 最偉大的數學家往往會因為他們所在領域中完成的許多發現而獲得功勞。但也有一些數學家，他們沒有得到應有的認可，甚至在那些大名鼎鼎的人物之間被忽略了。 第一位：勒讓德（Adrien-Marie Legendre）  勒讓德涉獵廣泛，研究過分析學、幾何學和數論。他研究了如今以他名字命名的勒讓德多項式（Legendre polynomials），  并在橢圓積分方面做出了大量工作，這些成果后來被數學家阿貝爾（Abel）和雅可比（Jacobi）加以完善并超越。  當然，他有很多工作，但他最著名的貢獻是在 1805 年提出了最小二乘法準則（least squares criterion），用于曲線擬合，這一方法是在計算彗星軌道的背景下發展出來的。 假設有一些點：(1, 2)、(4, 4)、(7, 4)、(8, 5)，并想用一條直線去預測它們的走勢。  試試直線 y=x+1。殘差分別是 0、-1、-4 和 -4。把這些殘差平方后加起來，結果是 33，這就是殘差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）。  再試試  殘差分別是 0、1/2、-1 和 ?1/2。這次的殘差平方和是 3/2。  因為 3/2小于 33，所以按照勒讓德的準則，第二條直線擬合效果更好。  這個例子只是最小二乘法原理的一個數值演示，展示了勒讓德準則如何從所有可能的模型中選出最佳擬合曲線。當然，我們這里使用的是線性模型，但這一原理完全可以推廣到指數、對數以及振蕩模型中。 雖然勒讓德最先明確提出了這個準則，但幾年后，高斯（Gauss）在研究谷神星（Ceres）的橢圓軌道時，結合概率論重新提出了這一方法，因此后世往往將更多的功勞歸于高斯。 第二位：韋達（Fran?ois Viète）  韋達的代表作是《解析藝術導論》（Introduction to the Analytic Art），他在其中首次將古希臘幾何與源自伊斯蘭數學的代數方法結合起來，為代數化的幾何研究奠定了基礎。  想象一個直角三角形，假設你知道斜邊的長度以及一條直角邊的長度，而另一條直角邊是未知的。 韋達的創新在于，他用符號而不是具體數字來表示所有的已知量和未知量。他用輔音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。因此，他不會立即代入實際數字，而是用一般形式表達勾股定理的關系： 未知邊A的平方加上已知邊B的平方等于斜邊C的平方：由此可以解得： 這對現代人來說似乎顯而易見，但在韋達的時代，能用代數的方法以通用形式表達幾何關系，是一個巨大的飛躍。更重要的是，他并不僅僅停留在代數層面，還展示了如何用尺規作圖來構造邊長 aaa，將代數結果轉化為幾何圖形。 一代人之后，笛卡爾（René Descartes）通過引入坐標幾何和更規范的符號系統，使得代數化幾何的研究成為主流。同時，費馬（Pierre de Fermat）也獨立發展了解析幾何。由于笛卡爾和費馬的記號和坐標方法逐漸成為標準，歷史學家往往將解析幾何的創始人頭銜歸于他們，而韋達則被視為他們的先驅。 第三位：博爾查諾（Bernard Bolzano） 博爾查諾是最早推動數學分析走向嚴謹化的人之一。1817 年，他證明了介值定理（intermediate value theorem）的早期版本。 比如有一個連續函數 f(x)，并選取一個值y=s。標記出曲線與直線 f(x)=s 相交的點。換句話說，就是在某一點 f(x)<s，而在另一點 f(x)>s 時，函數必定會在這兩點之間某處穿過 f(x)=s 這條直線。 當時，數學家們普遍認為，連續函數除了在某些孤立點上不可導之外，其他地方必定是可導的。但博爾查諾在 1830 年代構造了一個反例，即現在稱作博爾查諾處處不可導函數（Bolzano's nowhere differentiable function）。 遺憾的是，他從未發表這個例子，因此直到多年后，歷史學家從他的手稿中重建這一函數之前，沒有人知道它的存在。如今，它被認為是第一個處處連續但處處不可導的函數，比魏爾施特拉斯（Weierstrass）在 1872 年提出的著名例子早了三十多年。 第四位：庫默爾（Ernst Eduard Kummer） 庫默爾在函數論和代數幾何等多個領域都有重要貢獻，但他最偉大的發現是在數論中。庫默爾最初希望將高斯（Gauss）首先證明的二次互反律（quadratic reciprocity law）推廣到更高的冪。 設 P 和 Q 是不同的奇素數，并定義勒讓德符號（Legendre symbol）： 二次互反律表明： 舉個例子：令 p=13、q=3。 步驟 1：分別計算勒讓德符號 (3/13)：檢查 3 是否是模 13 下的平方。 12 ≡ 1 (mod 13) 因為 42 = 16 ≡ 3 (mod 13)，所以：(3/13) = 1 (13/3)：檢查 13 是否是模 3 下的平方。 12 ≡ 1 (mod 3) 因此，n2 ≡ 1 (mod 3) 有解 (n ≡ 1, 2)，所以：(13/3) = 1 步驟 2：將它們相乘 步驟 3：二次互反律 對于奇素數 p, q： 當 p = 13, q = 3 時： 這驗證了公式的正確性。當然，這不是嚴格證明，只是對該定律在特定情形下的驗證。 庫默爾試圖將這一法則推廣到更高冪（如三次、四次、五次等）。要做到這一點，必須先理解整數分解的唯一性： 任何整數都可以唯一地分解為素數的乘積（忽略順序和 ±1 的因子）。 這個思想可以推廣。例如，考慮高斯整數（Gaussian integers），即所有形如 a+bi的復數，其中 a，b是整數。在這個數系中，5 不是素數，因為：5=(1+2i)(1?2i) 然而，3 依舊是素數，因為唯一可能的分解是： 但問題是根號2不是整數，因此這些因子并不是高斯整數。 有趣的是，高斯整數也有唯一分解的性質：任何高斯整數都可以被唯一地分解為不可再分解的“質因子”。 有些環并不具備唯一分解性質。一個例子是環 Z[√?5]，其中的數可以寫成 a + b√?5 的形式，a, b ∈ Z。 取 6 = 2·3 = (1 + √?5)(1 ? √?5)。我們剛剛將它分解成了該環 Z[√?5] 中的兩組不同元素的乘積。 這在當時阻礙了證明費馬大定理（Fermat's Last Theorem）的早期嘗試，因為當時的方法是將方程放入某個整數的擴展環中，再利用唯一分解性質進行推導。但如果唯一分解不成立，這種方法就失去了意義。 庫默爾提出了一個巧妙的解決方案：雖然在一般的整數環中沒有唯一分解，但可以引入理想數（ideal numbers）的概念，把整數環中的元素唯一地分解成這些理想數的乘積。在Z[√?5]的例子里，用理想數替代原來的質數，唯一分解就得以恢復。 幾十年后，理查德·戴德金（Richard Dedekind）推廣了這個概念，正式引入了理想（ideals），并嚴格證明了理想的唯一分解性質。滿足這種性質的環如今被稱為戴德金整環（Dedekind domains），它們是庫默爾“理想質數”思想的直接繼承者。 第五位：西爾維斯特（James Joseph Sylvester） 西爾維斯特是 19 世紀的代數學家，他做出了多方面的重要貢獻。其中最著名的，是他與凱萊（Arthur Cayley）一起，開創了現代不變量理論（invariant theory）以及相關的協變（covariance）概念。更具體地說，他們專注于設計方法來顯式求出二元形式（binary forms）的不變量和協變，并研究它們之間的代數關系，也就是所謂的syzygies（結式）。 西爾維斯特在一系列重要論文中解決了這些問題，其中一個關鍵成果就是西爾維斯特慣性定律（Sylvester’s law of inertia）。 該定律指出：任何實二次表達式都可以通過坐標變換化為“若干個正平方項減去若干個負平方項”（可能還加上若干個零項），并且無論你如何改變坐標，正平方項和負平方項的個數始終保持不變，這個固定的數對就叫做“慣性（inertia）”。 舉個例子： 假設某個二次型呈現“一正一負”的結構，這意味著該曲面是一個馬鞍面（saddle）。無論進行何種可逆變量替換，都無法把它變成“兩個正”或“兩個負”的結構，它永遠會保持“一正一負”。這就是慣性定律的核心。 雖然西爾維斯特提出了不變量理論，并且首次使用了“矩陣（matrix）”這個術語，但最終完善這一理論并取得更宏大成果的是凱萊。因此，在廣義代數學的歷史敘述中，功勞更多歸于凱萊，而西爾維斯特的貢獻往往不被廣泛提及。 第六位：德拉瓦萊-普桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin） 德拉瓦萊-普桑是一位比利時數學家，他的主要成就是在 1896 年證明了素數定理（prime number theorem），這個猜想最初由高斯（Gauss）提出。 如果你想知道從 1 到 n 之間有多少個素數，一個自然的反應是定義 π(n)表示 1 到 n 之間的素數數量，并嘗試找到一個計算 π(n)的公式。 問題是，素數沒有明顯的規律，我們也沒有一個公式能夠直接生成所有素數。因此，人們開始尋找一個好的近似公式。 素數定理告訴我們：當 n 逐漸增大時，小于 n 的素數數量 π(n) 近似于： 也就是說，素數隨著數值增大而變得稀疏，但這種稀疏的規律與對數衰減密切相關。 在證明素數定理后，德拉瓦萊-普桑意識到可以進一步改進，他提出了更精確的近似公式——對數積分（logarithmic integral, li(n)）， 并給出了一個收斂速度更快的誤差項 這意味著我們不僅知道了素數分布的大致數量級，還能精確估計誤差范圍。 同一年，哈達瑪（Hadamard）也用類似的復分析方法獨立證明了素數定理。由于哈達瑪的名字更廣為人知，許多歷史敘述往往把功勞首先歸于他。然而，德拉瓦萊-普桑的證明實際上更強，因為他給出了更精確的誤差項，并將結果推廣到了算術級數中的素數分布，這直接解釋了近似公式如何逐漸逼近真實值。 |
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