龐加萊猜想

這是一個拓撲學問題，它的講法有點繞口。

龐加萊猜想講的是任何一個單連通的、封閉的三維形體，等價于一個三維的球。所謂連通、封閉就是形體表面任何兩個點可以沿著表面的一條線連起來，所謂單連通，就是指不像甜甜圈那樣中間被掏空。

我們日常生活中遇到的大部分三維形體都是這樣的，比如球、圓柱、長方體、三棱錐、沒有把的杯子、饅頭、棒球棒等等。當然，甜甜圈、鐵環、擰成了八字形的麻花，都不是。

龐加萊猜想說的是，這些單連通的封閉三維形體，你把它揉揉捏捏，就成了一個球。這就是圖中前五個形狀到球的對應。但是像甜甜圈，你怎么揉也揉不成球，因為中間的“縫”捏不掉。因此，圖中后面兩個形狀對應不到球上。

龐加萊猜想在我們看來顯然是很正確的，但是在數學上，只有公理是顯然的，其他任何結論都要經過證明得出，有些時候，越是顯然的結論越難證明。在龐加萊猜想被提出之后的幾十年里，世界上有很多數學家試圖解決這個結論看似明確的猜想，但是都一無所獲。

直到上個世紀60年代，才由美國數學家斯梅爾解決了這個問題的高維（5維）變種，這個變種比原來的問題要容易很多，但是對這些簡單卻相似問題的研究還是給后人帶來了啟發。斯梅爾因此獲得了1966年的菲爾茲獎和隨后的沃爾夫獎。

1983年，美國數學家弗里德曼證明了龐加萊猜想的4維變種，并且也獲得了菲爾茲獎。在證明這個猜想的過程中，還有數名數學家做出了很大的貢獻，獲得了菲爾茲獎，但是他們其實離猜想的證明還有很長的距離。

2003年，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼完成了對龐加萊猜想的證明。佩雷爾曼可以講是這個世紀數學界的神人。他在俄羅斯接受的教育，后來在美國的幾所大學里做博士后，大約攢下了10萬美元，他覺得這點錢他一輩子就夠花了，于是就回到俄羅斯去證明龐加萊猜想了。他住在媽媽的福利公寓里，每月只花400美元吃飯，然后就把所有的時間用來研究數學了。

2003年，他在一個叫arXiv的網站上貼出了自己對這個定理的完整證明，這個網站是科學家們提交預發表論文的地方。由于佩雷爾曼的文字極為簡略，數學界經過近三年才完成校驗。2006年，多組研究者先后發表論文闡釋了佩雷爾曼的成果，并認定其無誤。

當然，很多數學家還是沒有看懂，質疑他證明過程的正確性，佩雷爾曼從來不解釋他的證明，只是直接懟回去，說你們這些人水平太低。凡是被他懟的數學家，后來都不得不離開了數學界。

由于佩雷爾曼解決了這個百年數學難題，國際數學家大會決定授予他菲爾茲獎，但他卻表示拒絕領獎。當時的國際數學家大會主席約翰·波爾爵士為了說服他接受這個獎，專門飛到圣彼得堡，花了兩天時間和他談了十個小時，最后也沒能說服他。

通常得到菲爾茲獎就很牛了，但是敢于拒絕領獎更牛，不過國際數學家大會還是給了他這個獎。2010年3月18日，千禧年大獎正式頒發給佩雷爾曼，但是幾乎身無分文的他又一次拒絕領取克雷數學研究所的百萬獎金。根據俄羅斯國際文傳電訊社的消息，佩雷爾曼認為美國數學家理查德·漢密爾頓對這一問題的貢獻絲毫不遜于自己，因此不愿意獨占這個獎項。

總之，佩雷爾曼以他天才的頭腦，巨大的數學成就和乖張的行為，成為了當今數學家一道風景線。不過，我倒認為，在佩雷爾曼心中，解決那些數學難題比得獎和獲得金錢要重要得多。

那么龐加萊猜想有什么意義呢？簡單地講，它可以讓我們更好地理解三維世界。比如我們如何在不到達外太空的情況下證明地球是圓形的呢？有人說麥哲倫的船隊航海一周又回到了原點，說明它是圓的。其實這不一定，因為如果地球是甜甜圈的形狀，航海一周也會回到原點。

龐加萊猜想是拓撲學發展的一個攔路虎，這個問題解決了，就相當于給數學奠定了一塊重要的基石，往上能建立起一個個大房子。

龐加萊猜想是迄今為止唯一被解決的千禧問題，接下來我們說說其它千禧問題。