率論重新提出了這一方法，因此后世往往將更多的功勞歸于高斯。 第二位：韋達（Fran?ois Viète）  韋達的代表作是《解析藝術(shù)導論》（Introduction to the Analytic Art），他在其中首次將古希臘幾何與源自伊斯蘭數(shù)學的代數(shù)方法結(jié)合起來，為代數(shù)化的幾何研究奠定了基礎。  想象一個直角三角形，假設你知道斜邊的長度以及一條直角邊的長度，而另一條直角邊是未知的。 韋達的創(chuàng)新在于，他用符號而不是具體數(shù)字來表示所有的已知量和未知量。他用輔音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。因此，他不會立即代入實際數(shù)字，而是用一般形式表達勾股定理的關(guān)系： 未知邊A的平方加上已知邊B的平方等于斜邊C的平方：由此可以解得： 這對現(xiàn)代人來說似乎顯而易見，但在韋達的時代，能用代數(shù)的方法以通用形式表達幾何關(guān)系，是一個巨大的飛躍。更重要的是，他并不僅僅停留在代數(shù)層面，還展示了如何用尺規(guī)作圖來構(gòu)造邊長 aaa，將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何圖形。 一代人之后，笛卡爾（René Descartes）通過引入坐標幾何和更規(guī)范的符號系統(tǒng)，使得代數(shù)化幾何的研究成為主流。同時，費馬（Pierre de Fermat）也獨立發(fā)展了解析幾何。由于笛卡爾和費馬的記號和坐標方法逐漸成為標準，歷史學家往往將解析幾何的創(chuàng)始人頭銜歸于他們，而韋達則被視為他們的先驅(qū)。 第三位：博爾查諾（Bernard Bolzano） 博爾查諾是最早推動數(shù)學分析走向嚴謹化的人之一。1817 年，他證明了介值定理（intermediate value theorem）的早期版本。 比如有一個連續(xù)函數(shù) f(x)，并選取一個值y=s。標記出曲線與直線 f(x)=s 相交的點。換句話說，就是在某一點 f(x)<s，而在另一點 f(x)>s 時，函數(shù)必定會在這兩點之間某處穿過 f(x)=s 這條直線。 當時，數(shù)學家們普遍認為，連續(xù)函數(shù)除了在某些孤立點上不可導之外，其他地方必定是可導的。但博爾查諾在 1830 年代構(gòu)造了一個反例，即現(xiàn)在稱作博爾查諾處處不可導函數(shù)（Bolzano's nowhere differentiable function）。 遺憾的是，他從未發(fā)表這個例子，因此直到多年后，歷史學家從他的手稿中重建這一函數(shù)之前，沒有人知道它的存在。如今，它被認為是第一個處處連續(xù)但處處不可導的函數(shù)，比魏爾施特拉斯（Weierstrass）在 1872 年提出的著名例子早了三十多年。 第四位：庫默爾（Ernst Eduard Kummer） 庫默爾在函數(shù)論和代數(shù)幾何等多個領(lǐng)域都有重要貢獻，但他最偉大的發(fā)現(xiàn)是在數(shù)論中。庫默爾最初希望將高斯（Gauss）首先證明的二次互反律（quadratic reciprocity law）推廣到更高的冪。 設 P 和 Q 是不同的奇素數(shù)，并定義勒讓德符號（Legendre symbol）： 二次互反律表明： 舉個例子：令 p=13、q=3。 步驟 1：分別計算勒讓德符號 (3/13)：檢查 3 是否是模 13 下的平方。 12 ≡ 1 (mod 13) 因為 42 = 16 ≡ 3 (mod 13)，所以：(3/13) = 1 (13/3)：檢查 13 是否是模 3 下的平方。 12 ≡ 1 (mod 3) 因此，n2 ≡ 1 (mod 3) 有解 (n ≡ 1, 2)，所以：(13/3) = 1 步驟 2：將它們相乘 步驟 3：二次互反律 對于奇素數(shù) p, q： 當 p = 13, q = 3 時： 這驗證了公式的正確性。當然，這不是嚴格證明，只是對該定律在特定情形下的驗證。 庫默爾試圖將這一法則推廣到更高冪（如三次、四次、五次等）。要做到這一點，必須先理解整數(shù)分解的唯一性： 任何整數(shù)都可以唯一地分解為素數(shù)的乘積（忽略順序和 ±1 的因子）。 這個思想可以推廣。例如，考慮高斯整數(shù)（Gaussian integers），即所有形如 a+bi的復數(shù)，其中 a，b是整數(shù)。在這個數(shù)系中，5 不是素數(shù)，因為：5=(1+2i)(1?2i) 然而，3 依舊是素數(shù)，因為唯一可能的分解是： 但問題是根號2不是整數(shù)，因此這些因子并不是高斯整數(shù)。 有趣的是，高斯整數(shù)也有唯一分解的性質(zhì)：任何高斯整數(shù)都可以被唯一地分解為不可再分解的“質(zhì)因子”。 有些環(huán)并不具備唯一分解性質(zhì)。一個例子是環(huán) Z[√?5]，其中的數(shù)可以寫成 a + b√?5 的形式，a, b ∈ Z。 取 6 = 2·3 = (1 + √?5)(1 ? √?5)。我們剛剛將它分解成了該環(huán) Z[√?5] 中的兩組不同元素的乘積。 這在當時阻礙了證明費馬大定理（Fermat's Last Theorem）的早期嘗試，因為當時的方法是將方程放入某個整數(shù)的擴展環(huán)中，再利用唯一分解性質(zhì)進行推導。但如果唯一分解不成立，這種方法就失去了意義。 庫默爾提出了一個巧妙的解決方案：雖然在一般的整數(shù)環(huán)中沒有唯一分解，但可以引入理想數(shù)（ideal numbers）的概念，把整數(shù)環(huán)中的元素唯一地分解成這些理想數(shù)的乘積。在Z[√?5]的例子里，用理想數(shù)替代原來的質(zhì)數(shù)，唯一分解就得以恢復。 幾十年后，理查德·戴德金（Richard Dedekind）推廣了這個概念，正式引入了理想（ideals），并嚴格證明了理想的唯一分解性質(zhì)。滿足這種性質(zhì)的環(huán)如今被稱為戴德金整環(huán)（Dedekind domains），它們是庫默爾“理想質(zhì)數(shù)”思想的直接繼承者。 第五位：西爾維斯特（James Joseph Sylvester） 西爾維斯特是 19 世紀的代數(shù)學家，他做出了多方面的重要貢獻。其中最著名的，是他與凱萊（Arthur Cayley）一起，開創(chuàng)了現(xiàn)代不變量理論（invariant theory）以及相關(guān)的協(xié)變（covariance）概念。更具體地說，他們專注于設計方法來顯式求出二元形式（binary forms）的不變量和協(xié)變，并研究它們之間的代數(shù)關(guān)系，也就是所謂的syzygies（結(jié)式）。 西爾維斯特在一系列重要論文中解決了這些問題，其中一個關(guān)鍵成果就是西爾維斯特慣性定律（Sylvester’s law of inertia）。 該定律指出：任何實二次表達式都可以通過坐標變換化為“若干個正平方項減去若干個負平方項”（可能還加上若干個零項），并且無論你如何改變坐標，正平方項和負平方項的個數(shù)始終保持不變，這個固定的數(shù)對就叫做“慣性（inertia）”。 舉個例子： 假設某個二次型呈現(xiàn)“一正一負”的結(jié)構(gòu)，這意味著該曲面是一個馬鞍面（saddle）。無論進行何種可逆變量替換，都無法把它變成“兩個正”或“兩個負”的結(jié)構(gòu)，它永遠會保持“一正一負”。這就是慣性定律的核心。 雖然西爾維斯特提出了不變量理論，并且首次使用了“矩陣（matrix）”這個術(shù)語，但最終完善這一理論并取得更宏大成果的是凱萊。因此，在廣義代數(shù)學的歷史敘述中，功勞更多歸于凱萊，而西爾維斯特的貢獻往往不被廣泛提及。 第六位：德拉瓦萊-普桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin） 德拉瓦萊-普桑是一位比利時數(shù)學家，他的主要成就是在 1896 年證明了素數(shù)定理（prime number theorem），這個猜想最初由高斯（Gauss）提出。 如果你想知道從 1 到 n 之間有多少個素數(shù)，一個自然的反應是定義 π(n)表示 1 到 n 之間的素數(shù)數(shù)量，并嘗試找到一個計算 π(n)的公式。 問題是，素數(shù)沒有明顯的規(guī)律，我們也沒有一個公式能夠直接生成所有素數(shù)。因此，人們開始尋找一個好的近似公式。 素數(shù)定理告訴我們：當 n 逐漸增大時，小于 n 的素數(shù)數(shù)量 π(n) 近似于： 也就是說，素數(shù)隨著數(shù)值增大而變得稀疏，但這種稀疏的規(guī)律與對數(shù)衰減密切相關(guān)。 在證明素數(shù)定理后，德拉瓦萊-普桑意識到可以進一步改進，他提出了更精確的近似公式——對數(shù)積分（logarithmic integral, li(n)）， 并給出了一個收斂速度更快的誤差項 這意味著我們不僅知道了素數(shù)分布的大致數(shù)量級，還能精確估計誤差范圍。 同一年，哈達瑪（Hadamard）也用類似的復分析方法獨立證明了素數(shù)定理。由于哈達瑪?shù)拿指鼜V為人知，許多歷史敘述往往把功勞首先歸于他。然而，德拉瓦萊-普桑的證明實際上更強，因為他給出了更精確的誤差項，并將結(jié)果推廣到了算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)分布，這直接解釋了近似公式如何逐漸逼近真實值。 |
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